- •30 Оценка точности уравненных неизвестных
- •31. Оценка точности функции уравненных неизвестных
- •§ 32. Задачи на уравнивание равноточных
- •§ 33. Применение параметрического способа для решения некоторых специальных задач
- •§34. Уравнивание неравноточных измерений параметрическим способом
- •§ 35. О построении доверительных интервалов
- •§ 36. Решение нормальных уравнений по методу квадратных корней. Об ошибках вычислении
- •§ 37. Способы приближений решения нормальных уравнении
- •Глава 4. Коррелатный способ уравнивания
- •§ 38. Взаимосвязь параметрического и коррелатного способов
- •Уравнивания
§ 35. О построении доверительных интервалов
Как мы уже отмечали в § 19, оценка с помощью доверительных интервалов является более совершенным способом, чем точечная оценка. При уравнивании геодезических сетей строят доверительные интервалы для истинных значений уравниваемых величин, их функций и для дисперсий (или средних квадратаческих отклонений) результатов измерений и их функций. Напомним, что доверительные интервалы имеет смысл строить, если измерения подчиняются нормальному закону распределения и не содержат систематических ошибок (кроме того случая, когда последние входят в уравнивание как неизвестные).
Доверительный интервал для истинного значения F любой функции F уравненных измерений строят в виде
(3.78)
где коэффициент выбирают из таблиц распределения Стьюдента по доверительной вероятности β и числу степеней свободы r = n - k, а средняя квадратическая ошибка
В частном случае для истинного значения Xj уравненного параметрическим способом неизвестного будем иметь интервал
Где
Так, в задаче 3.48 для уравненных отметок узловых точек нивелирной сети получим доверительные интервалы, построенные с вероятностью 0,95 (коэффициент t3 при r = 4 равен 3,2)
189,614 - 3,21,7510-2< Х1< 189,614 + 3,21,7510-2;
197,958 - 3,21,4810-2 < Х2 < 197,958 + 3,21,7510-2;
190,981 -3,21,70 <Х3< 190,981 +3,21,7010-2
189,558 <Х1< 189,670;
197,911 <Х2< 198,005;
190,927 <Х3< 191,035.
Для истинных значений уравненных превышений Υ1 и Υ5 получены доверительные интервалы
6,053 < Υ1< 6,165; - 7,032 < Υ5 < - 6,922.
Иногда результат уравнивания записывают в виде хj± mxj , что при большом r соответствует доверительному интервалу при β 0,7.
Доверительный интервал для с. к. о. единицы веса строят в виде
(3.79)
причем коэффициенты
выбираются из таблиц распределения χ2, как описано в § 19, но по числу степеней свободы r = n - k. Так, для с. к. о, σ0 при β = 0,90 и r = 4 будем иметь χ12 = 9,5, χ22 = 0,71 и доверительный интервал для σ0 в задаче 3.48
Для с. к. о. функции доверительный интервал будет
(3.80)
а для
Например, для в этой же задаче будем иметь доверительный интервал см
Иногда вместо построения доверительного интервала для σ0 вычисляют «ошибку ошибки» и пишут интервал в виде (при достаточно большом r) , а также, где
3.55. Построить доверительные интервалы для истинных значений уравненных углов в задаче 3.50 и для их средних квадратаческих отклонений, приняв β = 0,90; β = 0,95; β = 0,99.
3.56. Построить доверительные интервалы для истинных координат пунктов D и С, для средних квадратаческих отклонений , и , для средних квадратаческих отклонений функций в задачах 3.37, 3.38, 3.50 (доверительная вероятность β = 0,95).
§ 36. Решение нормальных уравнений по методу квадратных корней. Об ошибках вычислении
Как мы уже знаем (см. § 29), метод Гаусса решения системы нормальных уравнений
(3.81)
сводится к представлению матрицы R в виде произведения R = Т1T2 (см. стр. 159).
При этом получаем две системы уравнений
Т1y = - b; T2Δ = у,
где у - преобразованный в схеме Гаусса вектор b. Искомый вектор получается в схеме Гаусса по приведенным ранее формулам. Метод квадратных корней заключается в представлении матрицы в виде произведения R = ТТТ, где матрица
При этом вместо (3.81) имеем систему уравнений
(Ζ - преобразованный в схеме решения методом квадратных корней вектор b).
Вектор
Приведем схему решения системы нормальных уравнений вида Ах = b методом квадратных корней (признанным в настоящее время наиболее эффективным, так как он требует меньшей памяти ЭВМ) с попутным обращением матрицы А. Для трех неизвестных схема вычислений имеет вид табл. 92.
S = Ае + b - суммарный столбец, введенный для контроля (вектор е=(1 1 1)т). Исходя из приведенных выше общих формул, связанных с решением системы нормальных уравнений методом квадратных корней, можно сформулировать следующие правила вычислений: элементы tij, zi, вычисляют последовательно по строкам; tii — как корень квадратный из разности aii и суммы квадратов всех tij расположенных над tii недиагональный элемент tij получают вычитанием из аij , суммы
Таблица 92 |
||||||
Матрицы |
Уравнения |
|||||
|
2,583 |
-1,167 2,833 |
-0,250 -1,000 1,887 |
1,684 -0,417 · -1,942 |
2,850 0,249 -1,305 |
|
|
1,607
(0,6223)
(0,6588)
(0,8688) |
-0,726
1,518
|
-0,156
-0,733
1,151 |
1,048
0,227
-1,400 |
1,774
1,013
-0,248 |
|
|
0,336 1,337 |
-0,437 0,563 |
-1,216 -0,215 |
|
|
|
|
-1,001 |
-1,000 |
-1,001 |
|
|
|
0,551 |
0,311 |
0,238 |
||||
0,311 |
0,610 |
0,364 |
|
|
||
0,238 |
0,364 |
0,755 |
|
|
||
Контроль |
|
1,000 |
1,001 |
1,001 |
|
|
произведений элементов t, взятых из столбцов i и j, и умножением полученной разности на tii; аналогично вычисляют и элементы zi
и si.
После вычисления всей строки производят контроль
(расхождения между Σi и ) допускаются в пределах нескольких единиц последнего удерживаемого знака). Неизвестные xi определяют по формулам
Точно так же по столбцу s по мере получения xi вычисляют величины и осуществляют контроль
Отметим, что при числе уравнений k < 10 в элементах tij удерживают на 1—2 знака после запятой больше, чем их имеют элементы aij, при 10 < k < 30 - на 3—4 знака больше.
Приведенная схема вычислений удобна и для обращения матрицы А. В самом деле, если решение системы уравнений Ах = b сводится к последовательному решению двух систем
то процесс обращения матрицы А, заключающийся в решении систем AQj = Ej (j = 1, 2, ..., k), где Qj и Еj - соответственно j - е столбцы матриц А и Е, может быть сведен к решению двух систем
(3.82)
(3.83)
Из системы (3.82) следует, что вектор
Учитывая правило обращения треугольной матрицы и введя матрицу , столбцами которой служат векторы , напишем
Здесь знаком вопроса обозначены неизвестные недиагональные элементы матрицы . Из системы (3.83) следует, что столбцы Qj матрицы Q могут быть получены в схеме решения точно так же, как и вектор x, если столбец z последовательно заменить столбцами
, ,….
Элементы матрицы Q удобно вычислять по строкам, начиная с последней, как в способе Ганзена. При этом вычисленные элементы Qij i-й строки записывают в j-й столбец матрицы Q (в силу ее симметричности), так что в каждой строке необходимо вычислять элементы Qij при i > j (по этой причине обозначенные знаком вопроса неизвестные элементы матрицы вообще не участвуют в вычислениях).
После вычисления элементов каждой строки осуществляется контроль AiQj 1, где Ai - i-я строка матрицы A(i = j).
Так, в рассмотренном примере весовые коэффициенты
Q33 = 0.86882 = 0,755;
Q32 = 0,7550,7330,6588 = 0,364;
Q31 = (0,7550,156 + 0,3640,728)0,6223 = 0,238;
Q22 = (0,6588 + 0,3640,733)0,6588 = 0,610;
Q21 = (0,3640,156 + 0,6100,726)0,6223 = 0,311;
Q11 = (0,6223 + 0,2380,156 + 0,3110,726)0,6223 = 0,551.
Контрольные вычисления получения каждой строки матрицы Q были показаны в § 30.
Метод квадратных корней, как и метод Гаусса, может применяться и для систем уравнений, в которых матрица А не положительно определена. Может оказаться, что < 0. В этом случае приходится прибегать к мнимым числам, что, однако, не вносит существенных затруднений.
3.57 Решить методом квадратных корней систему нормальных уравнений из задачи 3.48 с оценкой точности функций.Решение выполняем в табл. 93.
Таблица 93 |
||||||||||
Вспомогательные величины |
Ьхх |
**. |
ь*ъ |
|
S |
Контроль 1 |
F, |
F, |
Ϊ |
Контроль 2 |
|
3,60 |
-1,17 4,88 |
- 1,22 -1,25 3,81 |
12,36 5,05 -16,37 121,26 |
13,57 7,51 - 15,03 122,30 |
13,57 7,51 -15,03 122,30
|
1,00 0 0 |
0 -1,00 -1,00 |
2,21 3.46 0,34 |
|
(0,5270) (0,4714) (0,5981) |
1,897
-2,636 -3,636 1
0,376 |
-0,617 2,121
-0,855 - 1,855 1
0,132 |
-0,643 -0,776 1,672
3,172 2,172 1
0,164 |
6,514 4,275 -5,303 32,43
=Q |
7,152 5,620 -3,631 32,44 32.44 |
7,151 5,620 -3,631 32,43 |
0,527 0,153 0,274 -0,376 -0,034 |
0 0,471 -0,380 +0,034 -0,36ο |
1,165 1,970 1,566 -0,344 -0,332 |
1,165 1,970 1,566 -0,0342 -0,332 |
|
0,132 |
0,270 |
0,131 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,164 |
0,131 |
0,358 |
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, что алгоритмы [pll.k], [pls.k] и [pss.k] и величины и вычисляют аналогично тому, как это делается в схеме Гаусса.
3.58 Решить методом квадратных корней системы нормальных уравнений из задачи 3.18.
3.59 Решить методом квадратных корней систему нормальных уравнений, возникающую в задаче 3.17
При решении систем нормальных уравнений неизбежны погрешности вычислений двух видов.
1. Погрешности из-за неизбежных округлений при вычислениях, поэтому вместо точных неизвестных xj мы получаем . Подставив в исходную систему уравнений, вместо свободных членов bj получим свободные члены
Если невязки превышают 1-2 единицы последних цифр свободных членов, то следует уточнить решение, приписав к схеме Гаусса дополнительно столбец . При этом точно так же, как описано выше, будут найдены поправки. Указанный процесс можно повторять неоднократно до тех пор, пока поправками, найденными на р - м шаге, можно будет пренебречь. Обычно при небольшом числе уравнений необходимость в указанных действиях отпадает
2.Погрешности, возникающие из-за ошибок в коэффициентах и свободных членах исходной системы, не могут быть устранены Однако можно вычислить погрешность получения неизвестных хj. Допустим, что известны максимальные погрешности коэффициентов и свободных членов, которые мы обозначим через и ; тогда можно показать, что максимальное искажение свободных членов (максимальная «невязка») составит одинаковую в каждом уравнении величину
И тогда, приписав к системе уравнений столбец Δ, состоящий из единиц, и рассматривая его как столбец свободных членов b, получим неизвестные , …..
Эти величины вычисляются так же, как и , но так как знаки погрешностей и неизвестны, то, рассчитывая на самый неблагоприятный случай, мы должны оперировать только с модулями всех участвующих в вычислениях чисел. Таким образом (при k = 3),
;
Окончательно получаем неустранимые погрешности вычисления каждого неизвестного по формуле
На самом деле погрешности, конечно, значительно меньше.
Ниже приводится пример решения системы трех уравнений [8]:
4,15х1 + 1,98 х2 + 1,95 х3 - 3,20 = 0;
1,98 х1 + 3,02 х2 + 0,99 х3 - 2,60 = 0;
1,95 х1 + 0,99 х2 + 3,01 х3 - 2,10 = 0
при Δα = Δb = 0,005.
Решение по схеме Гаусса дано в табл. 94
3.60 Самостоятельно выполнить решение по методу квадратных корней и сравнить погрешности вычислений в каждом методе.
Таблица 94 |
||||||
x1 |
x2 |
x3 |
|
s |
Контроль |
|
4,15 -1,000 |
1,98 -0,477 |
1,95 -0,470 |
-3,20 0,771 |
4,88 - 1,776 |
-1,776 |
0,241 |
|
2,08 -1,000 |
0,06 -0,029 |
- 1,07 0,514 |
1,06 -0,510 |
1,07 -0,515 |
1,48 0,712 |
|
|
2,09 - 1,000 |
-0,56 0,268 |
1,53 -0,732 |
1,53 -0,732 |
1,51 0,723 |
xj 0,404 -0,599 1,003 |
0,506 -0,489
0,995 |
0,268 -0,732
1,000 |
|
|||
0,93 0,010 |
0,73
0,008 |
0,72
0,008 |