31. Оценка точности функции уравненных неизвестных

Одной из важных задач, которую часто приходится решать при выполнении уравнительных вычислений, является оценка точности функций уравненных неизвестных x_j (уравненной функции)

Возможны два способа ее решения.

Способ 1. Если известна матрица Q весовых коэффициентов, то обратный вес уравненной функции

(3.49)

или в подробной записи

(3·50)

где матрица-строка

(3.51)

составлена из частных производных

Для случая k = 3 вместо формулы (3.50) подробно будем иметь

Так, в задаче 3.17 обратный вес суммы уравненных углов F = x₁ + х₂ + х₃ (шестой угол) найдём, учитывая, что все f_i = 1,

В матричной форме согласно формуле (3.49) получим тот же результат

Заметим, что матричную форму (3.49) удобно применять, когда оценивается не одна, а сразу несколько, пусть m, функций. В этом случае матрица f имеет размер m*k, причем каждая ее i - я строка соответствует i - й функции и составляется согласно (3.51). В этом случае в левой части выражения (3.49) вместо обратного веса 1/P_F следует писать матрицу обратных весов системы функции (вектор - функции).

Например, если оценивается точность двух функций

F₁ = x₁ + x₂; F₂ = x₁ + x₂ + x₃;

- уравненных углов 4 и 6 (см. рис. 46), то получим

Матрица Q_F симметричная. С ее помощью находим коэффициент корреляции

Частным случаем оцениваемых функций являются уравненные результаты измерений (уравненные измерения). В этом случае для будем иметь коэффициенты функции f₁ = a_i, f₂ = b_i … f_k = g_i, а для совокупности всех уравненных измерений получим матрицу обратных весов

(3.52)

3.24. Применяя формулу (3.52), доказать, что .

3.25. Дана матрица обратных весов

уравненных отметок узлов нивелирной сети (см. рис. 40). Найти матрицу обратных весов всех пяти превышений.

Решение. Составляем матрицу коэффициентов уравнений поправок со­гласно (3.7)

(3.53)

Далее согласно формуле (3.52) находим

3.26. Найти обратные веса уравненных дирекционного угла и длины стороны триангуляции между пунктами 1 и 2, если α₁₂ = 90°, S = 2063 м. а матрица весовых коэффициентов координат пунктов x₁ y₁, x₂ y₂

Вычислить средние квадратические ошибки m_α и m_s , если μ = 0,02 м.

Указание. Коэффициенты функций составить согласно выражениям (3.10) и (3.9).

Ответ: , , ,

Способ 2 (способ дополнительного столбца). Если весовые коэффициенты неизвестны, то применяют формулу

(3.54)

в которой f_k+1 = 0

и т. д.

Если условно обозначить

(3.55)

то алгоритм Гаусса [f_k+1.k] раскрывается так же, как и [ll.k]. Алгоритмы [f₂.1], [f₃.2], ..., [f_k(k - 1)] раскрываются так же, как и алгоритмы [bl.1], [cl.2], ..., [gl.(k - 1)], если иметь в виду обозначения (3.55).

Легко понять теперь, что алгоритм 1/P_F можно получить в схеме Гаусса, если в нее ввести дополнительный столбец свободных членов (3.55). Сделав в нем те же преобразования, что и в основном столбце свободных членов l, в результате получим алгоритм

Для контроля вычислений служит формула

в которой вновь введены суммы

(3.56)

Таблица 45

f	Σ	f		Σ
1 1 1	7 9 7	1,00 -0,333		7,00 -2,333
0,33 -0,124		4,33 - 1,622
0,51 - 0,254		2,51 - 1,249
—1/Ρf -0,50		- 0,51

Для раскрытия алгоритмов с символом Σ следует условно считать, что

, …, (3.57)

Тогда алгоритм [Σ_k+1.k] будет раскрываться так же, как и [ls.k], т.е. l/P_F = [ls.k], а алгоритмы [Σ₂.1], [Σ₃.2], ..., [Σ_k.(k - 1)] - как алгоритмы [bs.l], [cs.2], ..., [gl.(k-1)], если учитывать обозначения (3.55) и (3.57), например

Найдем обратный вес функции в задаче 3.17. Добавив в схему Гаусса два дополнительных столбца f и Σ и выполнив их преобразование, получим (табл. 45), обратный вес

Подобным образом в схеме Гаусса можно оценивать точность сразу нескольких функций.