§ 32. Задачи на уравнивание равноточных

ИЗМЕРЕНИЙ

3.27. Выполнить уравнивание дирекционных углов в сети триангуляции (рис. 46). Оценить их точность и точность уравненного угла .Исходные дирекционные углы: α_OA =0, α_OB = 135° 40” 19.5" Измеренные углы приведены в табл. 46.

Решение. 1) Составляем 9 (по числу измерений) уравнений поправок

Рис. 46

υ₁ = δx₂ – δx₁ +l₁

υ₂ = - δx₂ +l₂

υ₃ =+ δx₁ +l₃

υ₄ = δx₄ – δx₃ +l₄

υ₅ = δx₂ – δx₄ +l₅

υ₆ = δx₃ – δx₄ +l₆

υ₇ = - δx₅ +l₇

υ₈ = δx₄ +l₈

υ₉ = δx₅ – δx₄ +l₉

где через δx_j(j = 1, 2, ..., 5) обозначены поправки к приближенным значениям дирекционных углов сторон.

2) Вычисляем приближенные дирекционные углы сторон и свободные члены

Таблица 46

Номера углов	Измеренные углы		Уравненные углы
1 2 3	64° 36' 00,9" 65 53 45,2 49 30 19,3	1",4 -2’,6 -1’,4	64°35'59,5" 65 53 42,6 49 30 17,9
Σ	180 00 05,4	-5,4	180° 00' 00,0
4 5 6	55 19 45,2 55 12 15,1 69 27 52,6	2,7 1,6 2,8	55 19 47,9 55 12 16,7 69 27 55,4
Σ	179 59 52,9	7,1	180 00 00,0
7 8 9	33 44 19,4 103 13 43,4 43 02 01,7	- 1,1 - 2,2 - 1,1	33 44 18,3 103 13 41,2 43 02 00,6
Σ	180 00 04,5	-4,4	179 59 59,9

Составляем и решаем нормальные углвнения (табл. 47—49).

Таблица 47
Номера измерений	ai	bi	ci	di	ei	li	si	vi
1 2 3 4 5 6 7 8 9	-1 1	1 -1 1 -1	-1 1	1 - 1 1 - 1	-1 1	-5,4 0 0 10,3 -3,2 0 0 0 -4,5	-5,4 -1 1 10,3 -3,2 0 - 1 1 -4,5	- 1,41 -2,57 -1,42 2,74 1,61 2,75 -1,13 -2,24 - 1,13
δxj -1,42 2,57 5,32 -2,24 1,13 Контроль -0,01 0,02 0,01 0 02 0 [av] [bv] [cv] [dv] [ev]							[vv] = 35,98 [lv] = 35,77

Таблица 48
	a]	b]	c]	d]	e]	l]	s]	f	Σ
[a	2	-1	0	0	0	5,4	6,4	0	1
[b		4	- 1	- 1	0	-8,6	-7,6	-1	0
[с			2	- 1	0	-10,8	-10,3	1	1
[d				4	-1	18,0	19,0	0	1
[e					2	-4,6	-3,5	0	1
[l						165,74	165,74
[s							169,74

Таблица 49
Вспомогатель­ные величины	δx1	δx2	δx3	δx4	δx5	ι	s	Контроль	f	Σ	Контроль
(0,5000)	2 -1	-1 0,500	0 0	0 0	0 0	5,4 -2,700	6,4 -3,200	6,4 -3,200	0 0	1,00 -0,500	1,00 -0,500
(0,2857)		3,50 -1	- 1,00 0,286	- 1,00 0,286	0 0	-5,90 1,686	-4,40 1,257	-4,40 1,258	- 1 0,286	0,50 0,142	0,50 -0,143
(0,5848)			1,71 -1	- 1,29 0,754	0 0	- 11,99 7,012	-11,56 6,760	- 11 57 6, ,46	0,71 -0,415	1,14 -0,667	1,14 -0,667
(0,3650)				2,74 - 1	-1 0,365	7,27 -2,653	9,02 -3,292	9,01 -3.253	0,25 -0,091	2,00 -0,730	2,00 -0,730
(0,6098)					1,64 -1	- 1,85 1,128	-0,21 0,128	-0,21 0,128	0,09 -0,055	1,73 - 1,053	1,73 -1,055
	-1,416 -2,419	2,567 1,562	5,322 4,313	-2,241 -3,245	1,128 0,128	35,760	35,75 35,86		-0,608	-0,607
Контроль	1,003	1,005	1,009	1,004	1,000

Продолжение табл. 49

Матрица Q получена по способу Ганзена.

Контроль	Q1j	Q2j	Q3j	Q4j	Q5j
1,000 1,003 1,0044 1,0035 0,9970	0,6114	0,2228 0,4455	0,16777 0,3354 0,8375	0,1117 0,2235 0,3352 0,4462	0,0486 0,0971 0,1676 0,2226 0,6098
	0,2228 0,1677 0,1117 0,0486
		0,3354 0,2235 0,0971
			0,3352 0,1676
				0,2226

Заметим, что матрицу коэффициентов нормальных уравнений в этой задаче

можно обратить в общем виде

Как видно, обращенная в схеме Гаусса матрица Q получена с точностью до 0,001.

4) Поправки ν_i вычислены и приведены в табл. 47. Как видно, контроли [av] = [bv] = ... = lev] = 0 выполняются в пределах точности вычислений.

5) Вычисление уравненных углов с контролем выполнено в табл. 46. Выполняется также контроль

6) Вычисляем уравненные дирекционные углы

х₁ = 229°30'17,9"; х₄ = 238°54'00,7";

х₂ = 294°06'17,4"; х₆ = 281°56'01,2".

х₃= 183°34'12,7";

7) Делаем окончательный контроль

8) Выполняем оценку точности.

Средняя квадратическая ошибка измеренного угла

Средние квадратические ошибки уравненных дирекционных углов:

Средняя квадратическая ошибка функции

Обратный вес функции определен в дополнительном столбце схемы Гаусса добавлением столбца (см. табл. 49)

а также по формуле

3.28. В табл. 50 приведены результаты измерения углов во всех комбина­циях (рис. 47) в 30 вариантах. Уравнять эти углы параметрическим способом по одному из вариантов и вычислить средние квадратические ошибки углов АОВ, ВОС, COD, DOE.

3.29. Уравнять дирекционные углы сторон триангуляционного построения (рис. 48) по одному из следующих вариантов (табл. 51 и 52). Дирекционные углы = 270°00'00,0", = 102°56'57,5".

Рис. 47

Рис. 48

Τ а б л и ц а 50
Углы	Измеренные значения углов без секунд	Варианты
		1	2		3		4		5		б	7	8		9		10
		Секунды измеренных углов
АОВ	32°26'	17,3		16,5		16,0		15,5		15,0		18,0		18,5		19,0		19,5	17,0
BOC	51 15	50,2		50,4		50,7		51,1		51,4		49,8		49,4		49,0		48,7	50,0
COD	61 42	21,1		21,5		21,9		22 4		22,8		23,1		23,5		23,8		24,0	24,3
DOE	89 31	46,4		46,1		45,8		45,4		45,7		45,3		45,4		44,6		44,0	45,0
АОС	83 42	08,0		08,5		08,9		08,7		09,1		09,3		09,8		10,5		10,7	10,1
BOD	112 58	13,9		13,6		14,3		15,0		14,7		15,4		15,9		16,2		16,5	17,0
СОЕ	151 14	10,5		10,7		10,9		11,1		11,3		11,4		11,6		11,8		11,5	12,2
AOD	145 24	26,3		26,1		25,8		25,5		25,3		26,5		26,8		27,1		27 4	27,8
ВОЕ	202 29	56,8		56,8		57,0		57,1		57,2		57,3		57,4		57,5		57,6	57,7
АОЕ	234 56	15,6		15,3		15,0		14,7		14,4		16,0		16,3		16,6		16 9	15,8

Продолжение табл. 50
	Измеренные значения углов без секунд			Варианты
Углы		11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
				Секунды измеренных углов
АОВ	37°26'	20,2	18,0	17,8	17,5	19,1	18,9	15,2	17,5	17,3	16,6
BOC	51 15	45,8	43,8	46,6	45,9	48,6	48,8	49,6	51,6	47,5	52,4
COD	61 42	20,8	20,1	18,1	18,0	17,5	19,2	16,9	17,9	17,7	17,8
DOE	89 31	40,5	39,7	42,6	45,5	44,2	40,9	45,2	45,3	41,8	43,9
АОС	88 42	06,5	05,8	07,3	06,8	07,5	08,4	03,6	04,5	03,5	05,3
BOD	112 58	02,4	07,5	03,4	07,6	02,2	10,3	07,4	06,4	08,5	08,1
СОЕ	151 14	02,6	03,4	04,3	01,2	04,2	03,2	00,1	01,2	01,9	02,8
AOD	150 24	21,5	26,1	22,2	24,8	21,0	£5,4	24,5	27,7	21,4	23,2
ВОЕ	202 29	42,5	43,5	46,3	50,2	46,2	44,9	54,3	56,2	45,3	56,2
АОЕ	239 56	06,8	05,7	08,2	07,5	05,3	04,6	06,4	08,4	07,6	10,3

Продолжение табл. 50
	<υ L ,				Варианты
Углы	Измереннь значения > лов без се кунд	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
					Секунды измеренных углов
АОВ	60°43'	15,2	16,2	13,9	14,5	12,9	13,5	12,8	11,2	14,7	12,1
вое	37 41	32,4	31,4	32,4	33,2	34,1	32,6	32,1	31,5	31,9	33,2
COD	87 21	28,1	30,8	29,5	27,8	28,4	28,8	31,1	28,4	29,5	29,3
DOE	101 53	12,6	13,2	14,6	14,6	15,2	12,9	11,8	12,5	13,0	15,2
АОС	98 24	43,7	44,3	42,5	43,0	43,8	41,9	41,1	41,6	43,2	41,5
BOD	125 03	11,1	08,5	09,4	10,1	10,7	06,9	06,5	С5,1	07,0	04,6
СОЕ	189 14	43,8	43,0	42,6	42,9	43,4	42,6	41,9	42,8	45,5	46,4
AOD	185 46	19,6	20,5	21,7	20,4	21,0	19,8	18,8	15,4	17,2	12,2
ВОЕ	226 56	12,2	11,1	12,9	13,3	13,9	13,0	12,1	14,5	16,6	17,9
АОЕ	287 39	24,3	25,6	27,0	26,1	26,6	25,8	25,1	24,2	25,3	26,4

Таблица 51
Номера треугольников	Номера углов	Измеренные значения углов(без секунд)	Номера треугольников	Номера углов	Измеренные значения углов(без секунд)	Номера треугольников	Номера углов	Измеренные значения углов(без секунд)
	I	69"33'		4	66 47		7	46 25
I	2	60 35	II	5	59 10	III	8	73 11
	3	49 51		6	54 02		9	60 22

3.30. В нивелирной сети, содержащей одну узловую точку (рис. 49), измерены превышения h₁ = 1,368; h₂ = 4,694; h₃ = -0,905. Найти уравненное значение отметки узлового репера и ее вес, если длины ходов примерно одинаковы, а отметки исходных марок Η₁ = 189,617; Н₂ = 186,292; Н₃ = 191,880.

3.31. Даны уравнения поправок V = АΔх+ L, где матрица

Рис. 49

Рис. 50

а вектор свободных членов

Составить и решить с контролем систему нормальных уравнений, если измерения равноточны.

3.32. Дана система нормальных уравнений

и величина [ll] = 2. Найти [υυ].

3.33. В равностороннем треугольнике получены следующие результаты измерений превышений по всем сторонам: h₁ = 2,500, h₂ = 1,820, h₃ = -4,315.

Выполнить уравнивание превышений и найти их веса.

3.34.Внутри исходного угла АОВ (рис. 50), равного 91°01'15", измерены три угла: y₁ = 25°00'10", y₂ = 35°50'50", y₃ = 30°10'00". Составить уравнения поправок и вычислить среднюю квадратическую ошибку суммы уравненных углов

3.35. Даны уравнения поправок: 1) 2х₁ - 2х₂ + 4 = υ₁, 2) – х₁ + 2х₂ = υ₂,

3) 3x₁ - 2х₂ + 2 = υ₃.

Найти среднюю квадратическую ошибку функции уравненных величин u = 29,3 - 7,0x₁ + 5,5х₂.

3.36. Уравнять параметрическим способом сеть трилатерации, изображенную на рис. 51. Оценить точность уравненных координат, длины и дирекционного угла стороны BD.

Исходные данные - координаты пунктов А, О, С приведены ниже:

Пункт x у

А 1813,119 0

0 0 0

С -1527,638 1492,213,

Таблица 53
Номера сторон	s	υi
1 2 3 4 5	1832,120 1526,358 1524,054 1737,975 3046,229	- 0,001 0,001 - 0,001 0,001 - 0,000	1832,119 1526,359 1524,053 1737,976 3046,229

Рис. 51

а измеренные светодальномером СМ-2М длины сторон - в табл. 53.

Решение задачи необходимо начать с вычисления приближенных координат пунктов D и В. Однако этот процесс достаточно трудоемкий (подробно он изучается в курсе «Высшая геодезия»). Поэтому координаты мы приведем ниже, не выполняя здесь вычислений.

Пункт x у

D 623,360 -1393,272

В - 897,701 -1488,183

Таблица 54
Номера сторон	αί	cos α.	sin a .	Δxi(0)	Δyi(0)	S-(0)
1 2 3 4 5	229°30' 294 06 183 34 238 54 281 56	- 0,649 0,408 - 0,998 - 0,517 0,207	-0,760 -0,913 -0,062 -0,856 -0,978	-1189,759 623,360 - 1521,061 -897,701 629,937	- 1393,272 - 1393,272 - 94,911 - 1488,183 -2980,396	1832,139 1526,363 1524,019 1737,975 3046,240

1. Составление уравнений поправок.

Как было получено в задаче 3.2, эти уравнения имеют вид

(3.58)

если стороне i придать направление с начального пункта к конечному. Необходимые для вычисления коэффициентов cosa_i и sina_i дирекционные углы с точностью до минут возьмем из задачи 3.27. Вычисления расположим в табл. 54.

Приближенные длины сторон S_i⁽⁰⁾ вычислены по формуле

на миникомпьютере без промежуточных записей. Свободные члены находят по формуле

2. Составление нормальных уравнений и их решение дано в табл. 55-57. Еще раз покажем подробно на числах, как вычисляются весовые коэффициенты Q_ij:

Q₄₄= 1/[dd.3]=0.629;

Q₄₃=0.629(-0,3879) = -0,244;

Q₄₂=0,629 (-0,0022) + (-0,244) (-0,0373) =0,008;

Q₄₁=0,6290,0391 + (- 0,024) (0,6288+0,008(-0,1149)=- 0,130;

контроль:

(-0,062) (-0,130) + (-0,004)0,008+0,302(-0,244) + 1,6930,629=0,999

Q₃₃= 1,4749+ (-0,244) (-0,3879) = 1,570,

Q₃₂=(-0,244) (-0,0022)+ 1,570(-0,0373) =-0,058,

Таблица 55
Номера измерений	ai	bi	ci	di	li	si	νi
1	-0,649	-0,760			1,9	0,491	-0,101
2	0,408	-0,913			0,5	-0,005	0,075
3	0,998	0,062	-0,998	-0,062	-3,5	-3,500	-0,097
4			-0,517	-0,856	0	-1,373	0,139
5			0,207	-0,978	1,1	0,329	-0.ΙΙ5
δj	1,667	1,210	- 1,722	0,878		[νν] = 0,058
	-0,001	0,002	0.001			[lν] = 0,059

Τаблица 66
1	a]	b]	c]	d]	l]	S]
[a	1,584	0,182	-0,996	-0,062	-4,522	-3,814
[b		1,414	-0,062	-0,004	-2,118	-0,588
[с			1,306	0,302	3,721	4,271
[a				1,693	-0,858	1,070
[1					17,230	13,524
[s			|			14,484

Q₃₁= (-0,244) (0,0391) + 1,5100,6288+ (-0,058) (0,1149) =0,984;

контроль: -0,9960,984(0,058) (-0,062) +1,5701,306+(-0,244) 0,302 = 1,000,

Q₂₂ = 0,718+ (-0,058) (-0,0373) +0,008(-0,0022) = 0,720,

Q₁₁ =0,720 (-0,1149) + (-0,058) 0,6288+0,0080,391 = -0,119;

контроль:

0,182(-0,119) + 1,4140,720+ (-0,062) (-0,058) + (-0,004) (0,008) = 1,000,

Q₁₁ = 0,631 + (-0,119) (-0,1149)+0,9840,6288+0,1300,0391 = 1,258;

контроль:

1,584 1,258 + 0,182(-0,119) + (-0,996) 0,984 + (-0,062)(-0,130) = 0,999.

Напомним, что вычисляются числа только в нижней части таблицы, верхняя часть заполняется симметрично нижней.

Составление нормальных уравнений можно выполнить, минуя традиционную схему. В самом деле, если уравнение поправок (3.58) записать в виде

где матрица С_i = (cos a_i sin a_i), а

то получим для каждой стороны матрицу

(3.59)

Матрицу коэффициентов нормальных уравнений, представив ее в блочном виде порядка k, где k - число определяемых пунктов, получим по формулам [7]:

1) диагональные блоки

(3·60)

Τаблица 57
Вспомогательные величины	а	b	c	d	l	s	Контроль
(0,6313)	1,584 (-1)	0,182 -0,1149	-0,996 0,6288	-0,062 0,0391	-4,522 2,8548	-3,814 2,4078	-3,814 2,4078
(0,7179)		1,393 (-1)	+0.052 -0,0373	+0,003 -0,0022	- 1,598 1,1472	-0,150 0,1077	-0,150 0,1077
(1,4749)			0,678 (-1)	0,262 -0,3879	0,937 - 1,3820	1,878 -2,7699	1,874 -2,7099
(0,6293)				1,589 (-1)	- 1,395 0,8779	0,193 -0,1215	0,194 -0,1221
	1,6670	1,2095	- 1,7225	0,8779	0,153	0,056
	0,6669	0,2095	-2,7228	-0,1215
1,0001 0,998 1,000 1,000 0,999	1,0000 1,258 -0,119 0,984 -0,130	1,0003 Q2 -0,119 0,720 -0,058 0,008 -	0,9994 Q3 0,984 -0,058 1,570 -0,244	Q4 -0,130 0,008 -0,244 0,629

(суммируются матрицы R_i тех сторон, которые принадлежат пункту с номером j;

2) недиагональные

(3.61)

16/, S

где R_i - матрица той стороны, которая принадлежит определяемым пунктам j, s. Так, в нашей задаче

R₁₁ = R₁ + R₂ + R₃; R₂₂ = R₃ + R₄ + R₅; R₁₂= - R₃;

Составляющие свободного члена A^TL = b вычисляются по формуле

(3.62)

Знак «+» ставится, если сторона i направлена к точке j, знак «-» - в противоположном случае. Так,

Вычисления выполняют в табл. 58.

Таблица 58
Номера сторон	Матрица Сi	Матрица Ri		li	CTli
1	-0,649 -0,760	0,421	0,493 0,578	1,9	-1,233 - 1,444
2	0,408 -0,913	0,166	-0,372 0,833	0,5	0,204 -0,456
3	-0,998 -0,062	0,996	0,062 0,004	-3,5	+3,493 0,217
4	-0,517 -0,853	0,268	0,442 0,732	0	0 0
5	0,207 -0,978	0,043	-0,202 0,956	1,1	0,228 . -1,076

Матрицы

Вектор

Рассмотренный способ значительно сокращает объем вычислений при составлении нормальных уравнений.

3. Вычисление поправок (3.58) и их контроль [av] = [bv] = [cv] = [dv] = 0 выполнены в табл. 55.

4. Вычисление уравненных неизвестных:

Таблица 59
Номера сторон			Si	Номера сторон			Si
1 2 3	-1189,742 623,377 - 1521,095	-1393,260 -1393,260 -94,914	1832,119 1526,359 1524,053	4 5	-897,718 629,920	- 1488,174 -2980,387	1737,976 3046,228

5. Окончательный контроль решения задачи

где S_i, Δx_i и Δy_i - соответственно уравненные длины сторон (см. табл. 53) и уравненные приращения координат. Вычисления представлены в табл. 59. Как видно, задача решена верно.

6. Оценка точности функций.

Коэффициенты f_j функции - уравненной длины стороны BD совпадают с коэффициентами уравнения поправок для этой стороны, т. е. матрица

f = (0,993 0,062 - 0,998 -0,062).

Для того чтобы получить матрицу j для второй функции - уравненного дирекционного угла этой стороны, необходимо вычислить коэффициенты уравнения поправок для дирекционного угла (см. задачу 3.3). Поэтому будем иметь

или, так как

Далее по формуле (3.49) находим матрицу Q_F = fQf^Т. При этом

и

Так как в нашей задаче число избыточных измерений r = n - k = 5 - 4 = 1 недостаточно, чтобы можно было вычислить среднюю квадратическую ошибку измерения, то невозможно вычислить и ошибки m_F функций. Однако большой опыт измерений позволяет считать известным среднее квадратическое отклонение = 0,02 м.

Для координат пунктов имеем

Таблица 60
Номера сторон	Измеренные дирекционные углы	Секунды уравненных дирекционных углов	Номера сторон	Измеренные дирекционные углы	Секунды уравненных дирекционных углов
1 2 3	229°30'15,9" 294 06 16,5 183 34 09,2	15,9 16,6 09,2	4 5	238 54 02,2 281 56 06,8	02,2 06,8

а для функций

3.37. Уравнять параметрическим способом сеть (см. рис. 52), в которой были измерены гиротеодолитом дирекционные углы (результаты измерений приведены в табл. 60). Оценить точность тех же элементов сети, что и в задаче 3.36.

Решение. 1. Полагая известными приближенные координаты пунктов D и С (см. задачу 3.36), составляем уравнение поправок для дирекционных углов сторон (см. задачу 3.3)

где свободный член

Вычисления располагаем в табл. 61.

Таблица 61
Номера сторон
1 2 3 4 5	1832 1526 1524 1738 3046	-0,856 102 - 1,234 -0,084 -1,018 -0,662	0,731-102 -0,552 + 1,350 +0,614 -0,140	1,171054 -2,2351001 0,0623979 1,6577714 -4,7312604	229° 30'17,8" 294 06 14,7 183 34 13,8 238 54 02,9 281 56 03,8

Таблица 62
Номера измерений					li	Si	vi
1	+0,858	-0,731			+ 1,7	1,827	-0,029
2	1,234	+0,552			- 1,8	-0,014	0,015
3 4	-0,084	+ 1,350	+0,084	-1,350	+4,6	+4,600	-0,019
			1,018	-0,614	+0,7	1,104	0,036
5			0,662	+0,140	-3,8	-2,998	-0,043
	0,271	2,683	3,139	6,283
	-0,005	0,004	0,006	0,002

Таблица 63
Номера сторон	Аi		Ri		li	ATL
1	-0,856	0,731	0,733	-0,626 0,534	1.7	-1,455 1,243
2 3	-1,234 -0,084	-0,552 1,350	1,523 0,007	0,681 0,305 -0,113	-1,8 +4,6	2,221 0,994 -0,384
4	-1,018	+0,614	1,033	1,822 -0,625 0,377	+0,7	6,210 -0,712 0,430
5	-0,662	-0,140	0,438	0,093 0,020	-3,0	1,986 0,420

Значения , , , взяты из табл. 54.

2. Составление уравнений поправок, нормальных уравнений и их решение дано в табл. 62,63.

Коэффициенты здесь уменьшены в 10² раз.

Для составления нормальных уравнений воспользуемся формулами (3.59), (3.60), (3.61), (3.62), приведенными в предыдущей задаче. Они остаются без изме­нения, только вместо матрицы С_j следует теперь иметь в виду матрицу

Знак «+» перед матрицей ставится, если сторона i выходит из точки k, знак «-» - в обратном случае.

Таблица 64
Номера сторон	Δx	Δy
1 2 3 4 5	-1189,756 623,363 - 121,033 -897,670 629,968	- 1393,245 -1393,245 -94,875 -1488,120 -2980,333	1,1710342 -2,235046 0,0623754 1 6577584 -4,7309276	49°30'16,0" 294 06 16,6 3 34 09,2 238 54 02,2 281 56 06,8

Матрица

Вектор свободных членов

Такой же результат получается по обычной схеме составления нормальных уравнений.

Векторы неизвестных и поправок

Уравненные неизвестные представлены ниже

Пункт x у

D 623,363 -1393,245

С -897,670 -1488,120

а окончательный контроль - в табл. 64.

Как видим, вычисленные по уравненным координатам дирекционные углы совпали в пределах точности вычислений с уравненными дирекционными углами, приведенными в табл 60.

В этой задаче, очевидно, матрица f совпадает с матрицей f, полученной в предыдущей задаче, так как оцениваются те же функции S₃ и α₃ По упомянутой выше программе получена матрица

Находим далее

Считая, что точность измерения дирекционных углов характеризуется величиной σ = 2", получим средние квадратические отклонения:

Сравнение с результатами оценки точности, полученными в предыдущей задаче, показывает, что при примерно одинаковой точности длин сторон уравненные дирекционные углы получаются точнее, когда измеряются дирекционные углы, а не стороны.

3.38. Уравнять параметрическим способом сеть триангуляции (см. рис. 52) с измеренными углами, приведенными в табл. 46. Исходные данные и приближенные координаты пунктов взяты из задачи 3.36. Оценить точность координат, длины и дирекционного угла стороны DC.

Для удобства вновь приведем табл. 65 измеренных углов и точных и приближенных координат пунктов и дирекционных углов сторон (табл. 66-67).

Решение. Так как поправка в угол υ_i есть разность поправок в дирекционные углы его сторон (см. задачу 3.4), то для составления уравненных поправок углов воспользуемся уже составленными в предыдущей задаче уравнениями поправок дирекционных углов. Вычитая коэффициенты при одних и тех же поправках координат, соответствующих i-му углу уравнений поправок дирекционных углов, получим коэффициенты, представленные в табл. 68.

Контролем вычисления l_i является равенство суммы l_i углов данного треугольника невязке углов треугольника ([l]₁ = -5,4", [l]₂ = 7,1, [1]₃ = -4,5) (см. табл. 65).

Таблица 65
Номера углов	Измеренные углы	Поправки	Секунды уравненных углов
1 2 3	64°36'00,9" 65 53 45,2 49 30 19,3	-2,1" -2,8 -0,5	58,8 42,4 18,8
4 5 6	Σ 55 19 45,2 55 12 15,1 6 0 27 52,6 Σ	-5,4 2,0 1,7 3,4 +7,1	47,2 16,8 56,0
7 8 9	33 44 19,4 103 13 43,4 43 02 01,7 Σ	-2,8 -2,1 0,4 -4,5	16,6 41,3 02,1

Таблица 66
Пункт	Координаты м.
	x	y
А O В	1813,119 0 -1527,638	0 0 1492,213
D С	х(0) 623,360 -897,701	y(0) -1393,272 -1488,183

Таблица 67
Номера сторон	Приближенные дирекционные углы
1	229°30'17,8"
2	294 06 14,7
3	183 34 13,8
4	238 54 02,9
5	281 56 03,8

Таблица 68
Номера углов	αj- αk	ai/ δxC	bi/ δyD	ci/ δxC	ai/ δyC	li	υi
1	α2- α1	0,376	+1,283			-4,0	-2,1
2	- α2	-1,234	-0,552			+0,1	-2,8
3	α1	0,858	-0,731			-1,5	-0,5
4	α4-α3	+0,084	-1,350	+0,934	+0,736	+3,9	2,0
5	α2-α4	1,234	0,552	-1,018	+0,614	-3,3	+ 1,7
6	α3-α2	-1,318	0,798	0,084	- 1,350	+6,5	+3,4
7	-α5			-0,662	-0,140	-3,7	-2,8
8	-α4			1,018	-0,614	0	-2,1
9	α6-α4			-0,356	+0,754	-0,8	+0,4
						[ll] [υυ]
	δxj	+ 1.922	+0,891	-1,567	+0,872	100,94 43,36
		10-2	10-2	10-2	10-2

Контроль 0,02 0,07 0,00 -0,09

[αν] [bv] [cv] [dv]

Следует отметить, что для исходных дирекционных углов α₁ = α_АО, α₁₁= α_ОВ уравнения поправок не составляются. Коэффициенты здесь уменьшены в 10² раз.

Свободные члены уравнений поправок углов получим по формуле l_i = α_j⁽⁰⁾ – α_i⁽⁰⁾ - y_i , где y_i - измеренные углы. Воспользовавшись значениями приближенных дирекционных углов, приведенных в табл. 67, получим значения l_i, вписанные в табл. 68.

Далее составляем на ЭВМ систему нормальных уравнений

получаем обратную матрицу

вектор неизвестных поправок

В табл. 68 вычисляем поправки ν_i и выполняем контроль [αν] = [bv] = [cv]= [da] = 0.

Окончательный контроль решения задачи выполняется путем вычисления по уравненным координатам, приведенным ниже, сначала дирекционных углов сторон, а по ним - углов. Последние должны совпадать с их значениями, приведенными в табл. 65. Этот процесс здесь опущен, тем более что задача будет решена коррелатным способом в главе 4.

Пункт x у

D 623,379 -1393,263

С -897,717 -1488,174

Оценка точности. В рассматриваемой сети число избыточных измерений достаточно, чтобы можно было вычислить среднюю квадратическую ошибку измерения одного угла

Средние квадратические ошибки уравненных координат:

Для оцениваемых функций, как и в предыдущих задачах, находим

Средние квадратические ошибки:

Рис. 52

Контрольная формула вычисления [υ υ] дает результат

[υυ] = [ll.k] = [ll] +L^TAΔx = 100,94 - 57,78 = 43,16.

3.39. Уравнять углы, измеренные способом круговых приемов (направления), в сети триангуляции (рис. 52) и оценить точность тех же функций, что и в задачах 3.37, 3.38. Измеренные направления, приведенные к начальному направлению (к нулю), даны в табл. 69.

Казалось бы, эту задачу можно свести к предыдущему случаю, перейдя от направлений к углам. Однако, как мы уже видели (см. задачу 1.226), эти вычисленные углы будут коррелированны и применять обычный метод наименьших квадратов необоснованно (об уравнивании коррелированных измерений см. §.49). Уравнения поправок для измеренных направлений получены нами в задаче 3·5·

Для направлений, измеренных с пункта k на s, если зафиксировать направление стороны j стрелкой, уравнение поправок можно записать в виде

(3.63)

a для обратных направлений

(3.64)

Если пункты k или s твердые, то поправки их координат равны нулю. Здесь δα -поправки ориентирования (приближенного дирекционного угла нулевого диаметра лимба, или нулевого направления). Свободные члены вычисляются следующим образом. На каждом пункте определяют дирекционный угол а_k⁽⁰⁾ (ориентирующий угол) как разность приближенного дирекционного угла а_k⁽⁰⁾ и измеренного направления по этой j-й стороне N_j. Таких значений ориентирующих углов будет столько, сколько измерено направлений на пункте k, и любое из них можно принять в качестве приближенного значения, к которому в

Таблица 69
Направления	Измеренные направления	Направления	Измеренные направления
ОВ ОС OD ОА	0°00'00,0" 103 13 43,4 158 25 58,5 224 19 43,7	ВС ВО	0°00'00" 33 44 19,4
		CD СО СВ	0 00 00,0 55 19 45,2 98 21 46,9
АО AD	0 00 00,0 49 30 19,3
		DA DO DC	0 00 00,0 64 36 00,9 134 03 53,5

результате уравнивания и будет определена поправка δα. Но с целью удобства вычислений в качестве приближенного значения α⁽⁰⁾ берут среднее из значений полученных по всем направлениям.

Таким образом, на каждом пункте k для направления j

Контроль:

Приняв в качестве приближенных значений координат данные, приведенные в табл. 66, и соответствующие им значения из табл. 67, вычисления свободных членов приведем в табл. 70.

Таблица 70
Направления	Номера сторон		Ориентирующие углы	lj
ОВ ОС OD ОА	- 4 2	135°40'19,5" 238 54 02,9 294 06 14,7 0 00 00,0	135°40'19,5" 9,5 16,2 16,3	+ 1,6 + 1,6 -1,7 -1,6
		Ср.	135 40 17,9 Σ	-0,1
АО AD	- 1	180 00 00,0 229 30 17,8	180 00 00,0 179 59 58,5	+0,8 -0,7
		Ср.	179 59 59,2 Σ	-0,1
ВС ВО	5	281 56 03,8 315 40 19,5	281 56 03,8 00,1	+ 1,8 -1,9
		Ср.	281 56 02,0 Σ	- 0,1
CD СО СВ		3 34 13,8 58 54 02,9 101 56 03,8	3 34 13,8 17,7 16,9	-2,3 + 1,6 +0,8
		Ср.	3 34 16,1 Σ	+0,1
DA DO DC		49 30 17,8 114 06 14,7 183 34 13,8	49 30 17,8 13,8 20,3	+0,5 -3,5 +3,0
	1	Ср.	49 30 17,3 Σ	0

Учитывая, что решаемая и предыдущая задачи имеют одни и те же цифровые данные, можно показать, что свободные члены l₁ уравнений поправок углов (см. табл. 68) должны быть равны разностям свободных членов l_i уравнений поправок направлений, образующих i-й угол. Действительно,

Запишем уравнения (3.63) и (3.64) в виде

где матрица

Таблица 71
Номера направлений	Направ- ления	Неизвеспше
		δα0	δαA	δαB	δαD	δαC	δxD	δyD	δxC	δyC	i
1	ОА	-1									-1,6
2	АО		-1								0,8
3	ОВ	-1									1,6
4	ВО			-1							-1,9
5	AD		-1				-А1				-0,7
6	OD	-1					-А2				-1.7
7	DC				-1		+A3		-A3		3,0
8	ОС	-1							-А4		1,6
9	ВС			-1					-А5		1.8
10	DA				-1		-А1				0,5
И	DO				-1		-A2				-3,5
12	CD					-1	+A3		-А3		-2,3
13	СО					-1			-А4		1,6
14	СВ					-1			-А5		0,8
[ll]=48,54

а векторы

Для нашей сети уравнения поправок представим в табл. 71. С ее помощью составим систему нормальных уравнений, матрицу коэффициентов которых запишем в блочном виде [7]

При этом легко получаем

Видно, что ее диагональные элементы равны числу направлений, измеренных на каждом пункте и расположенных в ней в порядке нумерации пунктов. Матрица

Блоки ее первых трех строк, относящихся к исходным пунктам, равны матрице А_j, расположенной в столбце, номер которого равен номеру определяемого пункта, причем j - номер стороны, связывающей пункт с определяемым.

Блоки остальных строк, относящихся к определяемым пунктам и расположенным по диагонали, равны Σ ± А_j тех сторон, которые входят в соответствующий определяемый пункт, причем «+» ставится, если сторона направлена к пункту, «-» - если выходит из него. Недиагональные блоки равны ±A_j той стороны, которая связывает определяемые пункты, номера которых определяются пересечением строки и столбца; «+» ставится, если номер строки меньше номера столбца, «-» - в противном случае.

Наконец, как видно из табл. 71, блок R₂₂= 2R, а матрица R составляется точно так же, как при уравнивании сети с измеренными дирекционными углами (см. задачу 3.37).

Вектор свободных членов представим в виде

причем, как легко убедиться, b₁= 0, а вектор b₂ составлен из блоков

(3.65)

где (сумма свободных членов уравнений поправок прямых и обратных направлений). Знак «+» ставим, если пункт s - начальная по отношению к j-й стороне точка, «-» - если конечная.

Так, в нашей задаче

Составим теперь матрицу R в численном виде, используя матрицы А_j уже полученные в предыдущей задаче.

R11					R12
4	0	0	0	0	-1,234	-0,552	-1,018	+0,614
	2	0	0	0	-0,856	0,731	0	0
		2	0	0	0	0	-0,662	-0,140
			3	0	-2,006	-1,171	-0,084	1,350
				3	+0,084	-1,350	- 1,764	1,824
					4,526	-0,116	-0,014	+0,226
			R22	=		5,322	+0,226 2,964	-3,664 -1,290 4,438

Заметим, что коэффициенты матрицы R₁₂ уменьшены в 10² раз, а матрицы R₂₂ — в 10⁴. Это равносильно представлению системы нормальных уравнений в виде

эквивалентной системе уравнений

Здесь Δ₁ - вектор поправок ориентирующих углов, Δ₂ — вектор поправок координат.

Мы приняли s₁ = 0, s₂ = - 2. Поэтому поправки и , послк решения системы следует соответственно оставить без изменения и уменьшить в 10² раз. Свободные члены нормальных уравнений согласно выражению (3.65) получим с помощью табл. 72.

Таблица 72
Номера сторон
1	-0,856 0,731	-0,2	0,171 -0,146
2	- 1,234 -0,552	-5,2	6,417 2,870
3	-0,084 1,350	0,7	-0,059 0,945
4	- 1,018 0,614	3,2	-3,258 1,965
5	-0,662 -0,140	2,6	-1,721 -0,364

в виде вектора

Решение системы по схеме Гаусса приведено в табл. 73. Суммарный столбец необходимый для контроля, равен

S^T=(1.810 1.875 1.198 1.089 1.794 -6.037 -2.333 3.396 0.832)

В табл. 73·мы ограничились вычислением только поправок координат (уравненные координаты приведены ниже)

Пункт x y

D 623,384 -1393.267

С -897,728 -1488.182

и весовых коэффициентов, относящихся только к координатам (их контроль выполнен повторным вычислением). Дальнейшие вычисления выполняются так же как и в задаче 3.38 уравнивания углов. Для этого составим таблицу (см. табл. 68)

Таблица 73
Вспомогательные величины	δα1δα2 δα3 δα4 δα5		δx	δy	δx	δy	l	S	Контроль
(0,250)	4 0 0 0 0 (-1) 0 0 0 0		-1.234 0.1380		- 1,018 0,254i	0,614 - 0,1535	0 0	1,810 0,4525	1,810 -0,2545
(0,500)	2 0 0 0 (-1) 0 0 0		-0.856 0.4280	0,731 -0,366	0 0	0 0	0 0	1,875 -0,938C	1,875 -0,9380
(0,5000)	2 0 0 (-1) 0 0		0 0	0 0	-0,662 0,3310	-0,140 0,0700	0 0	1,198 0,599	1,198 -0,599
(0,3333)	3 0 (-1) 0		-2,006 0,6686	- 1,171 0,3903	-0,084 0,0280	1,350 -0,4500	0 0	1,089 -0,3630	1,089 -0,3630
(0,3333)	3 (-1)		0,084 -0,0280	- 1,350 0,4500	- 1,764 0,5879	1,824 -0,6079	0 0	1,794 -0,5979	1,794 -0,5978
(0,41068)			2,435 (-1)	-0,719 0,2953	-0,335 0,1376	1,267 -0,5203	-6,647 2,7298	-3,998 1,6419	-3,999 1,6424
(0,27020)				3,701 (-1)	-0,840 0,2270	- 1,837 0,4963	-3,742 1,011.	-2,718 0.7344J	-2,718 0,7344
(0,82644)					1,210 (-1)	-0,313 0,2587	3,274 -2,7058	4,171 -3,4471	4,171 -3,4471
(1,0352)						0,966 (-1)	-0,098 0,1012	0,868 -0,8986	0,868 -0,8986
	δj δj	2,4422		0,4529	-2,6797	0,1012	17,74	17,75
		1,4416		-0,5469	-3,6797	-0,8986	104
		0,575		-0,066	0,083	-0,332
	Q=	0,066		0,631	0,336	0,574
		0,083		0,336	0,895	0,268
		-0,332		0,574	0,268	1,035

Таблица 74
Номера углов	Уравненные углы	Номера углов	Уравненные угль'	Номера углов	Уравненные углы
1 2 3	64°35'58,4" 65 53 42,0 49 30 19,6	4 5 6	55°19'46,3" 55 12 17,8 69 27 55,9	7 8 9	33с44'17,5" 103 13 40,6 43 02 01,9
Σ	180 00 00,0	Σ	180 00 00,0	Σ	180 00 00,0

коэффициентов уравнений поправок углов и их свободных членов (если бы этих уравнений не было, то мы получили бы их как разности соответствующих уравнений поправок дирекционных углов, приведенных в табл. 63). С помощью этой таблицы получаем поправки углов

υ˝ =(-2,5 -3,2 +0,3, +1,1 +2,7 +3,3 -1,9 -2,8 +0,2)^т

и затем уравненные углы (табл. 74).

Отметим, что в этом случае контроль [aν] = [bν]... = 0 не должен выполняться, так как измеренными были не углы, а направления.

По уравненным углам вычисляем уравненные дирекционные углы всех сторон, сведенные в табл. 75.

Контролем решения задачи является совпадение в пределах точности вычислений дирекционных углов сторон, полученных по уравненным координатам (табл. 76 с их значениями, приведенными в табл. 75.

Оценка точности. Прежде всего необходимо вычислить величину [υ_N υ_N]. Однако поправок направлений υ_N мы не имеем. Поэтому воспользуемся формулой [υ υ] = [ll.k] = 17,74.

Таблица 75
Номера сторон	Уравненные дирекционные углы	Номера сторон	Уравненные дирекционные углы
1 2 3	229°30'19,6" 294 06 18,0 183 34 13,9	4 5	238°54'00,1" 281 56 02,0

Таблица 76
Номера сторон	Уравненные приращения координат, м		tgαi	αi
	Δx	Δy
1 2 3 4 5	-1189,735 623,384 -1521,112 -897,728 629,910	- 1393,267 -1393,267 -94,915 - 1488,182 -2980,395	- 1,1710734 2,235006 0,0623984 1,6577204 -4,7314616	229°30'19,5" 294 06 18,0 3 34 13,9 238 54 00,1 281 56 02,1

Величина [ls] = 42,606 получена по формуле [ls] = [al] + [bl] + ... + [ll].

Алгоритм [ls.k] = 17,76.

Средняя квадратическая ошибка измеренного направления

угла, вычисленного по направлениям, , а уравненных координат

Для оцениваемых функций аналогично тому, как было сделано в предыдущих задачах, найдем матрицы

Средние квадратические ошибки

3.40. В условиях задачи 3.39 найти матрицу обратных весов приращений координат по всем сторонам сети.

3.41. Сделать то же самое в условиях задач 3.37 и 3.38.