§ 33. Применение параметрического способа для решения некоторых специальных задач

С применением метода наименьших квадратов тесно связан вопрос о так называемом сглаживании экспериментальных зависимостей. Пусть производится опыт, целью которого является исследование зависимости некоторой физической величины Υ от физической величины X, причем предполагается, что Υ и X связаны функциональной зависимостью Υ = φ(Χ).

В результате наблюдений получены пары чисел

(x_iy_i) (i = 1, 2,..·, n).

О форме зависимости судят, исходя из существа задачи, или по внешнему виду экспериментальной зависимости. Например, экспериментальные точки, изображенные на рис. 53, предполагают прямолинейную зависимость вида у = ах + b, а на рис. 54 - полином второй степени у = ах² + bх + с. В общем случае можно говорить

Рис. 53

Рис. 54

Рис. 55

о подборе полинома степени n-1, который задает кривую, проходящую через все n точек (х_i y_i). Но построение такого полинома нецелесообразно, ибо существующая закономерность будет искажена случайными ошибками наблюдений. Для сглаживания случайных уклонений как раз и служит метод наименьших квадратов.

С его помощью определяют параметры а, b, с сглаживающих полиномов. Так, для прямолинейных зависимостей будем иметь уравнения (3.3) вида

………………..

(n>2)

Здесь роль неизвестных играют два параметра а и b, а роль измерений l_i - величины у; коэффициенты при а и b образуют матрицы

Поэтому имеем систему нормальных уравнений с двумя неизвестными

Решение легко выполнить с помощью обратной матрицы

где

Отсюда

(3.66)

(3.67)

Таблица 77
Номера наблю дений	xi	yi	υi
1	1	2,8	-0,16
2	2	2,7	+0,11
3	3	2,9	+0,08
4	4	3,3	-0,16
5	5	3,2	+0,11
6	6	3,4	+0,08
7	7	3,6	+0,05
8	8	3,9	-0,08
9	9	4,0	-0,02
10	10	4,2	-0,04
Σ	55	34,0	-0,03

Рассмотрим пример. Пусть имеем пары наблюдений (x_iy_i), представленные в табл. 77 и на графике в виде точек (рис. 55).

Далее вычисляем:

[x²] = 385, [ху] = 200,9, [x²]n – [x²] = 325.

График показывает, что можно предположить функциональную зависимость у = ах + b. Согласно формулам (3.66) и (3.67) имеем

Далее вычисляем уклонения (см. табл. 77) υ_i=0.168x_i+b-у_i, и осуществляем контроль на основании (3.15) или в подробной записи [xυ] = -0,18 = 0; [υ] =-0,03 = 0.

Для оценки точности вычисляем

Согласно формуле (3.47) где

Поэтому

Можно показать, что когда функциональная зависимость имеет вид y=ax+b, задача нахождения параметров a и b математически тождественна задаче построения уравнения регрессии, однако по существу отличается от неё, так как наличие функциональной связи предполагает, что коэффициент корреляции r = 1. Так применяя метод наименьших квадратов к задаче 2.41 получим то же уравнение регрессии y=0.63x+0.71, но говорить о функциональной связи y и x не приходится(это видно по расположению точек на графике рис. 33).

Аналогично решается задача и для подбора параметров полиномов более высокого порядка в общем виде.

3.42 Составить коэффициенты нормальных уравнений для определения коэффициентов полинома y=ax²+bх + с.

Таблица 78
Номера наблюдений	xi	yi	Номера наблюдений	xi	yi
1	1,0	2,2	7	7,1	54,9
2	2,1	6,0	8	7,8	71,0
3	3,1	12,4	9	9,0	91,0
4	3,9	19,2	10	10,3	107,8
5	5,0	31,0	11	10,8	129,7
6	6,2	40,8	12	12,0	158,3

3.43. Определить коэффициенты сглаживающего полинома у=ах²+bх + с по следующим результатам измерений (табл. 78) и оценить их точность.

Рассмотрим здесь еще одну специальную задачу применения параметрического способа уравнивания. Пусть выполнено n измерений одной и той же величины и получены результаты y_i искаженные систематическими ошибками ic, где с = const. Требуется из результатов измерений вывести не только уравненное значение величины X, но и оценить систематическую ошибку. В этом случае уравнения поправок будут υ_i=δx+ic+l_i где l_i = х⁽⁰⁾— у_i. В качестве приближенного значения можно принять х⁽⁰⁾= 0 или какое-то удобное для вычисления значение, близкое к y_i. Так как матрица коэффициентов уравнений поправок имеет вид

то получим матрицу коэффициентов нормальных уравнений

Вектор свободных членов будет

Решение получим с помощью обратной матрицы

(3.68)

по формуле

(3.69)

Τаблица 79
Номера приемов	Значения уi	Номера приемов	Значения yi	Номера приемов	Значения Уi
1 2	90°15'27,5" 29,7	9 10	90°15'37,3" 33,6	17 18	90°15'35,5" 38,8
3 4	29,7 30,9	11 12	31,7 33,2	19 20	33,3 32,1
5	34,6	13	37,9	21	38,7
6	34,1	14	34,9	22	39 1
7	31,3	15	35,3	23	39,4
8	33,5	16	27,2	24	39,9

Средние квадратические ошибки

Где

(3.70)

Рассмотрим следующий пример. В табл. 79 даны 24 измерения зенитного расстояния на одном из пунктов триангуляции*.

Предполагая, что измерения выполнялись равномерно во времени и влияние систематической ошибки пропорционально времени, получить наиболее надежное значение измеренного угла, оценку систематической ошибки с и оценить точность измерений и результатов.

Решение. В качестве приближенного значения х⁽⁰⁾ примем величину х⁽⁰⁾=90°15'20". Тогда найдем

Матрица (3.68)

поэтому решение (3.69)

По смыслу задачи это будет наиболее надежное значение угла, отнесенного к начальному моменту измерений.

Для величины опуская здесь вычисления, согласно формуле (3.70) найдем

Поэтому точность измерений характеризуется средней квадратической ошибкой

а ошибки

Заметим, что если решать эту задачу, не предполагая наличия систематических ошибок, то получим

= 90°15'34,3"

и m = 3,72", не соответствующую точности измерений данным теодолитом.

3.44. Доказать, что если в каждом измерении одной и той же величины систематическая ошибка постоянна, то ее невозможно выявить рассмотренным способом, а величина m не будет искажена систематическим влиянием.

3.45. Составить матрицу коэффициентов нормальных уравнений, если систематическая ошибка действует по законам: 1) (i + b)с, 2) i²с, 3) аi²с, приняв n= 5.

3.46. С помощью таблицы случайных чисел (прил. XI) смоделировать ошибки n = 10 измерений со стандартом σ = 2 и с = 1, если систематические ошибки действуют по закону ic, где i - номер измерения. Получить оценку для систематической ошибки, оценить точность ее определения и точность измерений.

3.47. Сделать то же самое, если закон действия систематических ошибок φ(с) = c sin α_j, где α_j = α_j-1 + 1°