9.Методика изучения действительных чисел.

В середине 19 в. было выполнено построение эквив-й теории действ-го числа

Рас-рим систему построения мн-ва действ. чисел по Дедекинду (сущ. еще по Кантору). В основе рассуждений лежит понятие о сечении в области рац. чисел. Сечением наз-ют разбиение мн-ва рац. чисел на два непустых клас­са ( В и В' так, что: 1) каждое рац. число попадает в одно и только одно из мн-в В и В'; 2) каждое число, вошедшее во мн-во В, меньше каждого числа из мн-ва В'. Мн-ва В и В' наз-ся соотв. нижним и верхним классами сечения. Оказ-ся, что на мн-ве рац. чисел сущ. только 3 вида сечений: а) во мн-ве В нет последнего (наиб.), а во мн-ве В' есть нач-ное (наим.) число. Именно наличие во мн-ве рац. чисел сечений 3 вида (т.е. отсутствие в нек-ых случаях в этом мн-­ве пограничного числа) свидетельствует о неполноте этого мн-ва и служит основанием для введения новых чисел-иррац.. Сечение 3 рода определяет нек-ое иррац. число, заменяющее недостающее пограничное число, т.е. это число как бы вставляется между всеми числами мн-ва. Рац. и иррац. числа получили общее название ­дейсв-х (вещественных) чисел..На корд-й прямой сущ. точки, к-ым не соотв. никакие числа из мн-ва рац. чисел: мн-во рац. чисел несвязно. Оказ-ся, что мн-во действ-х чисел явл. непрерыв­ным. Во мн-ве действ. чисел сущ. только сечения 1и 2 вида; это и свидетельствует о непр-ти этого мн-ва. Мн-во R в школьных учебниках появл-ся в 8-9 классах (чаще в 8). Мн-во дейст. чисел в физ-мат классах можно построить как теорию бескон. дес. дробей. До 80-го г. в уч-ках Алгебра и начала анализа Колмогорова в курсе 9 класса предлагалась теория действ-го числа как мн-во беск. дес. дробей (целая глава).

10. Методик изучения уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

В школе наблюдается тенденция к более раннему систематическому изучению уравнений,неравенств.(программа 1968г)Эта тенденция продолжена и в программе 1985г.Линия уравнений проходит практически с 1-11кл.1-6кл.-лин.ур.(Ур.1-ой степени),7-8кл.-квадратич.ур,биквадр.(Ур.высших степеней где можно разложить на множители),10-11кл.-показат,степен,логарифмич,тригонометрич.ур(нерав);линейные неравенства с одним неизвестным,их сис-мы,неравенства 2-ой степени,рациональные неравен.,метод интервалов-9кл.Изложение теоретических сведений об Ур.и нер. Зависит от содержания и последовательности изучения других тем школьного курса алгебры:дейст.чисел,тождественных преобразований выражений.1.В нач.кл.рассм.след.линейные уравнения:и т.д.Неизвестное число сначала находят подбором,затем используя связи между результатом и компонентами арифметич.действий.(1-й пример:чтобы найти неизв.,необход.от суммы отнять извес.слагаемое)-3кл.В1-ом кл.7 +□=10-метод подбора.В нач.кл.неравенства решаются подбором,причем в большинстве случаев огранич.нахождением лишь части решений неравенства.2.5кл. Ур.реш.также на основе зависимости между результатом и компонентами арифметич.действий,при этом часто предварительно проводится упрощение выражений.Уч.знакомятся с применением распределит.закона умножения(),в процессе изуч.десятичных дробей расс.ур.вида .В 5кл.встречаются лишь отд.примеры неравенств(решают подбором).3.В 6кл. при изуч.положит.иотриц.чисел рассм.новые примеры линейных Ур.,встреч.нелинейн.ур.На основании опред.противополож.чисел решаются Ур..,На основ.опред.модуля числа- .В 6кл. уч.знакомятся с тождественными преобр.(раскрытие скобок),решаются Ур.с равенством нулю,уч.знакомятся с правилом переноса слагаемого в др.сторону.4.В 7кл.систематизируются сведения о решении лин.ур.Существенным шагом явл.введение понятия равносильных уравн. Методы решения иррац.ур.(возведение в квадрат с проверкой,реш.подстановкой.Показ.и логариф.ур.(на основании свойств степеней и логарифмов;вынесение общего множителя за скобки,заменой.).Большинство приемов решения нерав. Состоит в переходе от к и последующем переходе от найденных корней Ур.к мно-ву реш.исходного нер-ва.В старших классах он формализуется в виде «метода интервалов».

Ур-ние – это рав-во, содерж-е неизв. число. Найденное неизв. число-корень ур-ния. решить ур-ние значит найти все его корни.

Линия ур-ний проходит с 5 по 11 класс:

1-6 кл. – лин. ур-ния (1 степени)

7-8 кл. – квадр. ур-ние

9 кл. – биквадр. ур-ния

10-11 кл. – показ., степ., лог.. тригон. ур-ния.

Линия нер-в:

7-8 кл. – числ. нер-ва

9 кл. – лин. нер-ва с одним неизв.,сист. лин. нер-в, нер-ва 2 степени, рац. нер-ва, метод интегралов

10 кл. – тригон. нер-ва

11 кл. – показ., лог. нер-ва.

Изложение теор. сведений об ур-ниях и нер-вах зав. от содержания и посл-ти изуч-я др. тем школьного курса алгебры: действ. чисел, тожд. преобразований выражений, ф-ций, начал мат. анализа, к-ые не могут получить систем-ое изложение без ур-ний и нер-в. Выбор опред. сочетания линий ур-ний и нер-в с др. линиями явл. ключом к опред. общей структуры курса.

МЕТОДЫ РЕШ-Я УР-НИЙ И НЕР-В:

1) в нач. классах рас-ся лин. ур-ния исп. метод подбора (чтобы найти неизв. слагаемое необх. из суммы отнять изв. слагаемое).2) В 5 классе – также исп. подбор, но предварительно ур-ние упрощается. 3) В 6 классе на основании определения противопол-х чисел реш-ся ур-ние –х=607. На оснавании определения модуля числа: =94. Применять пр-ло переноса слагаемого из одной части ур-ния в др. 4) В 7 класса показ-ся, что ур-ние 1 степени, явл. частным лин. ур-нием. Вводится понятие равносильных ур-ний. 5) В 11 класса вводится понятие следствие: одно ур-ние следует из др. (все реш-я одного явл. реш-ями др.).