
- •Методика:
- •Цели обучения математике. Иерархия в установлении образовательных, воспитательных и развивающих целей учебного процесса.
- •Анализ и синтез; индукция и дедукция; наблюдение, сравнение и аналогия; систематизация, обобщение и конкретизация. Многоаспектность их проявления в обучении математики.
- •Обучение математическим понятиям. Методика введения и формирования понятий.
- •Методика работы с теоремой.
- •Задачи в обучении математике. Методические требования к системе задач по теме.
- •Профильная и уровневая дифференциация.
- •Методика изучения натуральных чисел.
- •Методика изучения рациональных чисел.
- •9.Методика изучения действительных чисел.
- •10. Методик изучения уравнений и неравенств в школьном курсе математики.
- •11. Алгоритм в школьном курсе.
- •12. Системы уравнений и неравенств. Методика их изучения.
- •13. Понятие функции в школьном курсе математики.
- •14. Методика изучения линейной функции.
- •15. Методика изучения квадратичной функции.
- •16. Методика изучения показательной и логарифмической функции.
- •17. Методика изучения степенной функции.
- •18. Производная. Исследование функции и построение графика.
- •19. Интеграл в школьном курсе.
- •20. Проблемы построения школьного курса геометрии.
- •21. Геометрические построения на плоскости и в пространстве.
- •22. Геометрические преобразования в школьном курсе геометрии.
- •23. Параллельность прямых и плоскостей на плоскости и в пространстве.
- •24. Методика изучения темы «Многоугольники».
- •25. Перпендикулярность прямых и плоскостей на плоскости и в пространстве.
- •26. Методика изучения темы «Многогранники».
- •27. Тела вращения.
- •28. Векторы на плоскости и в пространстве.
- •29. Кординаты на плоскости и в пространстве.
- •30. Геометрические величины (длины, углы, площади, объемы).
29. Кординаты на плоскости и в пространстве.
Геометрия,
в которой основными средствами
исследования служат метод координат и
метод элементарной алгебры, называется
аналитической. Аналитическую геометрию
можно охарактеризовать, как представление
точек n – мерного пространства
упорядоченными системами n чисел –
координатами этих точек. Например, любую
точку земли можно полностью охарактеризовать
долготой, широтой и высотой над уровнем
моря. Хорошим примером может служить
термометр. Некоторой точке прямой
ставится в соответствие число 0;
положительные целые числа располагаются
на равных расстояниях по одну сторону,
а отрицательные – по другую, а дробные
числа выстраиваются между ними. В
двумерном случае положение точки на
плоскости может быть определено ее
расстоянием до двух фиксированных
прямых – осей. Прямоугольные координаты
употреблялись в геометрии еще до начала
нашей эры. Древний математик Аполлоний
уже пользовался прямоугольными
координатами. При помощи них он определял
уже известные в то время кривые: параболу,
гиперболу и эллипс. Впервые идея
координатного метода была развита Ферма
и Декартом. В их формулировках расстояния
до координатных осей могли быть только
положительными числами и нулем. Идея о
том, что они могут быть и отрицательными
принадлежит Ньютону. Лейбниц первым
назвал эти расстояния координатами.
Значение аналитической геометрии
состоит прежде всего в том, что она
установила тесную связь между алгеброй
и геометрией. По учебнику Погорелова
координаты заняли одно из центральных
мест. Они вводятся в седьмом классе. При
нахождении координат середины отрезка
рассматривается два случая возможного
расположения этого отрезка: отрезок АВ
не параллелен оси y, то есть х1
х2,
и х1
= х2,
то есть отрезок параллелен оси. Формулы
для вычисления расстояния между точками,
координаты которых известны, также
рассматриваются для различных случаев
расположения этих точек. Ищем расстояние
между точками А1(х1,y1)
и А2(х2,y2).
Вначале рассмотрим случай когда х1
х2
и y1
y2.
в этом случае получаем , что расстояние
между А и А1
равно
,
а расстояние между А и А2
равно
.
(А – точка пересечения перпендик.к
осям). Тогда по теореме Пифагора получаем
искомое расстояние:
.
После этого рассматриваются другие возможные случаи:
-
х1=х2, y1
y2; 2)х1
х2, y1 = y2; 3)х1=х2, y1 = y2; Убеждаемся, что полученная формула верна для всех этих случаев. При изучении метода координат мы выбираем обратный путь: исходя из геометрических свойств некоторых кривых выводим их уравнение. Уравнением фигуры на плоскости в декартовых координатах называется уравнение с двумя неизвестными х и y, которому удовлетворяют координаты любой точки фигуры. И обратно: любые два числа, удовлетворяющие этому уравнению, являются координатами некоторой точки фигуры. Уравнение фигуры на плоскости можно записать так: F(х,y)=0, где F(х,y) – функция двух переменных. В пространстве это уравнение примет вид: F(х,y,z)=0. В обязательную программу входят уравнения окружности и прямой. Составление уравнения окружности с центром в точке А0(а,в) и радиусом R начинается с того, что используется геометрическое определение окружности, получаем уравнение окружности. Замечаем, что координаты х и y каждой точки А окружности удовлетворяют уравнению:
(х
– а)2
+ (y - в)2
= h2.
(1) Затем рассматриваем обратную задачу:
покажем, что любая точка А, координаты
которой удовлетворяют уравнению (1),
принадлежат окружности, а это очевидно.
Таким образом, мы действительно показали,
что уравнение (1) есть уравнение фигуры
– окружности. Вывод уравнения прямой
проводится по такой же схеме.Оно имеет
вид ах + вy + с = 0 В курсе геометрии
рассматриваются пространственные
уравнения плоскости и сферы. Уравнение
плоскости имеет вид:
, причем коэффициенты а, b, c являются
координатами вектора,
этой плоскости. Здесь учащиеся по-новому
подходят к заданию прямой в пространстве.
Так как любая прямая полностью
определяется, если заданы две плоскости,
проходящие через эту прямую, то от сюда
след.что любая прямая в пространстве
задается двумя линейными уравнениями
– уравнениями плоскостей, проходящих
через нее. Уравнение сферы вводится так
же, как уравнение окружности. Следует
обратить внимание на то, что основную
роль в вопросах приложений метода
координат занимает рациональный выбор
расположения осей координат. Рассмотрим
теорему: середина гипотенузы прямоугольного
треугольника равно удалена от его
вершин. Первым шагом при применении
метода координат является такой выбор
осей и начала координат, при котором
алгебраические выкладки становятся
более простыми. Удобнее всего вершину
прямого угла расположить в начале
координат.