- •Часть 4
- •Введение
- •Лекция 1. Система математических расчетов MathCad и особенности ее применения
- •1. Общая характеристика системы MathCad
- •2. Информационная среда, предоставляемая в распоряжение пользователя
- •3. Входной язык, встроенные функции и модули системы MathCad
- •3.1. Входной язык системы MathCad
- •3.2. Основные модули системы MathCad
- •Лабораторное занятие 1: Вычисления и типы данных
- •1. Вычисление значений арифметических и алгебраических выражений
- •2. Переменные, функции и операторы
- •2.1. Переменные
- •2.2. Функции
- •2.3. Операторы
- •3. Данные в MathCad
- •3.1 Типы данных
- •3.2. Размерные переменные
- •4. Массивы
- •4.1. Создание массивов
- •4.2. Ранжированные переменные
- •Лабораторное занятие 2. Создание графиков
- •1. Двумерная графика
- •1.4. Полярный график
- •1.5. Построение нескольких рядов данных
- •1.6. Форматирование осей
- •1.7. Форматирование рядов данных
- •1.8. Трассировка и увеличение графиков
- •2. Трехмерная графика
- •2.1 Создание трехмерной графики
- •2.2. Форматирование трехмерных графиков
- •Лабораторное занятие 3. Символьные вычисления
- •1. Символьная алгебра
- •1.1.Разложение выражений (Expand)
- •1.2. Упрощение выражений (Simplify)
- •1.3. Разложение на множители (Factor)
- •1.4. Приведение подобных слагаемых
- •1.5. Определение коэффициентов полинома (Polynomial Coefficients)
- •1.6. Разложение на элементарные дроби
- •1.7. Подстановка переменной (Substitute)
- •1.8. Решение алгебраических уравнений (solve)
- •1.9. Суммы и произведения
- •2. Символьное решение задач математического анализа
- •2.1. Дифференцирование (Differentiate) и интегрирование (Integrate)
- •2.2. Разложение в ряд (Expand to Series)
- •2.3. Интегральные преобразования
- •3. Дополнительные возможности символьного процессора
- •3.1. Применение функций пользователя
- •3.2. Получение численного значения выражений
- •3.3. Последовательности символьных команд
- •Лабораторное занятие 4. Численные методы
- •1. Интегрирование и дифференцирование
- •1.1. Интегрирование
- •1.2. Дифференцирование
- •2. Алгебраические уравнения и оптимизация
- •2.1. Одно уравнение с одним неизвестным
- •2.2. Корни полинома
- •2.3. Системы уравнений
- •2.4. Символьное решение уравнений
- •3. Поиск экстремума функции
- •3.1. Экстремум функции одной переменной
- •3.2. Условный экстремум
- •3.3. Экстремум функции многих переменных
- •3.4. Линейное программирование
- •Лабораторное занятие 5. Матричные вычисления
- •Простейшие операции с матрицами
- •Транспонирование
- •Сложение
- •1.3. Умножение
- •1.4. Определитель квадратной матрицы
- •1.5. Модуль вектора
- •1.6. Скалярное произведение векторов
- •1.7. Векторное произведение
- •1.8. Сумма элементов вектора и след матрицы
- •1.9. Обратная матрица
- •1.10. Возведение матрицы в степень
- •1.11. Векторизация массивов
- •2.1.2. Создание матриц специального вида
- •2.2. Слияние и разбиение матриц
- •2.2.1. Выделение части матрицы
- •2.2.2. Слияние матриц
- •2.3. Сортировка матриц
- •2.4. Вывод размера матриц
- •2.5. Норма квадратной матрицы
- •2.6. Число обусловленности квадратной матрицы
- •2.7. Ранг матрицы
- •3. Система линейных уравнений
- •4. Собственные векторы и собственные значения матриц
- •Лабораторное занятие 6. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •1. Оду первого порядка
- •1.1. Вычислительный блок Given/Odesolve
- •1.2. Встроенные функции rkfixed, Rkadapt, Bulstoer
- •2. Оду высшего порядка
- •3. Системы оду первого порядка
- •3.1. Встроенные функции для решения системы оду
- •3.2. Решение системы оду в одной точке
- •Приложения Приложение 1. Встроенные функции и операторы
- •Встроенные функции
- •Приложение 2. Сообщения об ошибках
- •Оглавление
1.2. Дифференцирование
С помощью MathCAD можно вычислить производные скалярных функций любого количества аргументов, от 0-го до 5-го порядка включительно. Функции и аргументы могут быть как действительными, так и комплексными. Невозможно дифференцировать функции только вблизи точек их сингулярности (перегиба).
Вычислительный процессор обеспечивает превосходную точность численного дифференцирования.
Первая производная. Для того чтобы продифференцировать функцию f(x) в некоторой точке достаточно:
-
Определить точку х, в которой будет вычислена производная, например, x:=1.
-
Ввести оператор дифференцирования нажатием кнопки Derivative (Производная) на палитре Calculus (Матанализ) или ввести с клавиатуры вопросительный знак.
-
В появившихся местозаполнителях ввести функцию, зависящую от аргумента х, т.е. f(x), и имя самого аргумента х.
-
Ввести оператор численного или символьного вывода и получить ответ.
Задание 4. Используя операторы численного и символьного дифференцирования, получите следующие результаты:
Сохраните результаты в текущем документе.
Для численного дифференцирования MathCAD применяет довольно сложный алгоритм Риддера, вычисляющий производную с колоссальной точностью до7-8-го знака после запятой.
Производные высших порядков. MathCAD позволяет численно определить производные высших порядков, от нулевого до пятого включительно. Чтобы вычислить производную функции f(x) n-го порядка в точке х, нужно проделать те же самые операции, что и при взятии первой производной, используя на палитре Calculus (Матанализ) команду Nth Derivative (Производная n-го порядка).
Задание 5. Вычислите вторую производную функции, используя численный и символический метод.
Если упростить результат, полученный символьным процессором, то получится то же значение, что и при работе численного процессора. Для этого нужно выделить символьный результат и применить команду Symbolics, Simplify (Символы, Упростить):
Чтобы вычислить производную порядка выше 5-го, следует последовательно применить несколько раз оператор n-й производной подобно тому, как вводились операторы кратного интегрирования. Символьный процессор умеет считать производные порядка выше 5-го. Например:
Если упростить последнее выражение, то можно получить численный результат:
Сохраните изменения в текущем документе.
Частные производные. С помощью обоих процессоров MathCAD можно вычислять производные функций любого количества аргументов. В этом случае, как известно, производные по разным аргументам называются частными. Для вычисления частных производных используются те же команды, что и для обычных производных.
Задание 6. Откройте новый документ и определите частные производные функции численным и символьным методом, выполнив следующие операции:
Сохраните документ в своей папке, используя короткое имя.
Частные производные высших порядков рассчитываются точно так же, как и обычные производные высших порядков.
Задание 7. Откройте новый документ и вычислите вторую частную производную функции, выполнив следующие операции:
-
Запишите пользовательскую функцию:
-
Вызовите оператор производной n-го порядка. Запишите оператор дифференцирования в форме частной производной, выполнив следующие шаги:
-
вызовите контекстное меню, щелкнув правой кнопкой в области оператора;
-
в контекстном меню выберите пункт View Derivative As (Показать производную как);
-
в появившемся меню выберите пункт Partial Derivative (Частная производная).
Вычислите вторую частную производную символьным методом:
-
Введите значения для переменных и получите значения второй частной производной численным методом:
-
Сохраните документ в своей папке.
-
Убедитесь, что упрощение выражения для частной производной, полученной символьным методом при тех же значениях переменных, дает такой же численный результат.