matan_3sem2015_pilot

Лекция 8 по матанализу

Неофициальные записки лекций В. В. Галатенко

для студентов 1 (пилотного) потока 2 курса ПМИ ФКН НИУ ВШЭ записанные Ярославом Сергиенко

28 сентября 2015 г.

Признак Абеля

Найдем C > 0 такое, что

8x 2 X 8n 2 N: jbn(x)j < C

Зафиксируем произвольное " > 0. В соответствии с критерием Коши

9 N 2 N: 8n > N; 8p 2 Z+ 8x 2 X :

Для k > N через Ak(x) обозначим

aN+1(x) + aN+2(x) + + ak(x):

Тогда для любого n > N + 1, для любого p 2 Z+ и для любого x 2 X мы можем повторить преобразование Абеля и это выражение будет оцениваться сверху как

=n

Получаем, что равномерная сходимость доказана.

Записки могут содержать ошибки.

1

Ключевые результаты для степенных рядов используют теорему Абеля.

Определение. Непустая система B подмножеств X называется базой, åñëè

1)? 2= B.

2)8B1; B2 2 B 9B3 2 B: B3 B1 \ B2

Определение. Число A называется пределом функции f ïî áàçå B, если для любого " > 0 существует B 2 B, что

8x 2 B jf(x) Aj < "

Обозначается

lim f = A

B

Теорема. Существование предела функции f по базе B равносильно тому,

÷òî

8" > 0 9 B 2 B: 8x; x~ 2 B jf(x) f(~x)j < "

) уже доказано.

(построили элементы базы B1; B2; B3; : : :, ÷òî

1)B1 B2 B3

2)8y; y~ 2 Bn : jf(y) f(~y)j < n1

2

Пусть X множество, B база на X, Y множество, D база на Y . Пусть h(x; y): X Y ! R.

Пусть также

8x 2 X 9 lim h(x; y) = f(x)

D

8x 2 X 9 lim h(x; y) = f(x)

D

Вопрос состоит в том, при каких условиях

lim f(x) = lim g(y);

BD

то есть можно менять повторные пределы:

lim lim h(x; y) = lim lim h(x; y)

B D D B

Теорема (критерий Маркова Гордона). Повторные пределы limB f(x)

è limD g(y) существуют и равны тогда и только тогда, когда

8" > 0 9 B" 2 B:

8x 2 B" 9 Dx 2 D:

8y 2 Dx : jh(x; y) g(y)j < "

): Пусть существует limB f(x) = limD g(y) =: A. Зафиксируем произвольный " > 0. Найдем

2 D \ ~ . Тогда 8 2 Найдем Dx : Dx D" Dx y Dx.

???

(: Докажем сначала, что существует предел функции f(x) по базе B.

Чтобы это доказать, воспользуемся критерием Коши. Для этого нам нужно оценивать jf(x) f(~x)j:

jf(x) f(~x)j 6 jf(x) h(x; y)j+jh(x; y) g(y)j+jg(y) h(~x; y)j+jh(~x; y) f(~x)j

Зафиксируем произвольное " > 0. Для "1 = 4" найдем B" 2 B из условия Маркова-Гордона.

Пусть x; x~ произвольные точки B"1 . Найдем

Dx 2 D: 8y 2 Dx : jh(x; y) g(y)j < "1

Dx~ 2 D: 8y 2 Dx~ : jh(~x; y) g(y)j < "1

3

???

В соответствии с критерием Коши 9 limB f(x) =: A. Осталось доказать, что 9 limD g(y) = A.

jg(y) Aj 6 jg(y) h(x; y)j + jh(x; y) f(x)j + jf(x) Aj

4

Лекция 9 по матанализу

Неофициальные записки лекций В. В. Галатенко

для студентов 1 (пилотного) потока 2 курса ПМИ ФКН НИУ ВШЭ записанные Ярославом Сергиенко

2 октября 2015 г.

X

У нас было определение равномерной сходимости fn(x) f(x):

8" > 0 9 N 2 N: 8n > N; 8x 2 X : jfn(x) f(x)j < "

f(x; y): X Y ! R

8x 2 X 9 lim h(x; y) = f(x)

D

8y 2 Y 9 lim h(x; y) = g(y)

lim f(x) = lim g(y) , 8" > 0 9 B" 2 B8x 2 B" 9Dx 2 D : 8y 2 Dx : jh(x; y) g(y)j < "

B

Теорема. Предположим, что fn(x) f(x) и для каждого натурального n существует предел limx!b 0 fn(x) = an. Тогда limn!1 an = limx!b 0 f(x).

Мы будем использовать критерий Маркова-Гордона:

8" > 0 9 N 2 N 8n > N9 > 0: 8x 2 (b ; b): jfn(x) f(x)j < "

Из определения равномерной сходимости следует, что искомая существует. Мы можем даже взять в качестве число b a.

Теорема. Пусть I невырожденный (не пустой и не точка) промежуток

R, fn(x) 2 C(I),

I

fn(x) f(x):

Тогда f(x) 2 C(I).

Теорема о непрерывности равномерного предела. Предположим,

(a;b)

÷òî fn(x) f(x) è

8n 2 N 9 lim fn(x) = an

x!b 0

Тогда limn!1 an = limx!b 0 f(x).

Записки могут содержать ошибки.

1

Теорема об интегрируемости равномерного предела. Пусть n 2

Докажем сначала, что последовательность fIng фундаментальна. Зафиксируем произвольное " > 0. Для "1 = b "a найдем N 2 N:

8n; m > N 8x 2 [a; b] jfn(x) fm(x)j < "

Тогда

Подынтегральная функция в каждой точке меньше "1, поэтому интеграл не превосходит "1(b a) = ".

номер n1, что для любого x 2 [a; b] выполняется, что jf(x) fn(x)j < b a . Значит, найдется n2 2 N, ÷òî 8n > N2 разность jIn Ij < "1.

n := maxfN1; N2g + 1

Тогда 9 > 0: для любого (T; ) отмеченное разбиение [a; b] с диаметром, не большем :

j (fn; T; ) Inj < "1

Тогда для любого отмеченного разбиения (T; ) отрезка [a; b] с диаметром, меньшим :

j (f; T; ) Ij = j (f; T; ) (fn; T; )j + j (fn; T; ) Inj + jIn Ij

Пусть есть отрезок [0; 1] и все функции живут на нем. Покажем, что

поточечной сходимости недостаточно. Пример: набор функций ffng, ôóíê-

0; 21i , в остальных точках функция будет равна нулю. При этом поточечным пределом будет

функция, тождественно равная нулю.

Теорема. Пусть I ограниченный невырожденный промежуток R, fn(x) 2 C1(I) непрерывно дифференцируема:

I

fn0 (x) g(x)

В некоторой точке xi 2 I: ffn(x0)g1n=1 сходится.

Тогда fn(x) равномерно на I сходится к f(x), f(x) 2 C1(I) è f0(x) = g(x) íà I.

2

Через A обозначим предел limn!1 fn(x0) в некоторой точке x0,

Z x

f(x) := A + g(x)dx

x0

fn0 2 C(I)

I

Осталось доказать, что fn(x) f(x). Зафиксируем произвольное " > 0.

Найдем N1 2 N, что для любого n > N1: jfn(x0) Aj < 2" . Тогда 8n > maxfN1; N2g, 8x 2 I:

x0

3

Лекция 10 по матанализу

Неофициальные записки лекций В. В. Галатенко

для студентов 1 (пилотного) потока 2 курса ПМИ ФКН НИУ ВШЭ записанные Ярославом Сергиенко

5 октября 2015 г.

В прошлый раз мы сформулировали и доказали результаты о свойствах равномерно сходящихся последовательностей. Они легко переносятся на функциональные ряды.

Утверждение 1. Пусть 8n 2 N существует предел limx!b 0 fn(x) = an è

fn(x) F (x):

11

XX

Теорема 1. Пусть I невырожденный промежуток R, для каждого на-

fn(x) F (x):

n=1

Тогда F (x) также интегрируема по Риману и

Теорема 3. Пусть I ограниченный невырожденный промежуток, для любого натурального n функция fn непрерывно дифференцируема на I,

Записки могут содержать ошибки.

1

P1

I

Тогда n=1 fn(x) , его сумма F (x) непрерывно дифференцируема и

F 0(x) = g(x) íà I.

Или, по-другому

1 !0 1

XX

fn(x) = fn0 (x)

n=1 n=1

Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

1

X

cn(x x0)n

n=0

fcng коэффициенты степенного ряда, x0 центр степенного ряда. Дальше будем считать, что x0 = 0.

Далее мы будем рассматривать степенной ряд

1

X

cnxn

n=0

Теорема Абеля. Предположим, что степенной ряд сходится в точке x0.

êå x0, то он сходится равномерно на отрезке с концами 0 и x0 (число x0 íå обязательно должно быть положительным).

Пусть x принадлежит отрезку с концами 0 и x0 (обозначим его ).

1

X cnxn0

n=0

n

Значит, по признаку Абеля, ряд P1 cnxn .

n=0

2

Третья теорема Абеля. Предположим, что этот степенной ряд сходится

âточке x0 абсолютно. Тогда он равномерно сходится на [ jx0j; jx0j].

Äëÿ x 2 [ jx0j; jx0j]

jcnxnj 6 jcnj jx0jn;

1

X

jcnj jx0jn

n=0

èрасходится вне отрезка [ R; R].

Пусть x 2 ( R; R). Найдется x0, ÷òî jx0j > jxj è Pcnxn0 сходится. Следовательно, по первой теореме Абеля, в точке x рад сходится абсолютно.

Примеры. Можно реализовать все комбинации сходимости/расходимости в концах интервала сходимости: P xn P xn Pxn.

n2 , n ,

Определение. Интервал ( R; R) называется интервалом сходимости степенного ряда.

Замечание 2. На любом отрезке, входящем в множество сходимости степенного ряда, этот ряд сходится равномерно.

1)[a; b] ( R; R). Найдем x0 2 ( R; R): [a; b] [ xa; xb] ???

2)Если один из концов отрезка (не умаляя общности допустим, что это

правый конец) попал в отрезок [a; b], то есть b = R, то ???

Следствие. Сумма степенного ряда непрерывно на множестве сходимости.

Обозначим

p

A := lim n jcnj:

n!1

pp

lim n jcnxnj = jxj lim n jcnj = jxj A

n!1 n!1

Следствие (формула Коши-Адамара).

limn!1 n jcnj

3