matan_3sem2015_pilot

как она является константой на этом множестве). Тогда, если брус не содержит точек границы, то он функция f непрерывна на всем брусе.

Тогда, если соединить две точки, в которых она принимает разные значения ( 1), то она должна быть непрерывной на нем, что неверно.

Противоречие, следовательно тогда содержит точки границы.

nP простое множество, следовательно представимо в виде конечного объединения попарно не пересекающихся брусов

J

[

n P = j:

j=1

Каждый j либо входит в B, либо не пересекается с ним (так как не содержит граничных точек B).

~ [

P = p P B

J

[

j [ P = B

i

Закончить доказательство

4

Лекция 20 по матанализу

Неофициальные записки лекций В. В. Галатенко

для студентов 1 (пилотного) потока 2 курса ПМИ ФКН НИУ ВШЭ записанные Ярославом Сергиенко

20 ноября 2015 г.

Теорема. Ограниченное множество A Rn измеримо по Жордану если и только если (@A) = 0.

Утверждение.

0)B = 0 () 8" > 0 9 P простое множество : B P; P < ".

1)(B) = 0 () (B) = 0.

2)Åñëè B = 0 è C B, òî C = 0.

3)Åñëè B1 = 0 è B2 = 0, òî (B1 [ B2) = 0

Зафиксируем произвольное " > 0. Найдем простое P1, ÷òî P1 B1,

P1 < 2" и простое P2, ÷òî P2 B2; P2 < 2" . Тогда P1 [ P2 простое,

P1 [ P2 (B1 [ B2) è

(P1 [ P2) 6 P1 + P2 < ":

Утверждение.

1)@(A [ B) @A [ @B.

2)@(A \ B) @A [ @B.

3)@(A n B) @A [ @B.

Каждый пункт рассмотрением таблицы 3 3, по столбцам которой

идут int A, ext A и @A, а по строкам int B, ext B и @B.

Утверждение. Если A и B измеримы по Жордану, то A [ B, A \ B и A n B измеримы по Жордану.

(@A) = 0; (@B) = 0, следовательно (@A [ @B) = 0, следовательно(@(A [ B)) = 0 и A [ B измеримо.

Записки могут содержать ошибки.

1

Утверждение. Если A и B ограничены, то

(A [ B) 6 (A) + (B)

(A [ B) > (A) + (B)

(эти свойства называются супераддитивностью è субаддитивностью.

Возьмем произвольное " > 0. Найдем простые P1 è P2, ÷òî

Следствие. Если A и B измеримы и A [ B = ?, то (A [ B) = A + B.

(A) + (B) = (A) + (B) 6 (A [ B) = (A [ B) =

= (A [ B) 6 (A) + (B) = (A) + (B)

Так как левая и правая части равны, то неравенства превращаются в равенства и (A [ B) = (A) + (B).

Определение. Измеримые множества A и B называются неперекрывающимися, если (A \ B) = 0.

Замечание. Если A и B измеримы и не перекрывающиеся, то (A[B) =

A + B.

Замечание. Измеримые множества A и B не перекрываются тогда и только тогда, когда A \ B (@A [ @B).

Утверждение. Пусть x(t); y(t) 2 C1[T0; T1] непрерывно дифференцируемые функции. Тогда мера параметрической кривой равна нулю:

f(x(t); y(t)) j t 2 [T0; T1]g = 0

Через Cx обозначим maxt2[T0;T1] jx0(t)j, через Cy обозначим maxt2[T0;T1] jy0(t)j

èпусть C = maxfCx; Cyg.

Тогда 8t1; t2 :

2

Возьмем (x(tj); y(tj)) и рассмотрим квадраты с центром в этих точках и

длин сторон 2 C T1 T0

N .

Объединение этих квадратов является простым множеством, покрывающим данную кривую. Его мера не превосходит суммы мер квадратов:

Замечание. Отсюда, в частности, следует измеримость круга, т.к. мера его границы равна нулю.

Определение. Пусть A измеримое множество в Rn. Разбиением A íà- зывается конечный набор T = fAjgJj=1 измеримых попарно не перекрывающихся множеств, объединение которых дает все A.

Определение. Отмеченное разбиение ýòî ïàðà T = (T; ), ãäå T = fAjgJj=1 разбиение A, à = f jgJj=1 множество отмеченных точек j 2

Aj.

Определение. Диаметром разбиения называется величина

diam T = max diam Aj;

j

ãäå

diam Aj = supkx1 x2k

3

Лекция 21 по матанализу

Неофициальные записки лекций В. В. Галатенко

для студентов 1 (пилотного) потока 2 курса ПМИ ФКН НИУ ВШЭ записанные Ярославом Сергиенко

23 ноября 2015 г.

Пусть у нас есть пространство Rn и A измеримое подмножество Rn. Тогда разбиением A называлась совокупность T = fAjgJj=1 измеримых

Определение. Пусть f : A ! R. Тогда интегральной суммой Римана

называлось число

J

X

(f; T) = (f; T; ) = f( j) (Aj):

j=1

Определение. Говорят, что функция f интегрируема по множеству A и число I ее интеграл, если для любого положительного " найдется положительное , что для любого отмеченного разбиения T = (T; ) с диаметром, не большем , будет выполнено

j (f; T; ) Ij < ":

Обозначение:

Z Z Z

I = : : : f(x1; : : : ; xn)dx1 : : : dxn = f(x)dx

A A

Обозначения. Пусть

X множество всех отмеченных разбиений A,

B (для > 0) множество всех отмеченных разбиений A с диаметром < ,

B = fB g >0.

Замечание. B база на X.

Записки могут содержать ошибки.

1

Зафиксируем f : A ! R. Тогда (f; T): X ! R.

Òàê êàê

(f; T) + (g; T) = (f + g; T)

и функция непрерывна на X (?), то

Z Z Z

f dx + g dx = (f + g) dx:

A A A

Следствие: интеграл единственен. Аналогично

(f; T) = ( f; T)

Следовательно Z Z

f dx = f dy:

AA

Если f 6 g всюду на A, то, складывая неравенства вида f( j) Aj 6 g( j) Aj, получаем

(f; T) 6 (g; T);

откуда следует, что

ZZ

fdx 6 gdx:

AA

Утверждение. Пусть f интегрируемо по множеству A и оно удовлетворяет следующему свойству: для любого > 0 существует T разбиение A с диаметром < , все элементы которого имеют положительную меру. Тогда f ограничена на A.

Возьмем " = 1. Найдем > 0, что для любой пары (T; ) отмеченное разбиение A с диаметром, не большем

Z

(f; T; ) f dx < 1:

A

Зафиксируем T = fAjgJj=1 разбиение A с диаметром < , у которого все элементы имеют > 0.

ных точек j 2 Aj. Получаем, что A ограничено на A1. Пусть x произвольная точка A1. Положим

ãäå S è S называются верхними è нижними суммами Дарбу.

2

Замечание.

S (f; T ) = sup (f; T; )

=f j g

j 2Aj

Для любого набора отмеченных точек

S (f; T ) 6 (f; T; ) 6 S (f; T )

Определение. Рассмотрим разбиение T = fAjgJj=1. Измельчением ðàç- биения T называют разбиение, полученное дополнительным разбиением Aj на куски.

Тогда T3 является измельчением T1 è T2. Тогда

S (f; T1) 6 S (f; T3) 6 S (f; T3) 6 S (f; T2):

Определение. Нижним интегралом Дарбу f по A называется

I = sup S (f; T );

Tразбиение A

àверхним интегралом Дарбу :

Теорема (критерий Дарбу). Пусть A непустое измеримое множество, f ограничена на A. Тогда

1)f интегрируема на A и интеграл равен I.

2)I = I (= I).

3

Лекция 22 по матанализу

Неофициальные записки лекций В. В. Галатенко

для студентов 1 (пилотного) потока 2 курса ПМИ ФКН НИУ ВШЭ записанные Ярославом Сергиенко

27 ноября 2015 г.

На прошлых лекциях мы ввели понятие разбиения T = fAjg, отмеченного разбиения T = (T; ) и интегральной суммы Римана

N

X

(f; T; ) = f( j) Aj:

j=1

Число I называлось интегралом функции f, если для любого " > 0 существует > 0, что для любого отмеченного разбиения (T; ) с диаметром <

верно, что

j (f; T; ) Ij < ":

Мы также ввели понятия верхней и нижней суммы Дарбу:

Тогда для любых разбиений T1 è T2 верно, что

S (f; T1) 6 S (f; T2);

тогда обозначим

I (f) = sup S (f; T )

T

I (f) = inf S (f; T )

T

Теорема. Пусть A непустое измеримое множество, f определенная на A функция. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

равно

Записки могут содержать ошибки.

1

извольное " > 0. Найдем разбиение T1 для которого

S (f; T1) > I ";

и разбиение T2, для которого

S (f; T2) < I + ":

Пусть T = fAjgNj=1 измельчение T1 и одновременно измельчение T2.

I " < S (f; T ) 6 S (f; T ) < I + "

Отметим, что

01

Найдем конечную совокупность брусов с суммой мер < ", покрывающие

S

j @Aj. Можно считать, что все брусы невырожденны. Объединение найденной совокупности брусов, растянутых в пять раз раза относительно их

центров, обозначим через P .

Через > 0 обозначим длину самого короткого ребра в этой совокупно-

Докажем, что, если Bk не лежит полностью ни в одном Aj, òî Bk P . Внутри Bk есть точка, принадлежащая Ai1 и точка, не принадлежащая ему. Тогда на отрезке, соединяющего эти точки, есть граничная точка x, при этом длина этого отрезка не превосходит . Тогда x 2 P , а, так как Pэто объединение брусов, растянутых в пять раз, и диаметр Bk не больше, òî Bk целиком лежит в P .

Пусть C := supA(f).

KJ

2

Замечание. I = I если и только если для любого " > 0 существует разбиение T , для которого S (f; T ) S (f; t) < ".

3