matan_3sem2015_pilot

Получаем ядро Дирихле:

Из определения следует, что ядро Дирихле непрерывная 2 -периодическая четная функция, при этом

Z

DN (u)du = ;

так как интегралы всех косинусов обращаются в нуль и берется только интеграл от 1

2 .

Делая замену t = x u, получаем

Теорема (принцип локализации Римана.). Пусть f; g 2 -периодические, из R[ ; ] и совпадающие в некоторой -окрестности точки x. Тогда триго-

нометрические разложения, соответствующие этим функциям, либо одновременно сходится, либо одновременно расходятся к одному тому же числу

âточке x.

Нам достаточно доказать, что SN (f; x) SN (g; x) !N!1 0:

Тогда частичная сумма SN (f; x) сходится к s при N ! 1.

3

4

с базисом

1; cos x; sin x; cos 2x; : : : :

Заметим, что

(cos nx; cos nx) = (sin nx; sin nx) = ; íî

(1; 1) = 2

Тогда коэффициентами будут числа

сходится (например, эта сходимость имеет место, если сходятся

Определение. f удовлетворяет условию Гельдера-Липшица порядка в точке x, если существует C > 0 и > 0, что при y лежащем в -окрестности

точки x

jf(y) f(x)j 6 Cjx yj

Следствие. Если f удовлетворяет условию Г¼льдера-Липшица порядка

> 0 в точке x, то SN (x; f) ! f(x) ïðè N ! 1.

Признак Дини с s = f(x)

2

Замечание. Если f дифференцируема в точке x, то f в точке x удовлетворяет условию Г¼льдера-Липшица порядка 1.

f(y) f(x)

Из существования предела limy!x y x следует, что функция ло- кально ограничена, то есть существуют > 0 и C > 0, что для любого

y 2 B (x)

jf(y) f(x)j 6 C jy xj

Следствие. Если f дифференцируема в точке x0, то ее ряд Фурье по тригонометрической системе сходится в точке x0 ê f(x0).

1

f(x0) = a20 + X(an cos nx0 + bn sin nx0))

n=1

Следствие. Пусть функцию f можно переопределить в точке x так, что у f будет существовать левая производная в точке x, а также f можно переопределить в точке x0 так, что у нее будет существовать правая производная в точке x.

Тогда тригонометрический ряд Фурье в точке x будет сходиться к среднему арифметическому

SN (x; f) ! f(x + 0) + f(x 0): 2

Следствие. Если функция f 2 -периодическая, непрерывно диффе-

ренцируемая, то ее ряд Фурье по тригонометрической системе поточечно сходится к ней.

Лемма 1. Пусть

1

a20 + X(an cos nx + bn sin nx)

n=1

тригонометрический ряд, который на отрезке [ ; ] равномерно сходится к функции S(x). Тогда он является рядом Фурье функции S(x).

Возьмем произвольное натуральное число m и покажем, что bm(S(x)) =

3

Лемма 2. Если f 2 -периодическая и непрерывно дифференцируемая, то е¼ ряд Фурье по тригонометрической системе сходится равномерно.

P

следовательно jan(f)j < 1.

Теорема. Если f 2 -периодическая непрерывно дифференцируемая функ-

ция, то ее тригонометрический ряд Фурье равномерно сходится к ней на

[ ; ].

4

Лекция 16 по матанализу

Неофициальные записки лекций В. В. Галатенко

для студентов 1 (пилотного) потока 2 курса ПМИ ФКН НИУ ВШЭ записанные Ярославом Сергиенко

6 ноября 2015 г.

Мы рассматривали 2 -периодические функции, интегрируемые по Риману на интервале [ ; ]. Коэффициенты Фурье равнялись

Теорема. Пусть f непрерывно-дифференцируемая 2 -периодическая

Определение. Тригонометрическим многочленом называется конечная

сумма вида

N

X

0 + ( n cos nx + n sin nx)

n=1

Следствие из теоремы. Пусть f 2 -периодическая, непрерывно дифференцируемая функция. Тогда для любого " > 0 существует тригонометрический многочлен T такой, что 8x 2 RjT (x) f(x)j < ".

Пусть g непрерывная 2 -периодическая функция, g равномерно непрерывна на R, то есть

8" > 0 9 > 0 8x1; x2 2 R: jx1 x2j < ; jg(x1) g(x2)j < "

Заменим g на функцию

1 Z x+

g(t) dt = Fg(x):

2 x

Записки могут содержать ошибки.

1

ßñíî, ÷òî Fg(x) является 2 -периодической, непрерывно дифференцируемой функцией.

Покажем, что 8x: jg(x) Fg(x)j < ":

Таким образом мы доказали следующую теорему

Теорема. Для любой 2 -периодической непрерывной функции g è " > 0 существует 2 -периодическая непрерывно дифференцируемая функция, что jg(x) g(x)j < " для любого вещественного x.

Теорема Вейерштрасса. Пусть g непрерывная 2 -периодическая функция. Тогда для любого " > 0 существует тригонометрический многочлен T , что для любого x 2 R: jg(x) T (x)j < ".

Äëÿ "n = 21n существует тригонометрический многочлен Tn, ÷òî g(x)

R

Tn(x)j < 21n äëÿ âñåõ x 2 R. Тогда Tn g.

Теорема. Пусть f 2 -периодическая непрерывно дифференцируемая

функция. Тогда для любого " > 0 существует тригонометрический много- член T , что для любого x 2 R выполнено jf(x) T (x)j < " è jf0(x) T 0(x)j <

".

g := g0(x) 2 -периодическая, непрерывная функция

Z

g(x) dx = fj = 0:

~

Для любого " > 0 существует T многочлен с нулевым свободным членом:

2

тригонометрический многочлен.

Метод средних арифметических суммирования ряда. Пусть есть

P1

ðÿä n=1 an è SN åãî N-ная частичная сумма. Будем рассматривать среднее арифметическое частичных сумм

N = s1 + + sN

N

P1

Определение. n=1 суммируется методом средних арифметических к числу A, åñëè limn!1 n = A.

P1

Замечание. Если n=1 an сходится к A, то методом средних арифмети- ческих он тоже суммируется к A.

Пример. Ряд 1 1+1 не сходится, но суммируется методом средних арифметических.

Теорема. Пусть f 2 -периодическая непрерывная функция.

1

a20 + X(an cos nx + bn sin nx)

n=1

ее тригонометрический ряд Фурье, SN (x) N-ная частичная сумма этого ряда и

N (x) = S1(x) + + SN (x)

N

R

Из теоремы Вейерштрасса следует замкнутость тригонометрической системы в рассматриваемом пространстве:

Утверждение. Для любой 2 -периодической, интегрируемой по Риману на отрезке [ ; ] и любого " > 0 существует тригонометрический многочлен T , который приближает функцию f с точностью до ":

3

Лекция 17 по матанализу

Неофициальные записки лекций В. В. Галатенко

для студентов 1 (пилотного) потока 2 курса ПМИ ФКН НИУ ВШЭ записанные Ярославом Сергиенко

9 ноября 2015 г.

Пусть функция f 2 -периодическая непрерывная и интегрируемая на отрезке [ ; ]. Тогда для любого " > 0 существует тригонометрический многочлен T , что

то есть тригонометрическая система в данном пространстве со скалярным произведением является замкнутой.

В замкнутых системах есть равенство Парсеваля и существование предела сходящихся последовательностей.

Записки могут содержать ошибки.

1