matan_3sem2015_pilot

Лекция 27 по матанализу

Неофициальные записки лекций В. В. Галатенко

для студентов 1 (пилотного) потока 2 курса ПМИ ФКН ВШЭ записанные Ярославом Сергиенко

14 декабря 2015 г.

Мы продолжаем обсуждать криволинейные интегралы. Они делятся на интегралы по скалярному полю и по векторному.

Определение. Пусть F (x) векторное поле в Rn (или в некоторой об- ласти Rn). Тогда F (x) = (F 1(x); F 2(x); : : : ; F n(x).

Скалярное поле называется U называется потенциалом векторного поля F в этой области, если U дифференцируемо в этой области и выполняется равенство grad U = F .

Если у векторного поля существует потенциал, то оно называется потенциальным.

Утверждение. Пусть F непрерывно дифференцируемое потенциальное векторное поле. Тогда для любых индексов j; k 2 f1; : : : ; ng

@Fj = @Fk @xk @xj

Достаточно считать k 6= j, так как иначе слева и справа стоят одинаковые выражения.

Пусть U потенциал векторного поля F . Тогда

Утверждение. Пусть F непрерывное потенциальное векторное поле в области D, U его потенциал.

Если гладкая (кусочно-гладкая) кривая, лежащая в области D с началом в точке a и концом в точке b, то

Z

F ds = U(b) U(a)

Записки могут содержать ошибки.

1

Это утверждение достаточно доказать для гладкой кривой. В случае

кусочно-гладкой кривой, она разбивается на гладкие фрагменты, к каждому из которых мы сможем применить теорему, и получить результат для всей кривой.

Следствие. Для потенциального поля криволинейный интеграл второго рода зависит лишь от начала и конца пути, но не от самого пути.

Это эквивалентно тому, что интеграл по любой замкнутой кривой равен нулю.

Теорема (критерий потенциальности). Пусть F непрерывное векторное поле в области D. Следующие утверждения эквивалентны:

1)Поле F потенциально

2)Интеграл F по любой замкнутой ломаной равен нулю.

(1) ) (2) доказано.

(2) ) (1). Зафиксируем точку x0 2 D. Для произвольной точки x 2 D соединим x0 и x ломанной с началом в x0 и концом в точке x и положим

Z

U(x) = F ds

Так как интеграл по любой замкнутой ломанной равен нулю, интегралы по ломанным с одинаковым началом и концом совпадают. Поэтому определение U корректно.

Покажем, что U(x) потенциал F . Зафиксируем точку x = (x1; : : : ; xn) 2

2

Определение. Область D называется односвязной, если в ней любую за-

мкнутую кривую можно стянуть в точку, оставаясь все время в области

D.

Замечание. На плоскости односвязность области эквивалентна связности границы или тому, что любой замкнутый контур, лежащий в области, ограничивает внутренность, целиком лежащую в области.

Пусть D односвязная область на плоскости, (P; Q) непрерывно дифференцируемое векторное поле в D, Py0 = Q0x â D. Тогда (P; Q) потенциальное поле в D.

Для доказательства потенциальности достаточно доказать, что интеграл по любой замкнутой кривой равен нулю.

~

Пусть - произвольная замкнутая ломаная в D, D ограничиваемая

~ [

ей область. Так как D односвязна, то D D.

Теорема (формула Грина). Пусть пробегаемый против часовой

стрелки контур (замêнутая кривая) на плоскости, ограничивающий область D. Векторное поле F непрерывно дифференцируемо в области D и на гра-

ницах. Тогда I ZZ

P dx + Q dy = (Q0x Py0) dx dy

D

Докажем формулу Грина в предположении, что D разбивается в

конечное объединение непересекающихся криволинейных трапеций (стандартных по x, либо повернутых на 90 градусов стандартных по y).

Достаточно доказать формулу для поля вида (P; 0) и стандартных криволинейных трапеций по y и поля вида (0; Q) и стандартных трапеций по

3

Лекция 28 по матанализу

Неофициальные записки лекций В. В. Галатенко

для студентов 1 (пилотного) потока 2 курса ПМИ ФКН ВШЭ записанные Ярославом Сергиенко

18 декабря 2015 г.

В прошлый раз мы остановились на том, что решили проверить формулу

Мы свели ее к решению этой задачи для криволинейной трапеции для поля (P; 0). Она состоит из 4 частей: нижняя и верхняя границы ( I1 è I3, îáðà- зованные функциями ' и ), левая и правая вертикальные границы ( I2 è I4).

Так как поле горизонтально, то I2 = I4 = 0. Также

Тогда гладким куском поверхности называется отображение

8

x = x(u; v)

>

<

y = y(u; v)

>

: z = z(u; v)

области D в R3, являющаяся непрерывно дифференцируемым и удовлетворяющее условию

Определение. Коэффициентом изменения площади K(u; v) в точке (u; v)

это площадь параллелограмма со сторонами (Vu; Vv), ãäå Vu = (x0u; yu0 ; zu0 ),

Записки могут содержать ошибки.

1

Определение. Предположим, что на гладком куске поверхности задано скалярное поле (функция) f(x; y; z). Тогда поверхностным интегралом

первого рода по данному куску поверхности называется

ZZ ZZ

fdS = f(x(u; v); y(u; v); z(u; v))K(u; v) du dv

D

ZZ

=(F ; N(u; v)) du dv

D

Теорема (формула Стокса). Пусть ориентируемая поверхность, заданная дважды дифференцируемым отображением, F непрерывнодифференцируемое поле на , граница , ориентированная согласованно с . Тогда

I I ZZ

F dS = P dx + Q dy + R dz = rot F dS;

ограниченная областью V в R3 и ориентированная полем внешних нормалей, F непрерывно дифференцируема на V [ . Тогда

ZZ ZZZ

F dS = div F dx dy dz;

V

ãäå div F = Px0 + Q0y + Rz0 .

Эту теорему достаточно доказать для поля F = (0; 0; R) и для области V , являющейся цилиндром, ограниченным функцией z = '(x; y) снизу и функцией z = (x; y) сверху.

Интеграл по боковой поверхности равен 0. Интеграл по верхней крышке

2