matan_3sem2015_pilot

Получаем равенство Парсеваля для тригонометрической системы:

Пример 1. Рассмотрим функцию f(x) = x на ( ; ) и доопределим ее до 2 -периодической. Разложим ее в тригонометрический ряд Фурье. Так как она нечетная, то все an

Докажем это через ряды Фурье. Рассмотрим f(x) = x2 на ( ; ) и доопределим ее до 2 -периодической. Так как она четна, то bn = 0, à

2

n=1

1

X

(x; y) = x^n y^nkenk2

Тогда можно написать равенство Парсеваля для скалярного произведения:

Пусть f 2 -периодическая функция

Z Z

f(x) dx = f(x) [ ; ](x) dx = (f; [ ; ])

3

Следствие. Ряд Фурье можно интегрировать почленно.

Вместо 2 -периодических функций, можно рассматривать 2l-периодические, для этого достаточно сжать ее:

для любого " > 0 существует многочлен P (x), что jf(x) P (x)j < " для любого x 2 [a; b].

Заметим, что достаточно доказать эту теорему для отрезка [0; 1], так

как при помощи линейного преобразования его можно превратить в любой отрезок [a; b].

Лемма. Пусть x 2 [0; 1]. Тогда cos(n arccos x) многочлен степени n. Доказывается по индукции. База n = 1 (очевидно) и n = 2:

cos(2 arccos x) = 2 cos2(arccos x) = 2x2 1

Переход n 7!n + 1. Вспомним, что

cos(n + 1) + cos(n 1) = 2 cos n cos

Подставив = arccos x, получим

cos((n + 1) arccos x) + многочлен = 2 многочлен x

От функции f, непрерывной на отрезке [0; 1], перейдем к функции g(x) =

f(cos t), ãäå t 2 0; 2 . Продолжим g(x) четно, непрерывно и 2 -периодично (на отрезках ; 2 è 2 ; доопределим до константы).

Зафиксируем произвольное " > 0, тогда, так как g непрерывная и 2 - периодическая, то существует T (x) тригонометрический многочлен, что

jg(x) T (x)j < "

4

ïðè âñåõ x.

Так как g четная функция, можно в качестве T выбрать многочлен

5

Лекция 18 по матанализу

Неофициальные записки лекций В. В. Галатенко

для студентов 1 (пилотного) потока 2 курса ПМИ ФКН НИУ ВШЭ записанные Ярославом Сергиенко

13 ноября 2015 г.

Определение. Брусом â Rn называется множество I1 I2 In, ãäå I1; : : : ; In ограниченные промежутки.

f(x1; : : : ; xn): x1 2 I1; : : : ; xn 2 Ing

Определение. Áðóñ невырожден, åñëè âñå I1; : : : ; In невырождены (то есть являются интервалами, отрезками или полуотрезками).

Определение. Невырожденный брус называется открытым, åñëè âñå I1; : : : ; In являются интервалами. Невырожденный брус называется замкну- òûì, åñëè âñå I1; : : : ; In являются отрезками.

Замечание. Невырожденный брус открыт , он является открытым множеством и замнут , он является замкнутым множеством.

Напоминание. Для любого множества A точки пространства делятся на внутренние (которые содержатся в A вместе с некоторой окрестностью),

внешние (содержатся в дополнении вместе с окрестностью) и граничные (все остальные), которые обозначают @A.

Определение. Множества A и B не перекрываются, åñëè

A \ B @A [ @B

Определение. Длиной промежутка называется число

j(a; b)j = j[a; b]j = j[a; b)j = j(a; b]j = jb aj

Определение. Мерой бруса = I1 In называется число

= jI1j jI2j jInj

Определение. Множество в Rn называется простым, если оно представимо в виде конечного объединения попарно не перекрывающихся брусов.

Записки могут содержать ошибки.

1

Определение. Пусть A = SKk=1 k простое множество. Тогда его мерой называется число

A = 1 + 2 + + k

Замечение. Необходимо проверить корректность определения меры простого множества, то есть то, что мера множества не зависит от выбора его разбиения на простейшие.

Меры Жордана

Пусть A произвольное ограниченное подмножество Rn.

Определение. Нижней мерой Жордана называется число

Следствие. Любое конечное объединение брусов простое множество.Индукция по числу брусов в объединении. База: 1 брус верно.

Предположим, что верно для объединения n брусов. Докажем для n+1:

(P1 [ : : : [ PN ) [ PN+1 = ( 1 t : : : t K) [ PN+!

Так как разность промежутков это либо ничего, либо промежуток, либо два промежутка, то, пользуясь соотношением

(A B) n (C D) = ((A \ C) [ (A n C)) ((B \ D) [ (B n D)) n (C D) = = ((A n C) (B \ D)) t ((A n C) (B n D)) t ((A \ C) (B n D))

получаем, что разность двух брусов простое множество. Поэтому разность простых множеств также является простым:

2

Мы доказали, что пересечении простых множеств простое множество. Домашнее задание: разность и объединение простых множеств про-

стое множество.

3

Лекция 19 по матанализу

Неофициальные записки лекций В. В. Галатенко

для студентов 1 (пилотного) потока 2 курса ПМИ ФКН НИУ ВШЭ записанные Ярославом Сергиенко

16 ноября 2015 г.

Определение. Брусом â Rn называется декартово произведение ограни- ченных промежутков I1 In.

Определение. Множество в Rn называется простым, если оно представимо в виде конечного объединения брусов.

Утверждение. Любое простое множество может быть представлено виде конечного объединения попарно не пересекающихся брусов.

Набросок доказательства. Для каждой координаты рассматривается

множество точек, являющихся границей одного из брусов по этой координате. Тогда множество будет составлено из непересекающихся брусов, являющихся произведением интервалов, соединяющих соседние точки такого

=N

Pk = jI1j jIkj

Утверждение. Введенное понятие (мера простого множества) определена корректно, то есть не зависит от представления простого множества в виде конечного объединения попарно непересекающихся брусов.

Утверждение. Пусть A1 è A2 простые множества. Тогда A1 [A2, A1 \ A2, A1 n A2 также являются простыми.

Решение использует факт, доказанный на прошлой лекции, о том, что пересечение и разность брусов является простым множеством:

Записки могут содержать ошибки.

1

Утверждение. Пусть A1 è A2 простые множества.

1)A1 \ A2 = ?, òî (A1 [ A2) = A1 + A2.

2)(A1 [ A2) = A1 + A2 (A1 \ A2).

3)(A1 [ A2) 6 A1 + A2.

4)Åñëè A1 A2, òî A1 6 A2.

(A1 [ A2) = A1 + (A2 n A1) = A1 + A2 (A1 \ A2)

3)Следует из 2).

4)A1 = A1 t (A2 n A1):

A2 = A1 + (A2 n A1) > A1

Определение. Пусть B ограниченное множество. Тогда обозначим

A B

Определение. Ограниченное множество B измеримо по Жордану, если(B) = (B). В этом случае обозначим (B) := (B) = (B)

2

Утверждение (критерий измеримости). Ограниченное множество B

измеримо по Жордану тогда и только тогда, когда для любого " > 0 существуют простые множества p и P , что p B P и P p < ".

)Пусть B измеримо по Жордану. Зафиксируем произвольное " > 0. Тогда существует простое множество P B, что

(Возьмем произвольное " > 0. Найдем p и P , удовлетворяющие утверждению p B P и P p < ". Тогда

0 6 (B) (B) 6 P p < ";

следовательно (B) (B) = 0, то есть B измеримо по Жордану.

Утверждение. Ограниченное множество B измеримо тогда и только тогда, когда его граница измерима и имеет меру нуль: (@B) = 0.

)Возьмем произвольное " > 0. Найдем p и P простые множества, что p B P и P p < ". Можно считать, что p объединение открытых брусов, а P замкнутых. Следовательно

p int B; P (int B [ @B);

(здесь внутренность была обозначена через int B, а замыкание через int B [ @B).

Тогда P n p @B и (P n p) < ", следовательно (@B) = (@B) = 0.

(Лемма. Пусть брус, который внутри себя содержит как точки внутренности, так и внешности:

\ (int B) 6= ?;

\ (ext B) 6= ?:

Тогда брус содержит точки границы: \ (@B) 6= ?.

3