matan_3sem2015_pilot
.pdfЛекция 23 по матанализу
Неофициальные записки лекций В. В. Галатенко
для студентов 1 (пилотного) потока 2 курса ПМИ ФКН НИУ ВШЭ записанные Ярославом Сергиенко
30 ноября 2015 г.
На прошлой лекции мы доказали следующую теорему:
Теорема. Пусть f ограничена на непустом измеримом множестве A. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
(1)f интегрируема по Риману на A.
(2)I = I .
(3)Для любого " > 0 существует T разбиение A, что
S (f; T ) S (f; T ) < ":
Докажем, что эти условия также эквивалентны условию
(4)Для любого " > 0 существует > 0, что для любого разбиения T с диаметром, меньшим
S (f; T ) S (f; T ) < "
(1) ) (4). Возьмем произвольное " > 0. Найдем > 0, что для любого
отмеченного разбиения (T; ) с диаметром, меньшим |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
(f; T; ) ZA f dx < 3: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Значит, для любого разбиения |
|
с диаметром, |
|
меньшим |
|
, существует набор |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
отмеченных точек , что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
I |
" |
< (f; T; ) < I + |
" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
I |
|
" |
inf (f; T; ) = S |
|
(f; T ) |
6 |
S (f; T ) = sup (f; T; ) |
6 |
I + |
" |
: |
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
3 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||||
(4) ) (3). Очевидно, так как (3) это частный случай (4). |
|
|
|
|
Следствие 1. В одномерном случае старое и новое определение интеграла Римана эквивалентны друг другу.
Записки могут содержать ошибки.
1
Следствие 2. Пусть f ограничена на множестве A и интегрируема по Риману на нем, а B непустое измеримое подмножество A. Тогда f интегрируема на B.
Возьмем произвольное " > 0. Используя критерий Дарбу, найдем такое > 0, что для любого разбиения T с диаметром, меньшим
S (f; T ) S (f; T ) < "
Возьмем произвольное разбиение T1 множества B с diam T1 < , и разбиение T2 множества A n B с diam T2 < . Положим T := T1 [ T2, заметим, что diam T < . Тогда
S (f; T1) S (f; T1) 6 S (f; T ) S (f; T ) < ":
По следствию (3) ) (1) критерия Дарбу, f интегрируема на B.
Следствие 3. Пусть f ограничена и интегрируема на непересекающихся множествах A и B. Тогда f интегрируема на A [ B и
Z Z Z
f dx = f dx + f dx
A[B A B
Возьмем произвольное " > 0. Найдем разбиение T1 множества A, что
|
S (f; T1) S (f; T1) = |
" |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
|
|
|
|
||||||||
Найдем разбиение T2 множества B, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
S (f; T2) S (f; T2) = |
" |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
|
|
|
|
||||||||
Положим T := T1 [ T2 разбиение A [ B. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
S (f; T ) S (f; T ) = S (f; T1) + S (f; T2) S (f; T1) S (f; T2) < |
" |
+ |
" |
= ": |
|||||||||
|
|
|
|||||||||||
2 |
2 |
||||||||||||
Докажем равенство. Обозначим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ZA f dx |
=: IA; |
ZB f dx |
=: IB; |
|
ZA[B f dx |
=: I: |
|
|
|
|
|
Существует 1 > 0, что для любого отмеченного разбиения (T; ) множества
A ñ diam T < 1
j (f; T; ) IAj < ":
Существует 2 > 0, что для любого отмеченного разбиения (T; ) множества
B ñ diam T < 2
j (f; T; ) IBj < ":
Существует 3 > 0, что для любого отмеченного разбиения (T; ) множества
A [ B ñ diam T < 3
j (f; T; ) Ij < ":
Положим := minf 1; 2; 3g.
2
Возьмем (T1; 1) отмеченное разбиение множества A с diam T1 < . (T2; 2) отмеченное разбиение множества B с diam T1 < .
T := T1 [ T2 = 1 [ 2
(T; ) отмеченное разбиение A [ B с diam T <
(f; T; ) = (f; T1; 1) + (f; T2; 2)
jI (IA + IB)j = jI (f; T; ) + (f1; T1; 1) + (f; T2; 2) IA IBj < 3":
В силу произвольности "
|
|
|
|
I (IA + IB) = 0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание. |
Для пересекающихся множеств A и B: |
||||||||||
|
ZA[B f dx |
= ZA f dx |
+ ZB f dx |
ZA\B f dx |
|
||||||
Следствие 4. |
Пусть f ограничена и интегрируема на A. Тогда f2 èíòå- |
||||||||||
грируемо на A. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пусть T = fAjgjJ=1 разбиение A, |
|
|
|
|
|
||||||
|
Mj |
= sup f; |
|
mj = inf f: |
|||||||
|
|
|
|
Aj |
|
|
|
|
Aj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть C > 0 таково, что jfj < C на A. Тогда |
|
|
|
|
|||||||
|
sup f |
2 |
inf f2 |
6 |
(M |
j |
m |
)2C; |
|||
|
|
Aj |
|
|
j |
|
|
||||
|
Aj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
òàê êàê
jf2(x1) f2(x2)j = jf(x1) f(x2)j jf(x1) + f(x2)j 6 (Mj mj)2C:
Тогда
S (f2; T ) S (f2; T ) 6 (S (f; T ) S (f; T )) 2C:
Возьмем произвольное " > 0. Найдем разбиение T множества A, что
S (f; T ) S (f; T ) < 2"C :
Но тогда
S (f2; T ) S (f2; T ) < ";
следовательно f2 интегрируема. |
|
|
|
Замечание. |
Если f ограничена и интегрируема по Риману на A, то jfj |
||
также интегрируема на A. |
|
|
|
Следствие. |
Если f; g ограничены и интегрируемы на A, то fg также ин- |
||
тегрируема по Риману на A. |
|
|
|
Доказательство основано на формуле fg = |
(f+g)2 f2 g2 |
. |
|
|
|
2 |
Теорема (будет доказана на следующей лекции). Пусть f ограни- чена на A и непрерывна на A (за исключением, быть может, точек, образующих множество меры 0). Тогда f интегрируемо по Риману на множестве
A.
3
Лекция 24 по матанализу
Неофициальные записки лекций В. В. Галатенко
для студентов 1 (пилотного) потока 2 курса ПМИ ФКН ВШЭ записанные Ярославом Сергиенко
4 декабря 2015 г.
Теорема. Пусть A непустое измеримое множество, f ограничена на A
èнепрерывна на A всюду за исключением точек, образующих множество меры нуль. Тогда f интегрируемо по Риману на множестве A.
Доопределим f нулем на точках границы A, не входящих в A. Тогда рассмотрим замыкание A множества A. Тогда функция f ограничена
èнепрерывна на A, за исключением точек, образующих множество меры 0 (так как A измеримо и (@A) = 0).
Достаточно доказать, что f интегрируема на A. Зафиксируем произвольное " > 0. Найдем C > 0: jfj < C на A. Пусть B = @A [X, где X это
множество точек разрыва функции f. Тогда B = 0. Найдем 1; : : : ; k совокупность открытых брусов, что B SKk=1 k, P k < 4"C .
Пусть x 2 AnB внутренняя точка непрерывности. Тогда 9 > 0 8x~ 2
B (x): jf(~x) f(x)j < "
4( A)+1 .
Найдем Px открытый брус, содержащий x и лежащий в B (x):
inf f < |
|
2" |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
4( A) + 1 |
||||||||
sup f Px |
|
|||||||
Px |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2[n |
|
|
|
|
|
||
1 [ : : : [ K [ |
|
Px A |
||||||
|
|
|
||||||
|
|
A B |
||||||
|
|
|
||||||
Выделим конечное подпокрытие множества A: |
j1 ; : : : ; jl ; Px1 ; : : : ; Pxm
Построим разбиение A:
A1 := j1 \ A A2 := j2 \ A n A1
A3 := ( j3 \ A) n (A1 [ A2)
Al+m = (Pxm \ A) n (A1 [ [ Al+m 1)
Построим A1; : : : ; Am+l разбиение A. Обозначим его через T .
m+l
X
S (f; T ) S (f; T ) = (Mj mj) Aj =
j=1
Записки могут содержать ошибки.
1
m |
m+l |
" |
2" |
|
|||
Xj |
X |
|
|||||
|
|
|
|
|
|||
(Mj mj) Aj < 2C 4C + 4 A + 1 A 6 " |
|||||||
(Mj mj) Aj + |
j=m+1 |
||||||
=1 |
|
|
|
|
|
Определение. Множество X Rn называется множеством меры 0 по Лебегу, åñëè 8" > 0 9 f jg не более, чем счетная, совокупность брусов
SP
X j i è j < ".
Определение. Функция f называется непрерывной почти всюду на A, если множество точек разрыва f на A имеет меру 0 по Лебегу.
Теорема (критерий Лебега). Пусть A непустое измеримое множество и f ограничена на A. Тогда следующие условия эквивалентны:
(1) |
f интегрируема на A. |
|
(2) |
f непрерывна почти всюду на A. |
|
Без доказательства |
|
|
Теорема Фубини. Пусть 1 невырожденный брус в Rn, 2 |
áðóñ |
â Rm ( 1 2 áðóñ â Rn+m) и f(x; y) интегрируема на 1 2. Äëÿ
фиксированного y0 2 2 функция f(x; y0) определена на 1. Через I (y0) обозначим нижний интеграл Дарбу этой функции, а через I (y0) верхний.
Тогда Z Z Z
f(x; y)dx dy = I (y) dy = I (y)dy
1 2 2 2
Зафиксируем произвольное " > 0. Найдем > 0, что для любого разбиения T множества 1 2 с диаметром, меньшим
S (f; T ) S (f; T ) < "
Найдем разбиение A = fAigni=1 бруса 1 и разбиение B = fBjgmj=1 бруса2 такие, что diamfAi Bjg < (можно считать, что Ai, Bj брусы).
Положим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mij = |
inf |
f; |
|
|
|
|
|
|
Ai Bj |
|
|
|
|
|
|
Mij = |
sup |
f: |
|
|
|
|
|
|
Ai Bj |
|
|
|
Для произвольных j 2 Bj |
|
|
|
|
|||
|
|
|
mi( j) = inf f(x; j) |
|
|
||
|
|
|
|
Ai |
|
|
|
|
|
|
Mi( j) = sup f(x; j) |
|
|
||
|
|
|
|
Ai |
|
|
|
Xi |
|
mij 6 mi( j) 6 Mi( j) 6 Mij |
|
||||
mij Ai 6 Xi |
mi( j) Ai 6 Xi |
Mi( j) Ai 6 Xi |
Mij Ai |
||||
|
Xi |
mij Ai 6 I ( j) 6 I ( j) 6 Xi |
Mij Ai |
|
2
Лекция 25 по матанализу
Неофициальные записки лекций В. В. Галатенко
для студентов 1 (пилотного) потока 2 курса ПМИ ФКН ВШЭ записанные Ярославом Сергиенко
7 декабря 2015 г.
Мы остановились на доказательстве теоремы Фубини. У нас было произведение брусов 1 2 Rn+m и функция f(x; y), интегрируемая на
1 2. Тогда утверждалось, что
Z Z Z
f(x; y)dx dy = I (y) dy = I (y)dy
1 2 2 2
Мы фиксировали произвольный " > 0 и находили > 0, что для любого отмеченного разбиения 1 2 с диаметром diam T <
j (f; T; ) Ij < "
I " < (f; T; ) < I + "
I " 6 S (f; t) 6 S (f; T ) 6 I + "
Выберем Ai |
è Bj òàê, ÷òî diamfAi Bjg < . Положим |
|
|||||||||||
|
|
mij = |
inf f; |
Mij = sup |
f: |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ai Bj |
|
Ai Bj |
|
||
Для произвольного j 2 Bj: |
|
|
|
|
|
||||||||
|
mi( j) = inf f(x; j); |
Mi( j) = sup f(x; j) |
|||||||||||
|
|
|
x2Ai |
|
|
x2Ai |
|
||||||
Имеем |
|
|
mij 6 mi( j) 6 Mj( j) 6 Mij |
|
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||
Xi |
mij Ai 6 Xi |
mi( j) Ai 6 Xi |
Mi( j) Ai 6 Xi |
Mij Ai |
|||||||||
|
S (f( j); fAig) 6 I ( j) 6 I ( j) 6 S (f( j); fAig) |
||||||||||||
|
Xi |
mij Ai 6 I ( j) 6 I ( j) 6 Xi |
Mij Ai |
|
|||||||||
|
mij Ai Aj 6 I ( j) Bj 6 Mij Ai Bj |
||||||||||||
|
i;j |
|
|
|
|
|
|
|
Xj |
|
i;j |
|
|
|
(Ai |
|
Bj) |
|
|
|
|||||||
|
X |
|
|
X |
|
|
|||||||
|
|
| {z |
|
} |
|
|
|
|
|
I" 6 S (f; fAi Bjg) 6 (I ; fBjgj) 6 S (f; fAi Bjg) 6 I + "
Записки могут содержать ошибки.
1
Неравенства выполнены при всех j 2 Bj.
I" 6 S (I ; fBjg) 6 S (I ; fBjg) 6 I + "
Z
I " 6 S (I ; fBjg) 6 I (y)dy 6 S (I ; fBjg) 6 I + "
|
|
Z |
2 |
|
|
Следовательно |
|
6 " |
|||
|
I |
2 |
I (y)dy |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I = Z 2 I (y)dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следствие. Пусть 1 áðóñ â Rn, 2 áðóñ â Rm, f |
непрерывна и |
|||||||||||||||||||||||
ограничена на 1 2. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Z 1 2 f( |
|
|
|
|
|
|
|
= Z 2 Z 1 f( |
|
|
|
|
|
dy |
= Z 1 Z 2 f( |
|
|
|
|
|
dx |
|||
x; |
y |
) dx |
dy |
x; |
y |
) dx |
x; |
y |
) dy |
|||||||||||||||
Теорема о замене переменных в кратном интеграле. |
|
|
Пусть Dx |
область в Rn с координатами в переменных x: (x1; : : : ; xn), Dt область в Rn с координатами в переменных t: (t1; : : : ; tn).
Пусть имеется взаимно-однозначное непрерывно-дифференцèруемое отоб-
|
|
|
|
|
|
|
@xi(t) |
i;j=1:::n |
íå |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ражение x(t) области Dt |
â Dx, у которого Якобиан det |
|||||||||
@tj |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
обращается в нуль.
Пусть Et подмножество Dt, что его замыкание лежит в Dt. Обозначим Ex := x(Et). Также потребуем, чтобы замыкание Ex лежало в Dx.
Тогда утверждается, что
1)Множество Et измеримо тогда и только тогда, когда Ex измеримо.
2)Пусть Et измеримо, f(x) ограничена на Ex. Тогда f(t) интегрируема
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
det @xi |
|
|
|
|
||||||||
íà Ex тогда и только тогда, когда f( |
|
( |
t |
)) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
x |
|
|
интегрируема |
|||||||||||||||||||||||||
íà Et. В случае существования, следующие интегралыj |
равны |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@t |
|
|
|
|
|||
|
|
ZEx f(x) dx = ZEt f(x(t)) det |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
@tji dt |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@x |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Без доказательства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Криволинейные интегралы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Определение. |
Пусть I невырожденный промежуток в R. Непрерывное |
|||||||||||||||||||||||||||
отображение I в Rn называют кривой в Rn. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Определение. |
Пусть I |
= [a; b]. Тогда кривая |
|
(t) называется простым |
||||||||||||||||||||||||
x |
||||||||||||||||||||||||||||
замкнутым контуром, åñëè |
|
(a) = |
|
(b) è 8t1; t2 2 [a; b): |
|
(t1) 6= |
|
(t2). |
||||||||||||||||||||
x |
x |
x |
x |
|||||||||||||||||||||||||
Обозначение. |
|
0(t) = (x10 (t); : : : ; xn0 (t)). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2
Определение. Кривая x(t) называется гладкой, если она непрерывно дифференцируема и x0(t) не обращается в нуль.
3
Лекция 26 по матанализу
Неофициальные записки лекций В. В. Галатенко
для студентов 1 (пилотного) потока 2 курса ПМИ ФКН ВШЭ записанные Ярославом Сергиенко
11 декабря 2015 г.
Определение. Кривой в Rn называется непрерывное отображение x(t): [a; b] !
Rn.
Кривая x(t) называется гладкой, если для любого t 2 [a; b] существует и
непрерывна x0(t) = (x0 (t); : : : ; x0 (t)) = |
0 |
, ãäå x(t) = (x |
1 |
(t); : : : ; x (t)). |
||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
n |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
||
Пусть := x([a; b]) образp |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
отображения x. |
|
|
|
|||||||||||||||
Обозначим v(t) = |
k |
x0(t) |
k |
= |
|
x02 |
(t) + |
|
+ x02(t). |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|||||
Предположим, что задана функция f : ! R. |
|
|
|
|||||||||||||||
Определение. Криволинейным интегралом первого рода |
функции f(x) |
|||||||||||||||||
по кривой называется интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ZZ b
f( |
x |
) ds := |
f( |
x |
(t))v(t) dt |
a
Свойства.
1) |
Åñëè f(x) 1, òî R 1 ds = j j длина кривой . |
||
2) |
Åñëè f( |
|
) непрерывна на , то R f ds существует. |
x |
Пусть f jgJj=1 разбиение [a; b]. Это разбиение индуцирует разбиение
на подмножества 1; : : : ; J . Обозначим |
|
|
|
|||
|
mj = inf f |
Mj = sup f |
||||
|
|
|
j |
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
|
|
J |
|
|
S = mjj jj |
S = Mjj jj |
||||
|
|
=1 |
|
|
|
j=1 |
|
Xj |
|
|
X |
||
|
J |
|
J |
|
Mj |
J |
Z f ds = j=1 Z j |
f ds 6 j=1 Z j |
ds = j=1 Mjj jj = S |
||||
|
X |
|
X |
|
|
X |
Аналогично S 6 f ds. |
|
|
|
|
|
|
|
содержать ошибки. |
|
|
|
||
|
R |
|
|
|
|
|
Записки могут |
|
|
|
|
|
|
1
Определение. Пусть x(t): [a; b] ! Rn è ( ): [ ; ] ! Rn гладкие
кривые. Они называются эквивалентными, если существует непрерывнодифференцируемое монотонное отображение t( ): [ ; ] ,! [a; b] с t0( ) íå
обращающимся в нуль:
( ) = x(t( ))
Говорят, что t( ) сохраняет ориентацию кривой , åñëè t( ) = a, t( ) = b è изменяет ориентацию кривой , åñëè t( ) = b, t( ) = a.
Утверждение. Замена кривой на эквивалентную не изменяет значение интеграла первого рода.
Если t( ) не изменяет ориентацию, то
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Za |
f( |
|
(t))qx102(t) + + xn02(t) dt = |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= Z |
f( |
|
|
(t( ))) |
x102(t( )) + + xn02(t( )) |
|
(t0 |
(t))2 d = |
|||||||||||||
x |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
p |
|
|
||||||||||
|
f( ( )) |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
@| j |
{z @x}j(t( )) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
= (x (t( )))0 |
= x0 (t( )) |
|
t0( ) |
||||||
|
@ |
|
|
@ |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
j |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
Z |
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=f( (t)) 012( ) + + 0n2( ) d
Пусть x(t) гладкая кривая, := x([a; b]), на задана векторная функция (векторное поле)
F (x) = (F1(x); : : : ; Fn(x))
Определение. Криволинейным интегралом 2 рода F по (x(t)) называ-
|
|
|
|
x0 (t) |
|
|
ется интеграл 1 рода от скалярного произведения |
F ; |
. |
||||
v(t) |
Если F поле сил, то криволинейный интеграл определяет работу, осуществляемую этим полем при перемещении водль от начала к концу.
Обозначения.
Z F ds = Z |
F ; v0(t) ds = Za |
b |
|
||||||||||
F1x10 (t) + + Fnxn0 (t) dt = |
|
??? |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x (t) |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2