1. Матрицы. Определение и классификация.

Матрица – прямоугольная таблица элементов. Над элементами определены операции: умножение на число, сложение элементов и умножение элементов.

Матрицы.

Числовые Функциональные

Классификация матриц.

1. А - прямоугольная матрица

m x n

2. А - квадратная матрица

m x m

2

3

5

3) А = - матрица-столбец

m x 1

3 x1

529

4) А = - матрица-строка

1 x n

135

021

008

5) А = - треугольная матрица

275810

032117

000456

000098

6) А = - ступенчатая матрица

5000

0700

0020

0006

7) А = - диагональная (все элементы, стоящие НЕ на главной

диагонали, равны 0)

000

000

000

8) А = - нулева матрица (все элементы – нули)

1000

0100

0010

0001

9) А = - единичная матрица

2. Линейные операции над матрицами. Нулевая матрица.

Линейные операции над матрицами.

Умножение объекта на число Сложение объектов

Умножение матриц на число

• Определено для матриц любого размера

• Получается матрица того же размера

• Чтобы умножить матрицу на число, надо каждый элемент умножить на число

Сложение матриц

• Складываем только равно размерные матрицы

• Получается матрица того же размера

• Складываем элементы с одинаковыми индексами

3.Нелинейные операции над матрицами. Единичная матрица.

Единичная матрица - это матрица,у которой на диагонали стоят одни единицы.

Нелинейные операции над матрицами:

1)Умножение

Число столбцов первой матрицы должно быть равно числу столбцов второй.

Возводить в степень можно только квадратные матрицы.

2)Транспонирование(первый столбец стал первой строкой)

Транспонировать можно матрицу любого размера

3)нахождение обратной матрицы

Некоторые свойства операции над матрицами:

a)АxВ не равно ВxА

б)(А + В) ^ T = (A )^T + (B )^T

в) (A ^T)^T = A

4.Определители. Вычисление определителей 1го, 2го и 3го порядков.

Определитель- это число,заданное с помощью квадратной таблицы,которое вычисляется по определенному правилу.

Замечание:

Определитель имеет свой размер(порядок)

Определители бывают:

-числовые

-функциональные

Правила для вычисление определителя первого,второго и третьего порядка:

1-ого порядка: определитель равен самому определителю

2-ого порядка: главная диагональ -(минус) побочная диагональ

3-ого порядка:Существует два способа:

1)методом треугольника

2)добавлением строчек или столбцов (2 первые строчки добавляем вниз или первые два столбца вправо)

5)Минор.Алгебраическое дополнение.Вычисление определителя «n» - ого порядка

Минор-это определитель полученный из из данного, путем вычеркивания одной строки и одного столбца. (порядок минора на 1ед. меньше исходного).

Алгебраическое дополнение-минор (соответствующий элементу mij) со знаком, зависящим от номера строки и номера столбца. (Aij=(-1)в степениi+jMij.

Определитель порядка n- сумма произведений элементов любой строки и/или любого столбца на их алгебраическое дополнение.

6)Свойства определителей:

1) при транспонировании величина опр. не меняется

2) если в опр. 2 любые строки/столбца поменять местами, то в опр. знак меняется на противоположный

3) чтобы опр умножить на число, достаточно 1 строку/столбец умножить на это число

4) опр. = 0, если строка/столбец из нулей

5) опр. = 0, если 2 равные строки/столбцы

6) опр. = 0, если 2 строки/столбца пропорциональны

7) b11+c11 (в одном определителе) =b11 +c11 (в разных).

8) если в определителе строку/столбец заменить на сумму этой строки и любой другой, умноженной на число, то величина опр. не изменится

7. Обратная матрица. Построение обратной матрицы.

Построение обратной матрицы (невозможно без определителя)

- обратная матрица существует для квадратных невырожденных (определитель не равен нулю) матриц

- в результате получаем матрицу того же размера

Процедура получения обратной матрицы:

1. Вычисляем определитель матрицы (он должен быть не равен нулю): |A|=Δ, |A|≠ 0

2. Вычисляем алгебраические дополнения каждого элемента исходной матрицы: Aij

3. В исходной матрице заменяем элементы на их алгебраические дополнения

4. Полученную матрицу из алгебраического дополнения транспонируем (Aij)^T=(Aji)

5. Делим полученное число на величину определителя A^-1=1/Δ*(Aij)

A^-1 обратна A, следовательно, A^-1*A=A* A^-1=E

8. Система линейных уравнений. Однородная, неоднородная. Определение решения системы.

• Линейные уравнения – уравнения, в которых над элементами выполнены только линейные операции (сложение и умножение на число)

• Линейная система – это система, все уравнения которого – линейные.

Линейная однородная система уравнений – система, в которой все уравнения однородные

Линейная неоднородная система – система, в которой хотя бы одно уравнение неоднородное. (Неоднородное уравнение – уравнение, которое в качестве свободного члена содержит константу, отличную от 0)

Решение системы уравнений – упорядоченная последовательность чисел, которая при подстановке их в уравнения, превращают их в тождества.