9) Методом Крамера возможно решать только квадратные системы линейных уравнений.

Квадратной системой линейных уравнений называется система следующего вида:

Где - постоянныекоэффициенты системы уравнений,-свободныечлены,-переменныесистемы линейных уравнений. То есть квадратной система будет являться, если количество переменных в уравнениях и количество самих уравнений равны между собой.

Решением системы линейных уравнений называются такие значения переменных, при подстановке которых в заданную систему уравнений получатся верные равенства.

Формулы Крамера:

Решения системы линейных уравнений можно найти по формулам: если.

Где - определители, составленные следующим образом:

- Определитель системы

- дополнительные определители.

Если определитель системы равен 0 и доп. Определители равны 0, то система имеет бесконечное множество решений.

Если определитель системы равен 0, но хотя бы один из дополнительных определителей не равен нулю, то система линейных уравнений несовместна и решений не имеет.

10) Матричная запись системы:

Метод обратной матрицы(Матричный метод) решения систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы состоит в поиске матрицы, обратной к основной матрице, и умножению ее на матрицу свободных членов

Обратную матрицу можно найти по следующей формуле:

, где |A| - определитель матрицы.

11. Равносильные системы. Преобразования над системами, сохраняющие равносильность.

Равносильные системы– такие системы, у которых совпадает множество решений.

Над уравнениями системы можно выполнять линейные преобразования:

• Умножение на число;

• сложение,

• можно менять уравнения в системе местами

- при этом получится система¸ равносильная данной (исходной).

12. Алгоритм решения системы методом Гаусса.

(Метод Гаусса – универсальный метод решения линейных систем уравнений)

1. Записать расширенную матрицу системы

2. Привести эту матрицу к ступенчатой форме:

   1. а₁₁=1 (меняем строки местами или домножаем всю матрицу на число),

   2. умножение на число и сложение строк =>нули в первом столбце;

Повторяем:

1. а₂₂=1, => получаем нули во втором столбце, и т.д.

1. Записать полученную матрицу в виде линейной системы. Записать решение системы.

13. Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли.

Ранг матрицы – это число ненулевых строк в ступенчатой матрице в системе.

Ранг расширенной матрицы либо больше, било такой же. Меньше быть не может.

Если ранг матрицы коэф.системы равен рангу расширенной матрицы, то такая система совместна. Если не равен (больше), то решений нет.

Если ранг матрицы равен рангу расширенной матрицы и равен числу переменных – решение единственное. Если ранг матрицы равен рангу расширенной матрицы и меньше количества переменных – решений бесконечное множество.

14. Определение вектора. Линейные операции над векторами в геометрической форме.

Вектор – прямой отрезок, имеющий направление.Равные вектора– векторы, сонаправленные и имеющие одинаковую длину ( лежащие на параллельных прямых или одной прямой и имеющие одинаковое направление – сонаправленные).

Замечание:вектора в аналитической геометрии равны с точностью до параллельного переноса.

Линейные операции над векторами в геометрической форме

3а

а

1. Умножение вектора на число.

2. Сложение векторов.

• Способ параллелограмма

• Способ треугольника