16. Линейные операции над векторами в аналитической форме

Чтобы умножить вектор на число, нужно каждую координату вектора умножить на это число

3а

а

Чтобы сложить вектор аналитически, достаточно сложить их одноименные координаты

с=а+в в

а

x x

Если проекция отрицательна, то применяем вычитание.

17. Орты. Понятие базиса. Разложение векторов по базису. Линейное пространство векторов.

Орты – единичные вектора, сонаправленные с осью.

Базис –множество таких векторов в векторном пространстве, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого множества.

Разложение векторов по базису:

В R² на плоскости любой вектор можно выразить с помошью линейных операций i и j. Все вектора R² -линейные операции, выражаются в базисе и образуют линейное пространство векторов i и j.

Вектор R ³ выражается через базис с помощью мер операций через i, j, k. Все другие образуют линейное пространство в R ³.

Линейное пространство - обобщающее понятие совокупности всех векторов n-мерного пространства, если для всех элементов (векторов) этого множества определены операции сложения и умножения на число.

18. Скалярное произведение векторов – это операция над векторами, в результате которой получается число, равное произведению модулей исходных векторов на косинус угла между ними.

͢a ∙͢ b = │a͢ │∙│b͢ │∙cos (a^b)

Формулы для вычисления (в R₂)

͢a = a_xi + a_yj

͢b = b_xi + b_ij

͢a ∙͢b = a_x b_x + a_yb_y

Т.е. скалярное произведение равно сумме одноименных координат.

(С помощью скалярного произведения векторы проверяются на ортогональность)

19. Векторное произведение векторов – это операция над векторами, в результате которой получается вектор, расположенный на прямой, выходящей из начал исходных векторов и перпендикулярный плоскости этих векторов.

a͢ × b͢ = с͢

Длина нового вектора равна произведению модулей исходных векторов на синус угла между ними.

│с͢ │=│a͢ │*│b͢ │* sin (a^b)

Направление результирующего вектора определяется так: если смотреть с конца вектора, то движение от a к b должно быть против часовой стрелки.

Векторы a͢, b͢ и c͢ образуют правую тройку. Пример правой тройки – орты:

a͢ = a_xi a_yj a_zk

b͢ = b_xi b_yj b_zk

С помощью векторного произведения векторы проверяются на коллениарность.

Формула для решения:

a × b = = i *(-1)² + j *(-1)³ +k *(-1)⁴ =

= (a_yb_z – b_ya_z)*i – (a_xb_z – a_zb_x)*j + (a_xb_y – a_yb_x)*k

20. Смешанное произведение – это операция над векторами, включающая в себя их векторное и скалярное произведение.

(a͢ × b͢ ) ∙c͢

Формула для вычисления:

(a͢ × b͢ ) ∙c͢ = = число

Геометрический смысл: модуль полученного числа равен объему параллелепипеда, построенного на векторах a, b и с.

(С помощью смешанного произведения векторы проверяются на компланарность)

22. Множество, подмножество. Универсальное множество, пустое множество.

Множество - это совокупность элементов одной природы, отобранных по какому-либо критерию

Множество А является подмножеством множества В, если любой элемент, принадлежащий А также принадлежит В

Универсальное множество (Ω) — множество, содержащее все объекты, указанные природой.

Пустое множество (Ø) - множество, не содержащее ни одного элемента.

23. Числовые множества - множества, элементами которого являются числа.

- множество натуральных чисел (показывает количество предметов)

1, 2, 3, 4,... n,... - ряд натуральных чисел

- множество целых чисел. N^- {0} N⁺

..., -2, -1, {0}, 1, 2,...

- множество рациональных чисел

q = m/n, где m Z , n N

- множество вещественных чисел (рациональных и иррациональных)

- множество комплексных чисел.

24. Отображение множеств - это упорядоченная тройка (A, B, f), где к каждому элементу из множества А ставится в соответствие единственный элемент из множества В по закону f.

Если уточнить определение

К каждому элементу из множества А ставится единственный элемент из множества В и все они разные, то все элементы разные. (B, A, f^-1)