Круговая свертка

Так как мы рассматриваем периодические последовательности, то и суммирование при вычислении свертки таких последовательностей следует производить по одному периоду. Такую операцию называют круговой сверткой:

. (9)

ЗАМЕЧАНИЕ ---------------------------------------------------------------------------------------

В этой формуле выражение (k-i)modN означает взятие (k-i) по модулю N, то есть вычисление остатка от деления (k-i) на N.

Подставив выражение (9) в (3), легко убедиться, что круговая свертка периодических временных последовательностей соответствует перемножению их спектров:

. (10)

ЗАМЕЧАНИЕ ----------------------------------------------------------------------------------

Круговую свертку периодических последовательностей не следует путать с линейной сверткой, являющейся основой алгоритма дискретной фильтрации.

Как и в случае линейных систем с постоянными параметрами, знание импульсной характеристики позволяет проанализировать прохождение через дискретную систему любого сигнала. Действительно, прежде всего заметим, что произвольный сигнал {х(к)} можно представить в виде линейной комбинации единичных отсчетов:

Выходной сигнал, исходя из линейности и стационарности рассматриваемой системы, должен представлять собой линейную комбинацию импульсных характеристик:

(*)

Выражение (*) называется дискретной сверткой (точнее, дискретной линейной сверткой — ее не следует путать с круговой сверткой). Для физически реализуемой системы h(k) - 0 при k < 0, поэтому верхний предел суммирования в формуле (*) можно заменить на к

Это означает, что система при вычислении очередною отсчета может оперировать только прошлыми значениями входного сигнала и еще ничего не знает о будущих.

Восстановление непрерывного сигнала

Восстановление непрерывного сигнала с помощью ряда Котельникова

Восстановление непрерывного сигнала с помощью ДПФ

Являясь по своей сути спектром дискретного периодического сигнала, дискретное преобразование Фурье позволяет легко восстановить непрерывный периодический сигнал, занимающий ограниченную полосу частот. Для этого в формуле обратного ДПФ (5.4) необходимо заменить дискретный параметр (номер отсчета k) на непрерывный — нормированное время t/T, где Т — период дискретизации:

. (5.11)

Следует обратить внимание на еще одно отличие этого соотношения от формулы (5.4): диапазон индексов суммирования смещен вниз на N/2 (при четном N; при нечетном N суммирование производится от п= - (N-1)/2 до (N-1)/2). Это необходимо, чтобы получить аналоговый сигнал, занимающий полосу частот от 0 до π/T. Коэффициенты Х(п) с отрицательными номерами могут быть получены из соотношения симметрии (5.5).

Результат восстановления непрерывного периодического сигнала с помощью ДПФ, разумеется, совпадает с результатами, получаемыми при использовании ряда Котельникова (3.12). Однако использование ДПФ в данном случае оказывается более предпочтительным, так как ряд Котельникова для периодического сигнала содержит бесконечное число слагаемых, а формула (5.11) — конечное.

Восстановление непрерывного сигнала с помощью фильтра