- •Логинов а.С. Часть 1. Дифференциальное исчисление Глава 1. Ведение
- •1.1. Некоторые понятия теории множеств и математической логики
- •1.1.1. Множество, операции над множествами, обозначения
- •1.1.2. Отображение, взаимно-однозначное соответствие, счетное и несчетное множества
- •1.1.3.Некоторые понятия математической логики (Дж. Маллас Пролог)
- •1.1.4.Вещественные числа
- •1.2. Комплексные числа
- •1.2.1. Определение комплексного числа
- •1.2.2. Свойства комплексных чисел
- •1.2.3. Алгебраическая форма записи
- •1.2.4. Модуль и аргумент комплексного числа. Комплексное сопряжение. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел
- •1.2.5. Формула Муавра
- •1.3.1.Ограниченное множество. Точные грани
- •1.3.2.Существование точной верхней грани у ограниченного сверху множества
- •Глава 2. Последовательности
- •2.1. Основные понятия, относящиеся к последовательностям
- •2.1.1. Ограниченная последовательность. Точная верхняя (нижняя) грань. Монотонные последовательности
- •2.1.2. Предел последовательности
- •2.1.3. Несобственные пределы
- •2.2. Теоремы о пределах последовательностей
- •2.2.1.Простейшие свойства сходящихся последовательностей
- •2.2.2. Монотонные последовательности
- •2.3. Некоторые свойства последовательностей, связанные со свойством непрерывности вещественных чисел
- •2.3.1.Подпоследовательность. Теорема Больцано-Вейерштрасса
- •2.3.2.Верхний и нижний пределы последовательности
- •2.3.3. Фундаментальная последовательность. Критерий Коши для последовательности
- •2.4. Свойства последовательностей
- •2.4.1.Операции над последовательностями. Свойства пределов, связанные с операциями
- •Глава 3. Предел функции. Непрерывность
- •3.1. Основные понятия, относящиеся к функции
- •3.1.2.Ограниченность. Точные грани
- •3.1.3.Элементарные функции
- •3.2. Предел функции
- •3.2.2. Односторонние пределы. Предел слева, предел справа
- •3.2.3. Связь предела с односторонними пределами
- •3.2.5. Критерий Коши существования конечного предела функции
- •3.2.6. Локальная ограниченность функции, имеющей конечный предел
- •3.2.7. Сохранение знака функции, имеющей ненулевой предел в точке
- •3.2.8. Предел сложной функции
- •3.3 Свойства пределов
- •3.3.1. Переход к пределу в неравенствах
- •3.3.2. Арифметические операции над пределами
- •3.3.3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •3.3.4. Сравнение б.М. И б.Б. Функций. Символы o,o
- •3.4 Замечательные пределы Замечательные пределы, основные эквивалентности.
- •3.4.1. Первый замечательный предел.
- •3.4.2. Второй замечательный предел.
- •3.5 Непрерывные функции
- •3.5.2.Простейшие свойства непрерывных функций
- •Определение. Если существуют конечные пределы
- •3.5.3. Ограниченность непрерывной функции. Теоремы Вейерштрасса
- •3.5.4.Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции
- •3.5.5.Критерий непрерывности монотонной функции
- •3.5.6.Непрерывность обратной функции
- •3.5.7.Непрерывность элементарных функций
- •3.5.8.Равномерная непрерывность
- •Глава 4 Дифференциальное исчисление
- •4.1 Производная
- •4.1.1.Определение производной. Геометрическая интерпретация. Необходимое условие дифференцируемости
- •4.1.2. Дифференциал функции
- •4.1.3.Основные правила дифференцирования
- •4.1.4.Производные элементарных функций
- •4.1.5. Логарифмическое дифференцирование
- •4.1.6.Функции, заданные параметрически
- •4.2 Производные и дифференциалы высших порядков
- •4.2.1.Производные высших порядков
- •4.2.2. Вычисление производных функций, заданных неявно
- •4.2.3. Формула Лейбница
- •4.2.4. Дифференциалы высших порядков
- •4.2.5. Инвариантность формы дифференциала первого порядка
- •4.2.6. Дифференцирование функций, заданных неявно
- •4.3 Теоремы о среднем для дифференцируемых функций
- •4.3.1. Теорема Ферма о нуле производной
- •4.3.2. Теорема Ролля о нуле производной
- •4.3.3. Теорема Лагранжа о конечных приращениях
- •4.3.4. Теорема Коши о конечных приращениях
- •4.4 Правило Лопиталя
- •4.4.1.Раскрытие неопределенностей вида 0/0
- •4.4.2.Раскрытие неопределенностей вида /
- •4.4.3.Использование правила Лопиталя для выделения главных частей и определения порядков бесконечно больших
- •4.4.4.Раскрытие неопределенностей вида 0, 1 , 00, 0, -
- •4.5 Формула Тейлора
- •4.5.1.Многочлен Тейлора. Формула Тейлора с остаточным членом Rn
- •4.5.2. Остаток в форме Пеано
- •Лемма. Если
- •4.5.3.Другие формы остатка в формуле Тейлора
- •4.5.4. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Тейлора
- •4.5.5. Примеры использования стандартных разложений для представления функций по формуле Тейлора и для вычисления пределов
- •4.5.6. Формула Тейлора для четных и нечетных функций
- •4.6 Исследования характера поведения функций
- •4.6.1.Условие монотонности функции
- •4.6.2.Максимальные и минимальные значения функций ( экстремумы )
- •Аналогично определяются: минимум, строгий минимум.
- •4.6.3. Исследование функций на экстремум по знаку высших производных
- •4.6.4. Выпуклость функции, точки перегиба
- •4.6.5. Асимптоты функций
- •4.6.6. Общая схема построения графиков
- •Глава 5. Элементы теории кривых
- •5.1 Векторная функция скалярного аргумента
- •5.1.1.Определение векторной функции. Операции над векторными функциями
- •5.1.2. Предел вектор функции
- •5.1.3. Непрерывность вектор функции
- •5.1.4. Дифференцируемость вектор функции
- •5.1.5. Правила дифференцирования вектор функций
- •5.1.6. Гладкие кривые Определение. Кривая
- •5.2 Длина кривой
- •5.2.1.Спрямляемая кривая
- •5.3 Плоские кривые
- •5.3.1.Понятие кривизны и ее вычисление
- •5.3.2.Выражение центра и радиуса кривизны для явно заданной кривой
- •5.3.3.Порядок соприкосновения кривых
2.3.2.Верхний и нижний пределы последовательности
Определение. (Наибольший частичный предел последовательности {xn} называется ее верхним пределом, , где X – множество всех частичных пределов. Можно показать, что . Аналогично, определяется нижний предел .
Замечание. Если , (число или символ), то . Это является непосредственным следствием теоремы 1.
Теорема. У любой последовательности существует как верхний, так и нижний пределы.
Без доказательства.
1) Если последовательность неограниченна сверху, то
2) Ограничена сверху. A- множество конечных частичных пределов
.
Осталось показать, что b есть частичный предел. Действительно, в любой окрестности b есть хотя бы один частичный предел, следовательно, бесконечно много членов {xn}.
2.3.3. Фундаментальная последовательность. Критерий Коши для последовательности
Условие Коши: > 0Nn > Np:|xn+p - xn|<
Определение. Фундаментальной последовательностью называется последовательность, удовлетворяющая условию Коши.
Теорема. (Критерий Коши). Для того, чтобы последовательность {xn} сходилась необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальна.
Доказательство: Необходимость. Последовательность сходится . Пусть >0 . Для =/2Nn>N:|xn -a|</2 для тех же n (n>N) и p будет выполнено |xn+p -a|< /2. Таким образом, для n>Np:|xn+p - xn| |xn+p - a|+|a - xn| < /2+/2=.
Достаточность. Пусть >0. Для
(1)
Таким образом, все члены последовательности начиная с номера M+1 оказались в окрестности числа , следовательно, последовательность ограничена. По теореме Больцано-Вейерштрасса существует сходящаяся подпоследовательность , пусть . Докажем, что является пределом последовательности . Для ранее выбранного
(2)
Тогда можно выбрать достаточно большое так, что и . Тогда, при будет выполнено: . Ч.т.д .
2.4. Свойства последовательностей
Операции над последовмтельностями, свойства пределов.
2.4.1.Операции над последовательностями. Свойства пределов, связанные с операциями
Определения операций. Сумма двух последовательностей, умножение на число. Сумма двух последовательностей {xk}, {yk} определяется, как {xk +yk}. Произведение последовательности {xk} на число c определяется, как последовательность {c xk}.
Последовательность n называется бесконечно малой (б.м.), если .
Последовательность n называется бесконечно большой (б.б.), если .
1) если |n| б.м. , то {n} б.м.
2) если n , n б.м., то {n+n} б.м.
Следствие. {n+n+…+n} б.м., если все n , n ,… б.м.
Определение. Произведением двух последовательностей {xk}, {yk} называется последовательность {xkyk}.
3) произведение б.м.последовательности на ограниченную является б.м. последовательностью.
Следствие. Произведение конечного числа б.м. является б.м..
4) {1/n} б.б., если {n} б.м. n0.
Доказательство: Возьмем произвольное , тогда для или Таким образом, , следовательно, последовательность - бесконечно большая.
5) {1/n} б.м., если {n} б.б., n0.
6) Ранее отмечалось, что существование конечного предела равносильно существованию б.м. {n} такой, что
7) {xn},{yn} сходятся, то сходится {xn+yn} и
Следствие. Свойство 7) распространяется и на конечные суммы.
Замечание. Свойство 7) нарушается, если хотя бы один из пределов равен .
8) {xn},{yn} сходятся, то сходится {xnyn} и .
Доказательство.
Следствие 1.Если {xn} сходятся, то сходится {сxn} и
Следствие 2. xna
9) xna |xn||a|.
10) xna, ynb, yn0, b0
Лемма. Если ynb, yn0, b0, то |1/yn| ограничена.
Доказательство: , тогда для
Таким образом,
Доказательство свойства 10).
.
Последовательность по лемме ограничена, последовательность - бесконечно малая.