- •Логинов а.С. Часть 1. Дифференциальное исчисление Глава 1. Ведение
- •1.1. Некоторые понятия теории множеств и математической логики
- •1.1.1. Множество, операции над множествами, обозначения
- •1.1.2. Отображение, взаимно-однозначное соответствие, счетное и несчетное множества
- •1.1.3.Некоторые понятия математической логики (Дж. Маллас Пролог)
- •1.1.4.Вещественные числа
- •1.2. Комплексные числа
- •1.2.1. Определение комплексного числа
- •1.2.2. Свойства комплексных чисел
- •1.2.3. Алгебраическая форма записи
- •1.2.4. Модуль и аргумент комплексного числа. Комплексное сопряжение. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел
- •1.2.5. Формула Муавра
- •1.3.1.Ограниченное множество. Точные грани
- •1.3.2.Существование точной верхней грани у ограниченного сверху множества
- •Глава 2. Последовательности
- •2.1. Основные понятия, относящиеся к последовательностям
- •2.1.1. Ограниченная последовательность. Точная верхняя (нижняя) грань. Монотонные последовательности
- •2.1.2. Предел последовательности
- •2.1.3. Несобственные пределы
- •2.2. Теоремы о пределах последовательностей
- •2.2.1.Простейшие свойства сходящихся последовательностей
- •2.2.2. Монотонные последовательности
- •2.3. Некоторые свойства последовательностей, связанные со свойством непрерывности вещественных чисел
- •2.3.1.Подпоследовательность. Теорема Больцано-Вейерштрасса
- •2.3.2.Верхний и нижний пределы последовательности
- •2.3.3. Фундаментальная последовательность. Критерий Коши для последовательности
- •2.4. Свойства последовательностей
- •2.4.1.Операции над последовательностями. Свойства пределов, связанные с операциями
- •Глава 3. Предел функции. Непрерывность
- •3.1. Основные понятия, относящиеся к функции
- •3.1.2.Ограниченность. Точные грани
- •3.1.3.Элементарные функции
- •3.2. Предел функции
- •3.2.2. Односторонние пределы. Предел слева, предел справа
- •3.2.3. Связь предела с односторонними пределами
- •3.2.5. Критерий Коши существования конечного предела функции
- •3.2.6. Локальная ограниченность функции, имеющей конечный предел
- •3.2.7. Сохранение знака функции, имеющей ненулевой предел в точке
- •3.2.8. Предел сложной функции
- •3.3 Свойства пределов
- •3.3.1. Переход к пределу в неравенствах
- •3.3.2. Арифметические операции над пределами
- •3.3.3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •3.3.4. Сравнение б.М. И б.Б. Функций. Символы o,o
- •3.4 Замечательные пределы Замечательные пределы, основные эквивалентности.
- •3.4.1. Первый замечательный предел.
- •3.4.2. Второй замечательный предел.
- •3.5 Непрерывные функции
- •3.5.2.Простейшие свойства непрерывных функций
- •Определение. Если существуют конечные пределы
- •3.5.3. Ограниченность непрерывной функции. Теоремы Вейерштрасса
- •3.5.4.Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции
- •3.5.5.Критерий непрерывности монотонной функции
- •3.5.6.Непрерывность обратной функции
- •3.5.7.Непрерывность элементарных функций
- •3.5.8.Равномерная непрерывность
- •Глава 4 Дифференциальное исчисление
- •4.1 Производная
- •4.1.1.Определение производной. Геометрическая интерпретация. Необходимое условие дифференцируемости
- •4.1.2. Дифференциал функции
- •4.1.3.Основные правила дифференцирования
- •4.1.4.Производные элементарных функций
- •4.1.5. Логарифмическое дифференцирование
- •4.1.6.Функции, заданные параметрически
- •4.2 Производные и дифференциалы высших порядков
- •4.2.1.Производные высших порядков
- •4.2.2. Вычисление производных функций, заданных неявно
- •4.2.3. Формула Лейбница
- •4.2.4. Дифференциалы высших порядков
- •4.2.5. Инвариантность формы дифференциала первого порядка
- •4.2.6. Дифференцирование функций, заданных неявно
- •4.3 Теоремы о среднем для дифференцируемых функций
- •4.3.1. Теорема Ферма о нуле производной
- •4.3.2. Теорема Ролля о нуле производной
- •4.3.3. Теорема Лагранжа о конечных приращениях
- •4.3.4. Теорема Коши о конечных приращениях
- •4.4 Правило Лопиталя
- •4.4.1.Раскрытие неопределенностей вида 0/0
- •4.4.2.Раскрытие неопределенностей вида /
- •4.4.3.Использование правила Лопиталя для выделения главных частей и определения порядков бесконечно больших
- •4.4.4.Раскрытие неопределенностей вида 0, 1 , 00, 0, -
- •4.5 Формула Тейлора
- •4.5.1.Многочлен Тейлора. Формула Тейлора с остаточным членом Rn
- •4.5.2. Остаток в форме Пеано
- •Лемма. Если
- •4.5.3.Другие формы остатка в формуле Тейлора
- •4.5.4. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Тейлора
- •4.5.5. Примеры использования стандартных разложений для представления функций по формуле Тейлора и для вычисления пределов
- •4.5.6. Формула Тейлора для четных и нечетных функций
- •4.6 Исследования характера поведения функций
- •4.6.1.Условие монотонности функции
- •4.6.2.Максимальные и минимальные значения функций ( экстремумы )
- •Аналогично определяются: минимум, строгий минимум.
- •4.6.3. Исследование функций на экстремум по знаку высших производных
- •4.6.4. Выпуклость функции, точки перегиба
- •4.6.5. Асимптоты функций
- •4.6.6. Общая схема построения графиков
- •Глава 5. Элементы теории кривых
- •5.1 Векторная функция скалярного аргумента
- •5.1.1.Определение векторной функции. Операции над векторными функциями
- •5.1.2. Предел вектор функции
- •5.1.3. Непрерывность вектор функции
- •5.1.4. Дифференцируемость вектор функции
- •5.1.5. Правила дифференцирования вектор функций
- •5.1.6. Гладкие кривые Определение. Кривая
- •5.2 Длина кривой
- •5.2.1.Спрямляемая кривая
- •5.3 Плоские кривые
- •5.3.1.Понятие кривизны и ее вычисление
- •5.3.2.Выражение центра и радиуса кривизны для явно заданной кривой
- •5.3.3.Порядок соприкосновения кривых
3.3 Свойства пределов
Дальнейшие свойства пределов функций. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
3.3.1. Переход к пределу в неравенствах
Теорема. Если f(x), g(x) определены на , x0(a,b) и f(x) g(x) на и существуют пределы, А и B числа, то AB.
Аналогично, для случая f(x)<g(x).
Теорема. Если f(x), g(x) определены на , x0(a,b) и f(x)< g(x) на и существуют пределы, А и B числа, то AB.
Эти утверждения следуют из соответствующих теорем о пределах последовательностей, используя определение предела по Гейне.
3.3.2. Арифметические операции над пределами
Везде в этом пункте рассматриваются конечные пределы.
1), , если .
2) , если существуют конечные пределы , .
3) , если существуют конечные пределы , .
Следствие: , если существует конечный предел .
4)
5) g(x)0,,
Замечание. Аналогичные свойства имеют место для односторонних пределов.
3.3.3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Определение. Бесконечно малой в x0 называется функция f(x) такая, что
Свойства бесконечно малых функций
1) Критерий существования конечного предела функции
б.м. функция (x) при xx0 :f(x)=A+(x).
2) (x),(x) б.м. (x)+(x) б.м..
3) Произведение б.м. функции на ограниченную является б.м. функцией.
4) Произведение б.м. функций является б.м. функцией.
Определние. f(x), определенная в проколотой окрестности x0 , называется бесконечно большой б.б. в т. x0, если .
5) Если (x) б.м. при xx0 и (x)0, то 1/(x) является б.б. и наоборот. Символически это записывают в виде 1/=0, 1/0= .
3.3.4. Сравнение б.М. И б.Б. Функций. Символы o,o
Пусть функции f,g определенны в некоторой проколотой окрестности x0.
Пишут,если
.
Аналогично определяется O при xx0+0, xx0 - 0, x, x .
Пример: f(x)=O(1), x означает локальную ограниченность функции в .
Определение. Если при xx0 , f(x)=O (g) и g(x)=O (f) , то f(x), g(x) называются функциями одного порядка.
Пример: Функции x3,x2 являются функциями одного порядка при x1.
Определение o (о малое). Пусть f(x), g(x) определенны в некоторой проколотой окрестности точки x0. Пишут f(x)=o(g(x)), xx0, если бесконечно малая (x) при xx0 , такая, что
x : f(x)=(x)g(x).
Аналогично определяется o при xx0+0, xx0 - 0, x, x
Пример: f(x)=o (1), при xx0 означает, что f(x) б.м. при xx0 .
Некоторые примеры работы с символами o для случая x0 .
o(xn) o(xn)= o(xn),
xm o(xn) = o(xn+m),
c o(xn) = o(xn) (c-константа),
o(xn) o(xn+p)= o(xn), здесь p натуральное.
o(xn+p)/xp= o(xn) В частности, o(xp)/xp= o(1).
o(an xn an+1 xn+1… an+p xn+p)= o(xn).
Если , бесконечно малые и =o(), то говорят, что бесконечно малая более высокого порядка, чем .
Определение. Функции f(x), g(x) называются эквивалентными в x0 ( говорят так же, в окрестности x0 ), если выполнено хотя бы одно из двух условий
, ( в этом случае g называется главной частью f при x x0)
( f - главная часть g при x x0).
Условие эквивалентности записывается в виде fg , при xx0 .
Замечание 1. Если выполнено одно из этих условий, то будет выполнено и второе.
Замечание 2. Эти условия можно записать в другой форме. Например, первое из них: в некоторой проколотой окрестности точки имеет место равенство f(x)=h(x)g(x), =1.
Замечание 3. Если, например, g(x)0, то первое условие можно записать в виде .
Определение. Если для некотрого C выполняется:
f(x) C при xx0 , то f(x) называется бесконечно малой порядка при xx0 ( - положительное вещественное число). Вместо условия xx0 может быть . Если для некотрого C выполняется f(x) C при xx0 , то в этом случае также говорят о бесконечно малой порядка при xx0 .
Так, например, функция при x0 (бесконечно малая порядка 2).
Если для некотрого C выполняется: f(x) при xx0 , то f(x) называется бесконечно большой порядка при xx0.
Если f(x) б.б. при x и f(x) эквивалентна при x , то f(x) называется бесконечно большой порядка при x. Аналогично определяется порядок бесконечно большой при .
Замечание. Если f(x) б.м. порядка , то 1/f(x) будет б.б. порядка и наоборот.
Примеры. Определить характер функций в 0, 1,+.
при x0 (бесконечно малая порядка 2)
при x1,
при x(бесконечно большая порядка 3).
при x0 (бесконечно малая порядка 2),
при x1 (бесконечно малая порядка 1),
при x(бесконечно большая порядка 4).
Пример. Функция при x0 является бесконечно малой порядка .
Пример. Функция при x1 является бесконечно малой неопределенного порядка. Не существует такого C и действительного числа , что при x1.
Пример. =, при x.
При вычислении пределов полезна следующая теорема.
Теорема. Пусть f эквивалентна f1, g эквивалентна g1 при xx0 .
Если существует предел , тогда существует и .
Если существует предел , тогда существует и .
Пример. .
Пример. =1.
Пример. .