- •Логинов а.С. Часть 1. Дифференциальное исчисление Глава 1. Ведение
- •1.1. Некоторые понятия теории множеств и математической логики
- •1.1.1. Множество, операции над множествами, обозначения
- •1.1.2. Отображение, взаимно-однозначное соответствие, счетное и несчетное множества
- •1.1.3.Некоторые понятия математической логики (Дж. Маллас Пролог)
- •1.1.4.Вещественные числа
- •1.2. Комплексные числа
- •1.2.1. Определение комплексного числа
- •1.2.2. Свойства комплексных чисел
- •1.2.3. Алгебраическая форма записи
- •1.2.4. Модуль и аргумент комплексного числа. Комплексное сопряжение. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел
- •1.2.5. Формула Муавра
- •1.3.1.Ограниченное множество. Точные грани
- •1.3.2.Существование точной верхней грани у ограниченного сверху множества
- •Глава 2. Последовательности
- •2.1. Основные понятия, относящиеся к последовательностям
- •2.1.1. Ограниченная последовательность. Точная верхняя (нижняя) грань. Монотонные последовательности
- •2.1.2. Предел последовательности
- •2.1.3. Несобственные пределы
- •2.2. Теоремы о пределах последовательностей
- •2.2.1.Простейшие свойства сходящихся последовательностей
- •2.2.2. Монотонные последовательности
- •2.3. Некоторые свойства последовательностей, связанные со свойством непрерывности вещественных чисел
- •2.3.1.Подпоследовательность. Теорема Больцано-Вейерштрасса
- •2.3.2.Верхний и нижний пределы последовательности
- •2.3.3. Фундаментальная последовательность. Критерий Коши для последовательности
- •2.4. Свойства последовательностей
- •2.4.1.Операции над последовательностями. Свойства пределов, связанные с операциями
- •Глава 3. Предел функции. Непрерывность
- •3.1. Основные понятия, относящиеся к функции
- •3.1.2.Ограниченность. Точные грани
- •3.1.3.Элементарные функции
- •3.2. Предел функции
- •3.2.2. Односторонние пределы. Предел слева, предел справа
- •3.2.3. Связь предела с односторонними пределами
- •3.2.5. Критерий Коши существования конечного предела функции
- •3.2.6. Локальная ограниченность функции, имеющей конечный предел
- •3.2.7. Сохранение знака функции, имеющей ненулевой предел в точке
- •3.2.8. Предел сложной функции
- •3.3 Свойства пределов
- •3.3.1. Переход к пределу в неравенствах
- •3.3.2. Арифметические операции над пределами
- •3.3.3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •3.3.4. Сравнение б.М. И б.Б. Функций. Символы o,o
- •3.4 Замечательные пределы Замечательные пределы, основные эквивалентности.
- •3.4.1. Первый замечательный предел.
- •3.4.2. Второй замечательный предел.
- •3.5 Непрерывные функции
- •3.5.2.Простейшие свойства непрерывных функций
- •Определение. Если существуют конечные пределы
- •3.5.3. Ограниченность непрерывной функции. Теоремы Вейерштрасса
- •3.5.4.Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции
- •3.5.5.Критерий непрерывности монотонной функции
- •3.5.6.Непрерывность обратной функции
- •3.5.7.Непрерывность элементарных функций
- •3.5.8.Равномерная непрерывность
- •Глава 4 Дифференциальное исчисление
- •4.1 Производная
- •4.1.1.Определение производной. Геометрическая интерпретация. Необходимое условие дифференцируемости
- •4.1.2. Дифференциал функции
- •4.1.3.Основные правила дифференцирования
- •4.1.4.Производные элементарных функций
- •4.1.5. Логарифмическое дифференцирование
- •4.1.6.Функции, заданные параметрически
- •4.2 Производные и дифференциалы высших порядков
- •4.2.1.Производные высших порядков
- •4.2.2. Вычисление производных функций, заданных неявно
- •4.2.3. Формула Лейбница
- •4.2.4. Дифференциалы высших порядков
- •4.2.5. Инвариантность формы дифференциала первого порядка
- •4.2.6. Дифференцирование функций, заданных неявно
- •4.3 Теоремы о среднем для дифференцируемых функций
- •4.3.1. Теорема Ферма о нуле производной
- •4.3.2. Теорема Ролля о нуле производной
- •4.3.3. Теорема Лагранжа о конечных приращениях
- •4.3.4. Теорема Коши о конечных приращениях
- •4.4 Правило Лопиталя
- •4.4.1.Раскрытие неопределенностей вида 0/0
- •4.4.2.Раскрытие неопределенностей вида /
- •4.4.3.Использование правила Лопиталя для выделения главных частей и определения порядков бесконечно больших
- •4.4.4.Раскрытие неопределенностей вида 0, 1 , 00, 0, -
- •4.5 Формула Тейлора
- •4.5.1.Многочлен Тейлора. Формула Тейлора с остаточным членом Rn
- •4.5.2. Остаток в форме Пеано
- •Лемма. Если
- •4.5.3.Другие формы остатка в формуле Тейлора
- •4.5.4. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Тейлора
- •4.5.5. Примеры использования стандартных разложений для представления функций по формуле Тейлора и для вычисления пределов
- •4.5.6. Формула Тейлора для четных и нечетных функций
- •4.6 Исследования характера поведения функций
- •4.6.1.Условие монотонности функции
- •4.6.2.Максимальные и минимальные значения функций ( экстремумы )
- •Аналогично определяются: минимум, строгий минимум.
- •4.6.3. Исследование функций на экстремум по знаку высших производных
- •4.6.4. Выпуклость функции, точки перегиба
- •4.6.5. Асимптоты функций
- •4.6.6. Общая схема построения графиков
- •Глава 5. Элементы теории кривых
- •5.1 Векторная функция скалярного аргумента
- •5.1.1.Определение векторной функции. Операции над векторными функциями
- •5.1.2. Предел вектор функции
- •5.1.3. Непрерывность вектор функции
- •5.1.4. Дифференцируемость вектор функции
- •5.1.5. Правила дифференцирования вектор функций
- •5.1.6. Гладкие кривые Определение. Кривая
- •5.2 Длина кривой
- •5.2.1.Спрямляемая кривая
- •5.3 Плоские кривые
- •5.3.1.Понятие кривизны и ее вычисление
- •5.3.2.Выражение центра и радиуса кривизны для явно заданной кривой
- •5.3.3.Порядок соприкосновения кривых
4.5.4. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Тейлора
1) Экспонента ex, x0=0
,(0,x), если x>0 или (x,0) в случае
x <0. Например, при |x|<1, |Rn(x)|
2) sin x, x0=0
Вспомогательная формула:
=, x0,
выберем m=2n+2 , тогда
sin x=, x0,
откуда, с учетом равенства f(2n+2)(0)=0, получаем разложение для синуса
sin x=, x0.
В формуле Тейлора с остатком Лагранжа
, (0,x) (или
(x,0)). Действительно,
== Откуда следует, что
-
cos x, x0=0.
Вспомогательная формула:
.
.
=, x0,
выберем m=2n+1 , тогда
, x0,
откуда, с учетом равенства f(2n+1)(0)=0, получаем разложение для косинуса
cos x=, x0.
В формуле Тейлора с остатком Лагранжа
cos x =, (0,x) ( или (x,0) ). Действительно,
==.
Откуда следует, что
-
ln(1+x), x0=0.
, x0.
-
(1+x), x0=0, интерес представляет случай, когда не является натуральным числом.
f=(1+x)-1,…,f(k)=( - 1)…( - k+1)(1+x) - k.
, x0
Важный частный случай
=.
6) sh x, x0=0.
7) ch x, x0=0.
4.5.5. Примеры использования стандартных разложений для представления функций по формуле Тейлора и для вычисления пределов
Пример 1.
Пример 2.
.
Пример 3. Разложить функцию f(x)= по формуле Тейлора с остатком Пеано по степеням x до x5 включительно.
. Для решения задачи возьмем разложения функции
,
+x4+x5+o(x5)=
=1+2x+x2x3x4x5+o(x5).
Пример 4. Разложить функцию f(x)=1/cos x по формуле Тейлора с остатком Пеано по степеням x до x5 включительно. Представим функцию в виде
=1+u+u2+u3+o(u3),
где u =. Тогда
=1+u+u2+u3+o(u3)=1++++. При вычислении степеней нас интересуют только слагаемые степеней не выше x5, более высокие степени войдут в o(x5). Таким образом, =,=,=. Выражение = показывает, что в разложении =1+u+u2+u3+o(u3) можно, с самого начала, ограничится второй степенью
=1+u+u2+o(x5). Подставляя нужные выражения в это равенство, получим =1+++=1+
Пример 5. Используя разложение из предыдущего примера, разложить функцию f(x)=tg x по формуле Тейлора с остатком Пеано по степеням x до x6 включительно.
tg x===
x+x2(0)+x3+x4(0)+x5+x6(0)+o(x6)=
=.
Пример 6. Разложить функцию f(x)=(1+x) - (1 - x) по формуле Тейлора с остатком Пеано.
k = 2l+1,
Таким образом,
Следствие. .
Пример 7. Используя следствие из предыдущего примера, найти предел
.
Имеем: =|x|= sign x +o().
Пример 8. Разложить функцию f(x)= по формуле Тейлора с остатком Пеано по степеням x до x4 включительно.
Сначала выпишем разложение функции по степеням x до x3 включительно.
Положим u=x - x2 , тогда ==1+u+u2+u3+o(u3) = 1+ x - x2+(x – x2)2+(x – x2)3+o(x3)=1+x – x3 +o(x3). Далее,
==1+2x(1+x–x3+o(x3))=1+2x+2x2-2x4+o(x4).
Второй способ. Так как , то на первом шаге выделяем единицу:
=. Второе слагаемое представляем в виде Cxng2(x) так, чтобы , после чего следует представить функцию g2(x) в виде g2(x)= 1+g3(x) и т.д. В нашем случае:
====
==1+2x+
+=
=1+2x+2x2=1+2x+2x2-2x4+o(x4).
4.5.6. Формула Тейлора для четных и нечетных функций
Теорема 1. Если функция f(x) четна и существует f(2n+1)(0), то имеет место следующее разложение этой функции
.
Если функция f(x) нечетна и существует f(2n+2)(0), то имеет место следующее разложение этой функции
.
Теорема 2. Если функция f(x) четна и существует f(2n+2)(x) в некоторой окрестности U(0), то для xU(0) справедливо равенство
,
где (0,x) или (x,0).
Если функция f(x) нечетна и существует f(2n+3)(xi в некоторой окрестности U(0), то для xU(0) справедливо равенство
,
где (0,x) или (x,0).
Доказательство. Как уже отмечалось ранее, у четной функции все производные нечетного порядка являются нечетными функциями и, поэтому, они равны нулю с точке
f(2k+1)(0) = 0 , если f(x) четна.
Отсюда и получаются указанные формулы, если использовать многочлен Тейлора до порядка 2n+1 включительно. У нечетной функции все производные четного порядка будут нечетными функциями и
f(2k)(0) = 0 , если f(x) нечетна.
В этом случае необходимо использовать многочлен Тейлора до порядка 2n+2 включительно.