- •Логинов а.С. Часть 1. Дифференциальное исчисление Глава 1. Ведение
- •1.1. Некоторые понятия теории множеств и математической логики
- •1.1.1. Множество, операции над множествами, обозначения
- •1.1.2. Отображение, взаимно-однозначное соответствие, счетное и несчетное множества
- •1.1.3.Некоторые понятия математической логики (Дж. Маллас Пролог)
- •1.1.4.Вещественные числа
- •1.2. Комплексные числа
- •1.2.1. Определение комплексного числа
- •1.2.2. Свойства комплексных чисел
- •1.2.3. Алгебраическая форма записи
- •1.2.4. Модуль и аргумент комплексного числа. Комплексное сопряжение. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел
- •1.2.5. Формула Муавра
- •1.3.1.Ограниченное множество. Точные грани
- •1.3.2.Существование точной верхней грани у ограниченного сверху множества
- •Глава 2. Последовательности
- •2.1. Основные понятия, относящиеся к последовательностям
- •2.1.1. Ограниченная последовательность. Точная верхняя (нижняя) грань. Монотонные последовательности
- •2.1.2. Предел последовательности
- •2.1.3. Несобственные пределы
- •2.2. Теоремы о пределах последовательностей
- •2.2.1.Простейшие свойства сходящихся последовательностей
- •2.2.2. Монотонные последовательности
- •2.3. Некоторые свойства последовательностей, связанные со свойством непрерывности вещественных чисел
- •2.3.1.Подпоследовательность. Теорема Больцано-Вейерштрасса
- •2.3.2.Верхний и нижний пределы последовательности
- •2.3.3. Фундаментальная последовательность. Критерий Коши для последовательности
- •2.4. Свойства последовательностей
- •2.4.1.Операции над последовательностями. Свойства пределов, связанные с операциями
- •Глава 3. Предел функции. Непрерывность
- •3.1. Основные понятия, относящиеся к функции
- •3.1.2.Ограниченность. Точные грани
- •3.1.3.Элементарные функции
- •3.2. Предел функции
- •3.2.2. Односторонние пределы. Предел слева, предел справа
- •3.2.3. Связь предела с односторонними пределами
- •3.2.5. Критерий Коши существования конечного предела функции
- •3.2.6. Локальная ограниченность функции, имеющей конечный предел
- •3.2.7. Сохранение знака функции, имеющей ненулевой предел в точке
- •3.2.8. Предел сложной функции
- •3.3 Свойства пределов
- •3.3.1. Переход к пределу в неравенствах
- •3.3.2. Арифметические операции над пределами
- •3.3.3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •3.3.4. Сравнение б.М. И б.Б. Функций. Символы o,o
- •3.4 Замечательные пределы Замечательные пределы, основные эквивалентности.
- •3.4.1. Первый замечательный предел.
- •3.4.2. Второй замечательный предел.
- •3.5 Непрерывные функции
- •3.5.2.Простейшие свойства непрерывных функций
- •Определение. Если существуют конечные пределы
- •3.5.3. Ограниченность непрерывной функции. Теоремы Вейерштрасса
- •3.5.4.Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции
- •3.5.5.Критерий непрерывности монотонной функции
- •3.5.6.Непрерывность обратной функции
- •3.5.7.Непрерывность элементарных функций
- •3.5.8.Равномерная непрерывность
- •Глава 4 Дифференциальное исчисление
- •4.1 Производная
- •4.1.1.Определение производной. Геометрическая интерпретация. Необходимое условие дифференцируемости
- •4.1.2. Дифференциал функции
- •4.1.3.Основные правила дифференцирования
- •4.1.4.Производные элементарных функций
- •4.1.5. Логарифмическое дифференцирование
- •4.1.6.Функции, заданные параметрически
- •4.2 Производные и дифференциалы высших порядков
- •4.2.1.Производные высших порядков
- •4.2.2. Вычисление производных функций, заданных неявно
- •4.2.3. Формула Лейбница
- •4.2.4. Дифференциалы высших порядков
- •4.2.5. Инвариантность формы дифференциала первого порядка
- •4.2.6. Дифференцирование функций, заданных неявно
- •4.3 Теоремы о среднем для дифференцируемых функций
- •4.3.1. Теорема Ферма о нуле производной
- •4.3.2. Теорема Ролля о нуле производной
- •4.3.3. Теорема Лагранжа о конечных приращениях
- •4.3.4. Теорема Коши о конечных приращениях
- •4.4 Правило Лопиталя
- •4.4.1.Раскрытие неопределенностей вида 0/0
- •4.4.2.Раскрытие неопределенностей вида /
- •4.4.3.Использование правила Лопиталя для выделения главных частей и определения порядков бесконечно больших
- •4.4.4.Раскрытие неопределенностей вида 0, 1 , 00, 0, -
- •4.5 Формула Тейлора
- •4.5.1.Многочлен Тейлора. Формула Тейлора с остаточным членом Rn
- •4.5.2. Остаток в форме Пеано
- •Лемма. Если
- •4.5.3.Другие формы остатка в формуле Тейлора
- •4.5.4. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Тейлора
- •4.5.5. Примеры использования стандартных разложений для представления функций по формуле Тейлора и для вычисления пределов
- •4.5.6. Формула Тейлора для четных и нечетных функций
- •4.6 Исследования характера поведения функций
- •4.6.1.Условие монотонности функции
- •4.6.2.Максимальные и минимальные значения функций ( экстремумы )
- •Аналогично определяются: минимум, строгий минимум.
- •4.6.3. Исследование функций на экстремум по знаку высших производных
- •4.6.4. Выпуклость функции, точки перегиба
- •4.6.5. Асимптоты функций
- •4.6.6. Общая схема построения графиков
- •Глава 5. Элементы теории кривых
- •5.1 Векторная функция скалярного аргумента
- •5.1.1.Определение векторной функции. Операции над векторными функциями
- •5.1.2. Предел вектор функции
- •5.1.3. Непрерывность вектор функции
- •5.1.4. Дифференцируемость вектор функции
- •5.1.5. Правила дифференцирования вектор функций
- •5.1.6. Гладкие кривые Определение. Кривая
- •5.2 Длина кривой
- •5.2.1.Спрямляемая кривая
- •5.3 Плоские кривые
- •5.3.1.Понятие кривизны и ее вычисление
- •5.3.2.Выражение центра и радиуса кривизны для явно заданной кривой
- •5.3.3.Порядок соприкосновения кривых
3.4 Замечательные пределы Замечательные пределы, основные эквивалентности.
3.4.1. Первый замечательный предел.
Отметим, что для выполнены неравенства смотри рисунок (доказательство неравенства в конце пункта).
Рис. 3.3
Откуда следуют неравенства
(1)
Далее = и из (1) получаем, что
Отметим, что попутно были доказаны следующие соотношения:
.
.
Доказательство неравенства
Рис. 3.3.1
Дуга (на рис. 3.3.1 - это) есть предел длин вписанных ломаных с равноотстоящими узлами при стремлении к бесконечности числа звеньев. Легко показать, что последовательность длин этих ломаных является монотонно возрастающей последовательностью, ограниченной длиной сверху. Например, , см. рис. 3.3.2.
Рис. 3.3.2
Для доказательства этого в угле проведена биссектриса. Легко проверяются неравентва: Откода следует, что длина хорды
,
Другими словами, длина хорды ломаной меньше соответствующей составляющей тангенса.
3.4.2. Второй замечательный предел.
Лемма 1.Если xn=a, {nk} - последовательность натуральных чисел такая, что nk=+ , то =a.
Отметим, что не обязана быть подпоследовательностью.
Доказательство: По условию xn=a , т.е.
Nn>N : |xn - a|<. (2)
Далее, используя второе условие nk=+ можно для N найти Kk >K: nk>N . Тогда из (2) будет следовать, что
|- a|<, ч.т.д.
Лемма 2. Если xk=0, xk>0, то =e.
Доказательство: Так как xk=0 , то можно считать, что для всех справедливо : . Для целой части числа , nk= будут выполнены неравенства:
,
Поэтому
(3)
Пределы последовательностей , согласно лемме 1, равны числу e. Для того, чтобы это проверить, эти последовательности можно представить в виде:
Переходя к пределу в (3) при k , по теореме о трех последовательностях, получим требуемое утверждение.
Следствие 1. .
Действительно, утверждение леммы 2 означает, что для любой последовательности {xk} типа Гейне при x0+0 будет выполнено =e и, следовательно, .
Аналогичное утверждение справедливо для любой последовательности {xk} типа Гейне при и, поэтому, .
Следствие 2. ,. Первое утверждение следует из теоремы о связи предела с односторонними пределами. Последнее равенство получено с помощью замены x = 1/y.
Следствие 3. , если -бесконечно малая при
Пример 1 (Раскрытие неопределенностей типа: ). Вычислить предел , где и
В этом случае будет существовать бесконечно малая при такая, что. Тогда и если мы найдем предел , то Отметим, что здесь может быть: - число, . -может быть числом или символом .
Пример. Вычислить предел .
.
=
=.
=
Поэтому и . Откуда получаем, что .
Выпишем часто используемые основные эквивалентности
sin x x, x0,
,
x, x0.
Второе и третье соотношения будут доказаны в последующем.
Стандартные эквивалентности
3.5 Непрерывные функции
Понятие непрерывности. Свойства непрерывных функций. Классификация разрывов. Теоремы Вейерштрасса. Нули непрерывных функций. Равномерная непрерывность.
3.5.1.Непрерывность в точке и на множестве
Определение. Функция f(x), заданная на множестве X , содержащем некоторую проколотую окрестность точки x0, X, называется непрерывной в точке x0 , если она определена в точке и.
Определение непрерывности в точке по Коши
Функция определена в точке и >0>0x X,|x - x0|<: |f(x) - f(x0)|<.
Определение непрерывности в точке по Гейне
Функция определена в точке и xn, {xn}x0, {xn}X : f(xn)=f(x0).
Непрерывность справа:
Функция определена в точке и >0>0x X, x0 x < x0 +: |f(x) - f(x0)|< .
Непрерывность слева:
Функция определена в точке и >0>0x X, x0 - < x x0 : |f(x) - f(x0)|< .
Непрерывность на множестве:
Функция непрерывна на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.