- •Логинов а.С. Часть 1. Дифференциальное исчисление Глава 1. Ведение
- •1.1. Некоторые понятия теории множеств и математической логики
- •1.1.1. Множество, операции над множествами, обозначения
- •1.1.2. Отображение, взаимно-однозначное соответствие, счетное и несчетное множества
- •1.1.3.Некоторые понятия математической логики (Дж. Маллас Пролог)
- •1.1.4.Вещественные числа
- •1.2. Комплексные числа
- •1.2.1. Определение комплексного числа
- •1.2.2. Свойства комплексных чисел
- •1.2.3. Алгебраическая форма записи
- •1.2.4. Модуль и аргумент комплексного числа. Комплексное сопряжение. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел
- •1.2.5. Формула Муавра
- •1.3.1.Ограниченное множество. Точные грани
- •1.3.2.Существование точной верхней грани у ограниченного сверху множества
- •Глава 2. Последовательности
- •2.1. Основные понятия, относящиеся к последовательностям
- •2.1.1. Ограниченная последовательность. Точная верхняя (нижняя) грань. Монотонные последовательности
- •2.1.2. Предел последовательности
- •2.1.3. Несобственные пределы
- •2.2. Теоремы о пределах последовательностей
- •2.2.1.Простейшие свойства сходящихся последовательностей
- •2.2.2. Монотонные последовательности
- •2.3. Некоторые свойства последовательностей, связанные со свойством непрерывности вещественных чисел
- •2.3.1.Подпоследовательность. Теорема Больцано-Вейерштрасса
- •2.3.2.Верхний и нижний пределы последовательности
- •2.3.3. Фундаментальная последовательность. Критерий Коши для последовательности
- •2.4. Свойства последовательностей
- •2.4.1.Операции над последовательностями. Свойства пределов, связанные с операциями
- •Глава 3. Предел функции. Непрерывность
- •3.1. Основные понятия, относящиеся к функции
- •3.1.2.Ограниченность. Точные грани
- •3.1.3.Элементарные функции
- •3.2. Предел функции
- •3.2.2. Односторонние пределы. Предел слева, предел справа
- •3.2.3. Связь предела с односторонними пределами
- •3.2.5. Критерий Коши существования конечного предела функции
- •3.2.6. Локальная ограниченность функции, имеющей конечный предел
- •3.2.7. Сохранение знака функции, имеющей ненулевой предел в точке
- •3.2.8. Предел сложной функции
- •3.3 Свойства пределов
- •3.3.1. Переход к пределу в неравенствах
- •3.3.2. Арифметические операции над пределами
- •3.3.3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •3.3.4. Сравнение б.М. И б.Б. Функций. Символы o,o
- •3.4 Замечательные пределы Замечательные пределы, основные эквивалентности.
- •3.4.1. Первый замечательный предел.
- •3.4.2. Второй замечательный предел.
- •3.5 Непрерывные функции
- •3.5.2.Простейшие свойства непрерывных функций
- •Определение. Если существуют конечные пределы
- •3.5.3. Ограниченность непрерывной функции. Теоремы Вейерштрасса
- •3.5.4.Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции
- •3.5.5.Критерий непрерывности монотонной функции
- •3.5.6.Непрерывность обратной функции
- •3.5.7.Непрерывность элементарных функций
- •3.5.8.Равномерная непрерывность
- •Глава 4 Дифференциальное исчисление
- •4.1 Производная
- •4.1.1.Определение производной. Геометрическая интерпретация. Необходимое условие дифференцируемости
- •4.1.2. Дифференциал функции
- •4.1.3.Основные правила дифференцирования
- •4.1.4.Производные элементарных функций
- •4.1.5. Логарифмическое дифференцирование
- •4.1.6.Функции, заданные параметрически
- •4.2 Производные и дифференциалы высших порядков
- •4.2.1.Производные высших порядков
- •4.2.2. Вычисление производных функций, заданных неявно
- •4.2.3. Формула Лейбница
- •4.2.4. Дифференциалы высших порядков
- •4.2.5. Инвариантность формы дифференциала первого порядка
- •4.2.6. Дифференцирование функций, заданных неявно
- •4.3 Теоремы о среднем для дифференцируемых функций
- •4.3.1. Теорема Ферма о нуле производной
- •4.3.2. Теорема Ролля о нуле производной
- •4.3.3. Теорема Лагранжа о конечных приращениях
- •4.3.4. Теорема Коши о конечных приращениях
- •4.4 Правило Лопиталя
- •4.4.1.Раскрытие неопределенностей вида 0/0
- •4.4.2.Раскрытие неопределенностей вида /
- •4.4.3.Использование правила Лопиталя для выделения главных частей и определения порядков бесконечно больших
- •4.4.4.Раскрытие неопределенностей вида 0, 1 , 00, 0, -
- •4.5 Формула Тейлора
- •4.5.1.Многочлен Тейлора. Формула Тейлора с остаточным членом Rn
- •4.5.2. Остаток в форме Пеано
- •Лемма. Если
- •4.5.3.Другие формы остатка в формуле Тейлора
- •4.5.4. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Тейлора
- •4.5.5. Примеры использования стандартных разложений для представления функций по формуле Тейлора и для вычисления пределов
- •4.5.6. Формула Тейлора для четных и нечетных функций
- •4.6 Исследования характера поведения функций
- •4.6.1.Условие монотонности функции
- •4.6.2.Максимальные и минимальные значения функций ( экстремумы )
- •Аналогично определяются: минимум, строгий минимум.
- •4.6.3. Исследование функций на экстремум по знаку высших производных
- •4.6.4. Выпуклость функции, точки перегиба
- •4.6.5. Асимптоты функций
- •4.6.6. Общая схема построения графиков
- •Глава 5. Элементы теории кривых
- •5.1 Векторная функция скалярного аргумента
- •5.1.1.Определение векторной функции. Операции над векторными функциями
- •5.1.2. Предел вектор функции
- •5.1.3. Непрерывность вектор функции
- •5.1.4. Дифференцируемость вектор функции
- •5.1.5. Правила дифференцирования вектор функций
- •5.1.6. Гладкие кривые Определение. Кривая
- •5.2 Длина кривой
- •5.2.1.Спрямляемая кривая
- •5.3 Плоские кривые
- •5.3.1.Понятие кривизны и ее вычисление
- •5.3.2.Выражение центра и радиуса кривизны для явно заданной кривой
- •5.3.3.Порядок соприкосновения кривых
1.2.5. Формула Муавра
Была найдена А.Муавром в 1707; современная её запись предложена Л. Эйлером в 1748.
zn=rnein=rn( cos n + i sin n). (3)
Формула (3) доказывается индукцией по n.
Умножение комплексных чисел
При она, очевидно, верна. Предположим, что она верна для некоторого n, докажем ее для n+1. Имеем:
, ч.т.д.
Для заданного найдем , удовлетворяющее уравнению . Другими словами, найдем корень n-ой степени из комплексного числа. Имеем rnein=ei n=+2k, kZ, r= откуда получаем формулы
,
которые используются для вычисления корня n-ой степени из комплексного числа . Процесс нахождения корня n – ой степени из комплексного числа z можно описать следующим образом. Если это число не равно 0, то таких корней будет ровно n. Все они будут являться вершинами правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса . Одна из вершин этого многоугольника имеет аргумент, равный .
Пример. Вычислить . В этом случае , поэтому принимает три значения:
.
Рис. 1.7
Замечание: Знаки сравнения меньше, больше (<, >) не определены в C.
1.3. Верхняя и нижняя грани множества действительных чисел
Ограниченность и грани множества.
1.3.1.Ограниченное множество. Точные грани
Ограниченное сверху множество E: b xE : x b.
b - верхняя грань множества: xE:x b.
Ограниченное снизу множество: a xE : x a.
a - нижняя грань множества: xE : x a.
Точная верхняя грань множества: b = sup E – это число, удовлетворяющее двум свойствам:
1) (b - верхняя грань) xE : xb.
2) ( нет меньшей) >0 xE: x > b-.
Аналогично определяется точная нижняя грань a = inf E. Ограниченное множество E: b xE: .
Замечание: Если b = sup E, то -b = inf E , где E- зеркальное к E множество, E={xR:(-x)E}.
1.3.2.Существование точной верхней грани у ограниченного сверху множества
Теорема 1. У непустого, ограниченного сверху множества существует точная верхняя грань.
Доказательство: Пусть b верхняя грань множества E и aE. Обозначим через [a1,b1] отрезок , если в нем есть точки из E. В противном случае через [a1,b1] обозначим отрезок
Рис. 1.8
Отметим свойства этого построенного отрезка:
1) xE: x b1.
2) E[a1,b1] .
Эту процедуру повторим для [a1,b1], и т. д. В результате получим последовательность вложенных отрезков [ak,bk], удовлетворяющих свойствам:
1)xE: x bk .
2) E[ak,bk] .
Доказательство этого проводится по индукции. Предположим, что построен отрезок [ak,bk] с указанными свойствами. Разделим его пополам точкой . Через [ak+1,bk+1] обозначим тот из отрезков , который имеет непустое пересечение с E. Если оба содержат
Рис. 1.9
точки из E, то [ak+1,bk+1] пусть будет правый отрезок . Полученный отрезок обладает свойствами 1), 2). Длины этих отрезков bk - ak=(b - a)/2k стремятся к 0, поэтому существует единственное число c общее для всех этих отрезков. Это число является точной верхней гранью данного множества. Действительно:
-
xE: x c.
Предположим противное: xE:x>c, возьмем , для него существует тогда , откуда следует bn < x, что противоречит условию x[an,bn].
Рис. 1.10
2) xE: x c - .
Для любого существует n: bn - an < . Выберем какое либо x[an,bn] . В силу свойства 1) будет выполнено x < c, кроме того
c-x bn - an < . Таким образом, найдено требуемое x.
Рис. 1.11
Аналогично можно доказать, что у непустого ограниченного снизу множества существует точная нижняя грань.
Теорема 2. Точная верхняя грань (если она существует), единственна.
Доказательство: Пусть имеются две точных грани b2 , b1, b1<b2. Возьмет = b2 - b1 > 0. По определению точной верхней грани (для b2) xE: x > b2 - = b1, что противоречит тому, что b1 верхняя грань.
Рис. 1.12
Замечание. Аналогично доказывается, что точная нижняя грань единственна.
Если E не ограничено сверху, то пишут sup E = +, аналогично, если E не ограничено снизу, то пишут inf E = -.