Тема 1 концептуальные аспекты математического моделирования экономики

1.1. Понятие модели. Классификация моделей

Объектом исследования курса экономико-математического моделирования является экономические системы и экономические процессы, протекающие в них. Ключевой отличительной особенностью данного объекта исследования от объектов исследования других естественных наук, является то, что над экономическими системами и процессами в большинстве случаев нельзя ставить непосредственные эксперименты для выявления эффективных методов управления ими. Невозможность осуществления прямых экспериментов объясняется несколькими причинами:

– организация экспериментов над объектом исследования стоит слишком дорого (особенно это касается мезо- и макроэкономического уровня);

– последствия от экспериментов над экономическим объектом могут слишком дорого обойтись экономической системе или привести к ее разрушению;

– проводить эксперименты над объектом исследования невозможно, ввиду отсутствия у исследователя реальных рычагов управления экономической системой (процессом);

– проводить эксперименты над объектом исследования невозможно, ввиду отсутствия объекта исследования как такового (например, экономика завтрашнего дня).

В связи с этим, ключевым понятием в курсе экономико-математического моделирования является понятие модели. Модель – реальный или абстрактный объект, который замещает объект-оригинал таким образом, что исследование этого объекта позволяет получить новые знания об объекте-оригинале.

Таким образом, исследователь изучает объект-оригинал (экономическую систему или процесс) не непосредственно, а построив ее модель, которая отражает наиболее важные с точки зрения исследователя закономерности и особенности функционирования объекта-оригинала. Далее ставятся эксперименты над моделью, и результаты, которые получены на основании исследования модели, распространяются и на объект-оригинал.

В зависимости от того, насколько хорошо модель соответствует объекту-оригиналу, результаты применения моделирования как метода исследования также могут иметь разный уровень эффективности.

Очевидно, одна и та же модель может быть очень хорошей для одного исследования и совершенно непригодной для другого. Известный британский кибернетик С.Бир приводит такой пример. Мертвая мышь является очень хорошей моделью живой мыши, если речь идет об исследовании ее анатомии и внутреннего строения; но если речь идет об исследовании ее повадок и рефлексов, то это, очевидно, будет совершенно непригодная модель.

Под математической моделью будем понимать абстрактную запись основных закономерностей экономического процесса или явления, выраженную с помощью математических формул или соотношений.

Математические модели различают по следующим признакам:

1. Линейные и нелинейные.

Линейной называется такая модель, которая описывается линейными функциями от переменных.

Функция f(x₁, x₂, …, x_n) переменных x₁, x₂, …, x_n является линейной тогда и только тогда, когда для некоторого множества констант с₁, с₂, …, с_n выполняется соотношение f(x₁, x₂, …, x_n) = с₁x₁ + с₂x₂ +… +с_nx_n.

Например, f(x₁, x₂) = 2x₁ + x₂ является линейной функцией переменных x₁, x₂, в то время как f(x₁, x₂) = – является нелинейной.

Неравенства f(x₁, x₂, …, x_n) ≤ b или f(x₁, x₂, …, x_n) ≥ b, где b – некоторая константа, а f(x₁, x₂, …, x_n) – линейная функция также называется линейными неравенствами.

Свойства линейности функции автоматически предполагает, что переменные модели обладают свойствами пропорциональности и аддитивности.

Пропорциональность обозначает, что вклад каждой переменной в значение функции пропорционален значению переменной. Например, если прибыль от продажи 1 машины составляет 20000 грн., то прибыль от продажи пяти машин будет равна 5×20000 = 100000.

Аддитивность обозначает, что вклад каждой переменной в значение функции не зависит от значения других переменных. Например, прибыль от продажи пяти машин составит 100000 независимо от того, сколько продано этой же компанией мотоциклов.

2. Непрерывные и дискретные.

Непрерывность обозначает, что каждая переменная модели может принимать дробные значения (все значения на числовой оси от –∞ до +∞).

Задача, у которой некоторые переменные могут принимать только целые значения, называется целочисленной задачей или дискретной.

Например, постановка задачи об объеме производства стали может быть осуществлена непрерывной моделью (ответ, например, 40,35 тонн вполне допустим). В то же время, если в результате решения задачи о размещении пожарных бригад на территории района получен ответ 0,4, то такой ответ не имеет смысла, а округление в большую или меньшую сторону будет существенным для принятия решения. Такую задачу необходимо осуществлять в дискретной постановке.

Частным случаем дискретной задачи может быть задача с булевыми переменными, в которой переменные могут принимать значение 0 или 1 (например, размещать пожарную бригаду в данном районе или не размещать, принять сотрудника на работу или не принимать и т.п.).

3. Детерминированные и стохастические.

Детерминированная (или определенная) модель подразумевает, что все параметры модели (коэффициенты функций, правые части ограничений) заранее определены, то есть известны. Это значит, что некоторым конкретным значениям переменных соответствует единственно возможное значение функции. Например, на данном заводе из тонны молока можно получить 200 кг сливочного масла, при этом потратить 4 КВтЧ электроэнергии, и 1 час времени работы оборудования.

Стохастическая модель предполагает наличие функций, которые являются случайной величиной. Это значит, что некоторые параметры модели неизвестны или являются случайными величинами, и даже если известны значения переменных, установить однозначно значение функции невозможно. Например, нельзя однозначно сказать, сколько мороженного продаст в течение часа реализатор, если он будет его продавать по 2 грн., можно лишь приблизительно оценить уровень продаж, если известно, сколько удавалось реализовывать в предыдущие дни.

4. Статические и динамические.

Статическая модель это такая модель, все параметры которых не зависят от времени (инвариантны во времени).

В динамической модели – значения параметров меняются во времени.

Например, простейшая модель рынка, устанавливающая зависимость между спросом D и предложением S, которые зависят от цены p, в статической постановке имеет вид:

D = f(p) – функция спроса;

S = (p) – функция предложения;

S = D – условие существования равновесия на рынке.

В некоторых случаях для адекватности модели, учитывается фактор времени. Тогда предыдущая модель в динамической постановке будет иметь вид:

D_t = f(p_t) – функция спроса – спрос зависит от цены сейчас;

S_t = (p_t-1) – функция предложения – предложение зависит от цены в предыдущий момент времени;

S_t = D_t – условие существования равновесия на рынке.

Здесь цена p_t-1 периода t-1 определяет предложение S_t периода t. Эта модель известна под названием «паутинообразная модель рынка».

5. Нормативные и дескриптивные.

Нормативной называется модель, исследование которой позволяет ответить на вопрос: «Как должен происходить процесс?». Такая модель позволяет из множества возможных альтернатив выбрать наилучшую, наиболее эффективную. Среди нормативных моделей значительный подкласс занимают оптимизационные модели.

Дескриптивная (описательная) модель отвечает на вопрос: «Как происходит процесс?». Такая модель позволяет изучить поведение системы, спрогнозировать возможные последствия от принятия тех или иных управленческих решений.

Например, динамическая паутинообразная модель рынка, приведенная выше, является дескриптивной моделью, поскольку она описывает поведение рынка и позволяет предсказать его динамику.

А если рассматривать задачу о продавце газет, которому необходимо определить, сколько каждый день нужно закупить свежих газет, чтобы к вечеру их все продать и получить максимальную прибыль (очевидно, недозаказ газет ведет к недополучению прибыли, а перезаказ – к убыткам), – такая задача является нормативной стохастической задачей.