5.3. Метод отсекающих плоскостей (Гомори)

Алгоритм метода отсекающих плоскостей можно представить такой последовательностью шагов:

Шаг 1. Решается линейно ослабленная задача. Если все переменные – целые, задача решена, если нет – переходим к шагу 2.

Шаг 2. В заключительной симплекс-таблице выбирается любое ограничение, у которого правая часть дробная (в столбце b_i дробное число). По данному ограничению строится отсечение: соответствующее уравнение записывается таким образом, чтобы все коэффициенты при переменных и правая часть ограничения выглядели в виде суммы целых и дробных частей (причем дробная часть должна быть от нуля до единицы); целые части переносятся в левую часть уравнения, а дробные – в правую. Полученная правая часть и будет уравнением отсечения.

Шаг 3. Дополняем последнюю таблицу полученным отсечением и решаем задачу двойственным симплекс-методом. Если вновь получается дробное решение – снова переходим к шагу 2.

Рассмотрим применение этого метода на примере 5.2.

x_1,2 – целые.

Базис	cj		x1	x2	S1	С.о.
			42	22	0
S1	0	39	21	12	1	13/7
		0	-42	-22	0

Базис	cj		x1	x2	S1
			42	22	0
x1	42	13/7	1	4/7	1/21
		78	0	2	2

Полученное решение x₁ = 13/7 = 1 6/7 дробное. Выпишем соответствующее уравнение:

Целые части перенесем влево, а дробные – вправо:

.

На основании правой части построим отсечение в виде:

, или:

.

Построенное отсечение обладает двумя свойствами:

1) любая допустимая точка целочисленной задачи удовлетворяет отсечению;

2) текущее оптимальное решение линейно-ослабленной задачи не удовлетворяет отсечению.

Введем данное уравнение в последнюю симплекс-таблицу:

Базис	cj		x1	x2	S1	S2
			42	22	0	0
x1	42	13/7	1	4/7	1/21	0
S2	0	–6/7	0	–4/7	–1/21	1
		78	0	2	2	0
С.о.			–	–7/2	–42	–

Базис	cj		x1	x2	S1	S2
			42	22	0	0
x1	42	1	1	0	0	1
x2	22	1,5	0	1	1/12	–7/4
		75	0	0	11/6	7/2

Решение x₂ = 1,5 – дробное; по второму ограничению снова строим отсечение:

Базис	cj		x1	x2	S1	S2	S3
			42	22	0	0	0
x1	42	1	1	0	0	1	0
x2	22	1,5	0	1	1/12	–7/4	0
S3	0	–0,5	0	0	–1/12	–1/4	1
		75	0	0	11/6	7/2	0
С.о.			–	–	–22	–14	–

Базис	cj		x1	x2	S1	S2	S3
			42	22	0	0	0
x1	42	–1	1	0	–1/3	0	8
x2	22	5	0	1	2/3	0	–7
S2	0	2	0	0	1/3	1	–4
		68	0	0	2/3	0	14
С.о.			–	–	–2	–	–

Полученное решение недопустимое, поскольку x₁ должен быть неотрицательным, поэтому он должен покинуть базис:

Базис	cj		x1	x2	S1	S2	S3
			42	22	0	0	0
S1	0	3	–3	0	1	0	–24
x2	22	3	2	1	0	0	9
S2	0	1	1	0	0	1	4
		66	2	0	0	0	30

Таким образом, получили целочисленное решение: (x₁ = 0, x₂ = 3, z = 66).