4.3. Анализ чувствительности

Помимо нахождения решения задачи линейной оптимизации исследователя часто интересует устойчивость или чувствительность этого решения. Актуальность анализа чувствительности обусловлена несколькими моментами:

1. На практике исходные параметры модели (коэффициенты с_j, a_ij, b_i) могут быть известны с определенным уровнем точности. Если при незначительном изменении этих исходных параметров оптимальное решение существенно изменяется, то такое решение нельзя считать приемлемым.

2. Исследователя часто интересуют вопросы типа «а что если?», то есть, изменится ли оптимальный план, если увеличить/уменьшить цену на продукцию, изменить норму расходов ресурсов на выпуск продукции, изменить запасы ресурсов. Желательно иметь возможность быстро получить ответы на эти вопросы, не прибегая к решению задачи заново.

3. Анализ чувствительности позволяет ответить на вопрос об экономической целесообразности внедрения новых способов производства (наряду с уже имеющимися).

Рассмотрим решение задачи о мебельной фабрике (8) (пример 3.2), которое отражено в табл. 3.4, и соответствующее решение двойственной задачи (9).

Анализ чувствительности решения этой задачи позволяет получить ответы на следующие вопросы:

1) как нужно изменить цену на столы, чтобы их стало выгодно производить;

2) как можно изменять цены на шкафы и стулья, чтобы решение о текущей структуре производства оставалось оптимальным;

3) как изменится решение, если изменить правую часть какого-нибудь ограничения, увеличив или уменьшив количество доступных ресурсов;

4) как изменится решение, если изменить технологические коэффициенты затрат ресурсов на производство продукции, которая не входит в базис;

5) если известны цена нового вида продукции и затраты ресурсов, выгодно ли будет запускать его в производство.

Чтобы ответить на эти вопросы, не решая заново задачу, проводят анализ чувствительности.

4.3.1. Изменение коэффициента целевой функции при небазисной переменной

Чтобы ответить на вопрос, как можно изменять цену на столы, чтобы текущий оптимум сохранился, необходимо посмотреть в строке целевой функции (табл. 3.4) на снижающую оценку при небазисной переменной x₂.

Значение =5 показывает максимальное значение, на которое должен быть увеличен коэффициент c₂ = 30 (для задачи на максимум), чтобы текущий базис перестал быть оптимальным.

Очевидно, как не уменьшай цену на столы, производить их все равно будет не выгодно. Поэтому диапазоном изменения коэффициента c₂ будет:

– < c₂  30 + 5 = 35.

Такой же ответ мы могли получить, если бы рассмотрели двойственную задачу (9): изменение c₂ затрагивает в двойственной задаче только второе ограничение

Подставляя в него оптимальное решение двойственной задачи (0;10;10;0), получим:

0 + 2∙10 + 1,5∙10 + 0 ≥ с₂, или

c₂  35.

4.3.2. Изменение коэффициента целевой функции при базисной переменной.

Определим, в каких диапазонах можно изменить цену (с₁) на шкафы (x₁), чтобы оптимальное решение не изменилось.

1. Выпишем строки x₁ и Z – c_j последней симплекс таблицы (табл. 3.4):

Базис	сj	bi	x1	x2	x3	S1	S2	S3	S4
3) х1	60	2	1	5/4	0	0	-1/2	3/2	0
		280	0	5	0	0	10	10	0

2. Разделим каждый элемент индексной строки, соответствующий только небазисным элементам, на соответствующий элемент из строки базисной переменной x₁: 5/(5/4) = 4, 10/(-1/2) = –20, 10/(3/2) = 20/3.

3. Чтобы определить верхний предел изменения коэффициента c₁, из отрицательных отношений выбираем наименьший по абсолютной величине (–20). Если такие отсутствуют – верхнего предела не существует. В нашем случае имеем: c₁  60 +20 = 80.

4. Чтобы определить нижний предел изменения коэффициента c₁, из положительных отношений выбираем наименьший по абсолютной величине (4). Если такие отсутствуют – нижнего предела не существует. Имеем: c₁  60 – 4 = 56.

Таким образом, базис не изменится, если 56  c₁  80.

Рассчитаем аналогично пределы изменения цен на стулья:

Базис	сj	bi	x1	x2	x3	S1	S2	S3	S4
2) х3	20	8	0	-2	1	0	2	-4	0
		280	0	5	0	0	10	10	0

Имеем: 5/-2 = –2,5; 10/2 = 5; 10/-4 = –2,5. Верхний предел можно увеличить на 2,5, нижний – уменьшить на 5. Таким образом, имеем:

20 – 5  c₃  20 + 2,5, или: 15  c₃  22,5.