1. Внутреннее умножение тензоров второго ранга

Двум тензорам второго ранга A = ab и B = cd поставим в соответствие тензор C по правилу

C = A·B = (ab)·(cd) = (b · c)ad.

(8)

Внутреннее умножение не коммутативно A·B ≠ B·A, т.к.

B·A = (cd)·(ab) = (d·a)cb.

(9)

Внутреннее умножение ассоциативно

(A·B)·C = A·(B·C) = A·B·C

и дистрибутивно

(A + B)·(C + D) = A·C + A·D + B·C + B·D.

2. Двойное внутреннее умножение тензоров второго ранга

Двум тензорам второго ранга A = ab и B = cd поставим в соответствие число α по правилу

α = A··B = (ab)··(cd) = (b · c)(a · d).

(10)

Двойное внутреннее умножение коммутативно

A··B = B··A

 

и дистрибутивно

(A + B)··(C + D) = A··C + A··D + B··C + B··D.

3. Транспонирование тензора

Тензору A = ab поставим в соответствие тензор, построенный по правилу

AT = (ab)T = ba.

(11)

4. Скалярное произведение тензоров

Двум тензорам второго ранга A = ab и B = cd поставим в соответствие число α по правилу

α(A, B) = A··BT = (ab)··(cd)T = (b · d)(a · c).

(12)

Важное свойство скалярного произведения, отличающее его от двойного внутреннего

A··AT = 0  =>  A = 0.

(13)

Скалярное произведение коммутативно α(A, B) = α(B, A) = B··A^T.

5. Скалярное умножение тензора на вектор справа (слева)

Поставив тензору A = ab и вектору c вектор по правилу

A · c = a(b · c) = ab · c,

(14)

мы получим произведение тензора на вектор справа. Если же используется правило

c · A = (c · a)b = c · ab,

(15)

то говорят, что задано произведение на вектор слева.

Важно:

A · c ≠ c · A,
A · c = c · AT.

Определение: тензор второго ранга 1 называется единичным, если для любого вектора x справедливо равенство

x · 1 = 1 · x = x,

(16)

Для любого тензора A справедливо тождество

A · 1 = 1 · A = A.

6. Векторное умножение тензора на вектор справа (слева)

Аналогично скалярному вводятся векторные произведения справа и слева

A × c = a(b × c) = ab × c,	(17)
c × A = (c × a)b = c × ab,	(18)

результатом является тензор второго ранга.

Полезные тождества

A × c = – [c × AT] T,
a × 1 × b = ba – (b · a)1.

7. След тензора второго ранга

Пусть тензор A есть совокупность диад

A = ab + … + cd

(19)

Следом тензора («tr» от trace, «Sp» от Spur – иногда можно встретить в немецкоязычной литературе) называется число, вычисляемое по правилу

tr A = Sp A = a · b + … + c · d.

(20)

Справедливы тождества trA = trA^T, tr(A·B) = tr(B·A) = A··B, tr(A·B) = tr(A^T·B^T).