Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Rotation_3D[1].doc
Скачиваний:
14
Добавлен:
16.11.2018
Размер:
251.9 Кб
Скачать

1. Внутреннее умножение тензоров второго ранга

Двум тензорам второго ранга ab и cd поставим в соответствие тензор C по правилу

C = A·B = (ab)·(cd) = (b · c)ad.

(8)

Внутреннее умножение не коммутативно A·≠ B·A, т.к.

B·A = (cd)·(ab) = (d·a)cb.

(9)

Внутреннее умножение ассоциативно

(A·BA·(B·C) = A·B·C

 

и дистрибутивно

(B)·(D) = A·A·B·B·D.

 

2. Двойное внутреннее умножение тензоров второго ранга

Двум тензорам второго ранга ab и cd поставим в соответствие число α по правилу

α = A··B = (ab)··(cd) = (b · c)(a · d).

(10)

Двойное внутреннее умножение коммутативно

A··B··A

 

 

и дистрибутивно

(B)··(D) = A··A··B··B··D.

 

3. Транспонирование тензора

Тензору ab поставим в соответствие тензор, построенный по правилу

AT = (ab)T = ba.

(11)

4. Скалярное произведение тензоров

Двум тензорам второго ранга ab и cd поставим в соответствие число α по правилу

α(A, B) = A··BT = (ab)··(cd)T = (b · d)(a · c).

(12)

Важное свойство скалярного произведения, отличающее его от двойного внутреннего

A··AT = 0  =>  A = 0.

(13)

Скалярное произведение коммутативно α(AB) = α(BA) = B··AT.

5. Скалярное умножение тензора на вектор справа (слева)

Поставив тензору ab и вектору c вектор по правилу

A · c = a(b · c) = ab · c,

(14)

мы получим произведение тензора на вектор справа. Если же используется правило

c · A = (c · a)b = c · ab,

(15)

то говорят, что задано произведение на вектор слева.

Важно:

· ≠ · A,

 

A · c = c · AT.

 

Определение: тензор второго ранга 1 называется единичным, если для любого вектора x справедливо равенство

x · 1 = 1 · x = x,

(16)

Для любого тензора A справедливо тождество

· · A.

 

6. Векторное умножение тензора на вектор справа (слева)

Аналогично скалярному вводятся векторные произведения справа и слева

A × c = a(b × c) = ab × c,

(17)

c × A = (c × a)b = c × ab,

(18)

результатом является тензор второго ранга.

Полезные тождества

× = – [× AT] T,

 

× × ba – (· a)1.

 

7. След тензора второго ранга

Пусть тензор A есть совокупность диад

A = ab + … + cd

(19)

Следом тензора («tr» от trace, «Sp» от Spur – иногда можно встретить в немецкоязычной литературе) называется число, вычисляемое по правилу

tr A = Sp A = a · b + … + c · d.

(20)

Справедливы тождества tr= trAT, tr(A·B) = tr(B·A) = A··B, tr(A·B) = tr(AT·BT).

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]