Основные операции над векторами

Выше было введено в рассмотрение множество направленных отрезков. Для математики и физики интерес представляют только такие множества, на которых удается ввести дополнительные структуры, а именно, законы композиции элементов множества, или по-другому операции над элементами множества. Для векторов вводятся четыре основных операции. Мы надеемся, что читатель имеет твердое представление об этих операциях. При этом для целей нашей статьи важна именно геометрическая трактовка оных. Напомним лишь кратко основные операции над векторами

1. Правило сложения векторов

Примем, что вектору c можно однозначно сопоставить пару векторов a и b по правилам параллелограмма или треугольника. Вектор c называется суммой векторов a и b

c = a + b

(1)

Можно доказать, что операция сложения векторов коммутативна

a + b = b + a,

и ассоциативна

(a + b) + c = a + (b + c).

2. Умножение вектора на скаляр

Примем, что любому скаляру α и любому вектору b можно однозначно сопоставить вектор a, который обозначается a = αb, такой, что справедливы утверждения

а) | a | = | α | | b|;

б) если α > 0, то направление a совпадает направлением b, если α < 0, то направление a противоположно направлению b.

Можно доказать справедливость соотношений

α(a + b) = αa + αb,

(α + β)a = αa + βa.

3. Скалярное произведение векторов

Примем, что каждой паре векторов a и b можно однозначно сопоставить скаляр α, который обозначается a · b и вычисляется по правилу

α ≡ a · b = | a | | b | cos θ,

(2)

где θ – угол между векторами a и b. Можно доказать, что скалярное произведение коммутативно

a · b = b · a.

и дистрибутивно

a · (b + c) = a · b + a · c.

Определение: два вектора a и b называются ортогональными, если их скалярное a · b произведение равно нулю.

4. Векторное произведение векторов

Первые три закона композиции имеют место как в ориентированной, так и не в ориентированной системе отсчета. Четвертый закон композиции имеет место только в ориентированной системе отсчета.

Векторное произведение введем в два этапа. Пусть дана упорядоченная пара векторов a и b, где a считается первым (левым) сомножителем, а вектор b – вторым (правым). Сопоставим векторам a и b спин-вектор c_*  такой, что

а) ось вектора c_* ортогональна плоскости, натянутой на векторы a и b;

б) круговая стрелка показывает направление кратчайшего поворота от вектора a к вектору b;

в) модуль спин-вектора c_* равен

| c* | = | a | | b | sin θ,

(3)

где θ – угол кратчайшего поворота от a к b.

Для спин-вектора c_* введем обозначение c_* = [a, b]. Сразу можно отметить, что c_* = [a, b] = –[a, b]. Теперь осталось спин-вектору c_* поставить в соответствие прямой вектор c. Это можно сделать двумя способами в зависимости от выбранной нами ориентации в системе отсчета. Если мы работаем в правоориентированной системе отсчета, то при взляде с конца вектора c поворот от a к b будет осуществляться против часовой стрелки. Если же мы работаем в левоориентированной системе отсчета, то при взляде с конца вектора c поворот от a к b будет осуществляться по часовой стрелке. Чтобы не вносить путаницу, условимся всегда работать в правоориентированной системе отсчета.

Свойства векторного произведения:

а) a × b = – b × a;

б) a × (b + c) = a × b + a × c – дистрибутивность;

в) (a × b) × c ≠ a × (b × c) – ассоциативности нет!

Полезные тождества:

а) (a × b) · c = (b × c) · a = (c × a) · b – циклическая перестановка векторов в смешанном произведении не меняет результат произведения;

б) a × (b × c) = b(a · c) – c(a · b) – правило «бац минус цаб».