Повороты в 3d Повороты в 3d. Тензоры, кватернионы и прочие "штучки"

«Тензорное исчисление является истинным языком, в основе которого лежат интуитивные (визуальные) образы, хорошо знакомые даже тем, кто никогда не слышал слов вектор или тензор.» П.А. Жилин

Эта статья открывает серию статей посвященных способам описания вращательного движения в трехмерном эвклидовом пространстве. Статья ориентирована на широкий круг читателей, желающих узнать простые, интуитивно понятные и в то же время одни из самых мощных математических средств задания пространственной ориентации абсолютно твердого тела. Для чтения статьи достаточно знаний по математике в объеме школьной программы (хотя в некоторых случаях понадобятся минимальные знания из линейной алгебры). Желательно, чтобы читатель имел устойчивое представление о том, что такое векторы и какие операции с ними можно производить. В статье не приводятся полные доказательства теорем, т.к. они достаточно громоздки, хотя и не трудны. Даются лишь необходимые для понимания пояснения. Также приводятся без доказательства ряд важных тождеств, доказательство которых вполне посильно проницательному читателю, что мы и рекомендуем проделать. Статья будет полезна в первую очередь людям, занимающимся программированием 3D графики.

В статье рассказывается о таких средствах как тензор поворота, вектор конечного поворота, кватернионы, а также показывается неразрывная связь между этими тремя объектами. В различных ситуациях удобнее пользоваться либо тем, либо другим средством. Но ни в коем случае нельзя впадать в крайность, предпочтя одно средство всем остальным. Мы в данной статье намеренно уклонились от описания координатного представления векторов и тензоров, дабы стимулировать читателя к чисто интуитивному восприятию данных объектов. Координатная форма будет дана в следующей статье, посвященной многим знакомым матрицам поворота. Причина этому следующая. Матрицы поворота являются лишь маскировкой, которая ничего, кроме неясности в трактовки не вносит. Попробуйте, например, попросить человека написать без шпаргалки матрицу поворота вокруг произвольной оси на произвольный угол. Тем, кому это под силу, нет нужды читать эту статью. Те же, кто прочитает эту и следующую нашу статью, научатся это делать в течение нескольких минут.

Пусть читатель не удивляется и простит автора за то, что статья написана от третьего лица, так как будто бы автор весь излагаемый материал сам придумал. Отнюдь нет. В хороших книгах, правда их немного, можно найти гораздо более качественное изложение. Просто автор считает, что статья, написанная в безличной форме, может отпугнуть впервые изучающего данный предмет, т.к. бесконечные фразы типа «в математике рассматривается…» и т.п. оставляют у читателя чувство неуверенности в полученных знаниях и необходимости обращения к дополнительной литературе, в которой подчас нет никакой надобности.

Из истории…

Развитие всей рациональной науки на протяжении столетий необходимо сопровождалось развитием, не всегда осознанным, тензорного языка, процесс становления которого был очень длительным и трудным. Например, понятие вектора было введено Саймоном Стевином (S. Stevin) в 1580 году, но первые учебники по механике, использующие векторный язык, появились только в начале XX века.

Тензоры второго ранга (тензор поворота, тензор инерции твердого тела) впервые были введены Леонардом Эйлером (Leonhard Euler) в 1758 году. Термин «тензор», однако, был введен лишь в 1900 году по предложению В. Фойгта (W. Voigt). Тем не менее, Л. Эйлер работал с этими объектами как с тензорами. Важно подчеркнуть, что Л. Эйлер на формальном уровне не владел многими стандартными ныне методами. Однако, по числу новых фундаментальных результатов ему нет равных в истории человечества, за исключением разве что Архимеда. В огромной степени это объясняется тем, что Л. Эйлер обладал совершенно феноменальной интуицией, т.е. способностью непосредственного визуального восприятия образов вводимых им объектов.