8. Векторный инвариант тензора второго ранга

Пусть тензор A есть совокупность диад

A = ab + … + cd.

(21)

Векторным инвариантом тензора называется вектор, вычисляемый по правилу

A × = a × b + … + c × d.

(22)

Полезное тождество (a × 1)_× = –2a.

Симметричные и антисимметричные тензоры

Определение: тензор второго ранга называется симметричным, если он удовлетворяет равенству

A = AT.

(23)

Примеры симметричных тензоров второго ранга:

aa , ab + ba, 1.

Определение: тензор второго ранга называется антисимметричным, если он удовлетворяет равенству

A = – AT.

(24)

Примером антисимметричного тензора является тензор ab – ba.

Теорема. Любой антисимметричный тензор представим в виде

A = a × 1 = 1 × a, A = – AT,

(25)

где вектор a называется сопутствующим вектором тензора A.

Полезное и важное тождество

a = – (1/2) A×.

Ортогональные тензоры. Тензор поворота

Важным классом тензоров второго ранга являются так называемые ортогональные тензоры.

 

Определение: тензор второго ранга Q называется ортогональным, если выполняется равенство

Q·QT = 1.

(26)

Легко показать, что линейное преобразование y = Q · x не меняет длин векторов, то есть | y | = | x |. Этот факт также может быть положен в основу определения ортогонального тензора. Из (26) следует, что тензор Q невырожден, т.к.

Q–1 = QT,

(27)

а транспонированный тензор существует всегда. Вычислим определитель Q

det 1 = det(Q·QT) = (det(Q))2 = 1  =>  detQ = ±1.

(28)

Таким образом, все множество ортогональных тензоров разбивается на два подмножества. Элементы множества тензоров, у которых detQ = +1, называются собственно ортогональными тензорами или тензорами поворота. Произвольный ортогональный тензор либо является тензором поворота, либо произведением тензора поворота на тензор инверсии (–1).

Как уже было сказано, тензор поворота не меняет длин векторов. А что происходит с углами? Пусть

a ′ = Q · a,   b ′ = Q · b.

(29)

Тогда

a ′ · b′ = a · QT·Q · b = a · b.

(30)

Т.е. при действии тензора поворота на два вектора углы между ними сохраняются. Почему же у истинного тензора поворота detQ = +1? Ответ таков, в этом случае происходит только поворот, в случае же detQ = –1 происходит поворот с отражением.

Одним из наиболее простых общих представлений тензора поворота является следующее. Возьмем произвольную ортонормированную тройку векторов d₁, d₂, d₃. При действии тензора Q они переходят также в ортонормированную тройку D₁, D₂, D₃:

Di = Q · di   =>   Didi = (Q · di)di = Q·(didi) = Q·1 = Q.

(31)

В формуле (31) использовано так называемое правило суммирования по Эйнштейну. Подразумевается суммирование от 1 до 3 по повторяющемуся индексу. Например,

didi = d1d1 + d2d2 + d3d3.

 

В (31) использовано общее представление единичного тензора d_id_i = 1. Чтобы объяснить, почему этот так нужно перейти от прямого тензорного представления к координатному. В этой статье мы этого не делаем, и надеемся, что читатель поверит нам на слово. Таким образом, достаточно общим представлением тензора поворота является

Q = Didi = D1d1 + D2d2 + D3d3.

(32)

Это представление понадобится нам при доказательстве теоремы Эйлера. А сейчас мы хотим обратить внимание на одно полезное тождество, справедливое для любого вектора a и тензора поворота Q

Q · (a × 1) · QT = (Q · a) × 1.

(33)