-
Этапы решения задач на компьютере.
Этапы решения задач на компьютере:
Содержательная постановка задачи
Формализованная модель задачи
Составление алгоритма решения задачи
Составление программы на языке
программирования
Анализ полученных результатов и
корректировка исследуемой модели
Содержательная постановка задачи – это формулировка задачи, излагаемая в терминах некоторой конкретной области науки, техники и т.д. Суть этого этапа в том, что здесь четко формулируется : что дано? что найти? как найти?. Выделяются исходные данные и результаты.
Формализованная (математическая) модель задачи – это формулировка задачи, как задачи некоторого раздела математики. Фактически рассматриваются те же вопросы, что и в содержательной постановке задачи, но сформулированные на языке математики. Переход к математической задаче дает возможность подобрать и применить для ее решения методы, разработанные математикой.
Составление алгоритма решения задачи – данный этап, а так же два последующие будут рассмотрены в следующих разделах.
-
Исследование моделей.
Исследование математических моделей. Исследование математических моделей начинается с записи формальной модели на языке определенной области математики : алгебры, геометрии и т.д.
Приближенное решение уравнений. На языке алгебры формальные модели записываются с помощью уравнений, точное решение которых основывается на поиске равносильных преобразований алгебраических выражений, позволяющих выразить переменную величину с помощью формулы. Точные решения существуют только для некоторых уравнений, поэтому для большинства уравнений приходится использовать методы приближенного решения с заданной точностью (графические, числовые и др.).
Графический метод. Построение графиков функций может использоваться для грубо приближенного решения уравнений. Рассмотрим уравнение вида:
,
где
-
некоторые непрерывные функции, корень
(или корни) уравнения являются точкой
пересечения (или точками) графиков этих
функций.
Задача. Найти графическим методом
корень уравнения
.
Формальная модель задачи задана уравнением. Решать задачу будем с использованием средств MS Excel.
Исследование биологических моделей. В биологии при исследовании развития биосистем строятся динамические модели изменения численности популяций различных живых существ (бактерий, рыб и т.д.) с учетом различных факторов. Взаимовлияние популяций рассматривается в моделях типа «хищник – жертва».
Модель неограниченного роста. Это простейшая модель в которой численность популяции ежегодно увеличивается на определенный процент. Математическую модель можно записать с помощью формулы:
,
где
- численность популяции следующего года
и текущего года, а- коэффициент
роста.
Модель ограниченного роста. В данной модели учитывается эффект перенаселенности, связанный с нехваткой питания, болезнями и т.д., который замедляет рост популяции с увеличением ее численности. Математическую модель можно записать с помощью формулы:
,
где
b- коэффициент перенаселенности (b<a) .
Модель «хищник-жертва». Популяции
обычно существуют не изолированно, а
во взаимодействии с другими популяциями.
Наиболее важным типом является
взаимодействие между жертвами и хищниками
( караси – щуки, зайцы – волки и т.д.). В
модели хищник-жертва количество жертв
и количество хищников
связаны
между собой. Формула для расчета
численности жертв принимает вид:
,
где
f- коэффициент, который характеризует возможность гибели жертвы при встрече с хищником,
с- величина ежегодного отлова жертв.
Численность популяции хищников в отсутствии жертв ( в связи с отсутствием пищи) уменьшается , что можно описать рекурретной формулой:
,
где
d<1 - характеризует скорость уменьшения численности популяции хищников.
Численность популяции хищников при наличие жертв (пищи) описывается формулой :
,
где
е – коэффициент, характеризующий величину роста численности хищников за счет жертв.
Задания для самостоятельного выполнения.
Для приведенных задач выполнить математическую постановку:
-
Даны сведения о количестве осадков, выпавших в каждый день месяца. Определить общее количество осадков за месяц
-
Вычислить площадь треугольника по заданным сторонам а, в, с.
-
Определить средний рост учеников одного класса, если задан рост каждого ученика.
-
Вычислить объем шара, если известен его радиус R.
-
Какие существуют варианты размена купюры достоинством N руб. купюрами 100, 200, 500 рублей?
-
Выполнить начисление зарплаты согласно следующему правилу:
- если стаж работы сотрудника менее 5 лет, зарплата начисляется в размере 15 тыс. руб.;
- при стаже работы от 5 до 15 лет - 20 тыс. руб.;
- при стаже свыше 15 лет зарплата повышается с каждым годом на 2тыс. руб.