Раздел II. Системы счисления. Кодирование информации.

1. Системы счисления.

Современному человеку буквально на каждом шагу приходится иметь дело с числами. Поэтому мы должны уметь правильно называть и записывать любое число. Помогает нам в этом система счисления.

! Система счисления – это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами.

Системы счисления

Позиционные Непозиционные

В позиционных системах счисления значение каждой цифры зависит от ее места, позиции в числе.

Тот способ записи чисел, который используется повсеместно, называется десятичной системой счисления. Кроме десятичной системы счисления , распространенными так же являются двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная . Каждая позиционная система имеет определенный алфавит цифр и основание.

! В позиционных системах счисления основание системы – это количество цифр(знаков в алфавите), используемых для записи числа.

Рассмотрим в качестве примера десятичную систему счисления. В данной системе для записи чисел используется десять знаков (цифр ): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Позиция цифры в числе называется разрядом. Основанием системы является число 10. Пусть дано число 326, оно записано в привычной для нас свернутой форме. Мы настолько привыкли к такой форме записи, что уже не замечаем, как в уме умножаем цифры числа на различные степени числа 10.

В развернутой форме записи числа такое умножение записывается в явной форме:

.

Дадим определение записи числа х в десятичной системе счисления.

! Десятичной записью числа х называется его представления в виде

,

где коэффициенты принимают значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и .

! В непозиционных системах счисления значение каждой цифры не зависит от ее положения (позиции) в записи числа.

2. Запись числа в позиционных системах счисления.

Основанием системы счисления может быть любое натуральное число р, большее или равное 2. Если р=2, то система называется двоичной, если р=3 – троичная и т.д.

Как записать число в системе с основанием р?

! Записью натурального числа х в системе счисления с основанием р называется его представление в виде

(1)

где коэффициенты принимают значения 0, 1, 2, 3, …, р-1 и .

Двоичная система счисления. В двоичной системе счисления основание равно 2, а алфавит состоит из двух цифр ( 0 и 1). Запись числа х в двоичной системе счисления имеет вид:

Коэффициенты в это записи являются цифрами 0 или 1.

Например, .

Троичная система счисления. В троичной системе счисления основание равно 3, а алфавит состоит из трех цифр ( 0, 1 и 2). Запись числа х в троичной системе счисления имеет вид:

Например, .

3. Перевод чисел в позиционных системах счисления.

Перевод чисел в десятичную систему счисления. Преобразование чисел, представленных в двоичной, троичной, восьмеричной системах счисления в десятичную выполнить очень легко. Для этого необходимо записать число в развернутой форме, используя формулу (1), и вычислить его значение.

Примеры.

1. Число (101011)₂ записать в десятичной системе счисления. Запишем его в развернутой форме и произведем вычисления:

.

2. Число (10201)₃ записать в десятичной системе счисления. Запишем его в развернутой форме и произведем вычисления:

.

3. Число (112067)₈ записать в десятичной системе счисления. Запишем его в развернутой форме и произведем вычисления:

.

Перевод чисел из десятичной системы счисления в систему счисления с основанием р. Пусть х – целое десятичное число. Запишем алгоритм перевода целого десятичного числа в двоичное:

1. Разделить исходное число на 2, получится остаток и частное.

2. Частное опять делим на 2, получаем остаток и частное и до те пор, пока не получим частное меньшее 2.

3. Записываем последнее частное и все остатки в обратном порядке, эта запись будет являться двоичной записью числа х.

В качестве примера рассмотрим перевод десятичного числа 19 в двоичную систему счисления, запишем результаты в таблицу:

Десятичное число (частное)	Делитель (основание системы)	Остаток	Цифры двоичного числа
19	2	1
9	2	1
4	2	0
2	2	0
1	2	1

В результате получаем .

Аналогично делается перевод десятичного числа в систему счисления с основанием р.