14. Определение макроэкономической производственной функции. Виды и свойства макроэкономических производственных функций.

Производственная функция - это регрессивная модель, показывающая связь между количеством производимой продукции и количеством используемых ресурсов. Оценки параметров производственных функций рассчитывают на основе статистической информации. Эта информация представляет собой результаты единовременного наблюдения за множеством однородных объектов или результаты наблюдения за одним и тем же объектом в разные периоды времени. Степенные производственные функции были предложены в двадцатых годах нашего столетия К. Коббом и П. Дугласом для описания связи между объемом общественного продукта и двумя важнейшими ресурсами - трудовыми ресурсами и основными производственными фондами. В настоящее время степенные производственные функции используются для моделирования широкого класса экономических систем.Функция, предложенная американцами Коббом и Дугласом, исследует зависимость величины созданного общественного продукта от двух важнейших факторов: совокупных затрат живого труда (в материальном производстве) и суммарного объема применяемых производственных фондов.

15. Производственная функция Кобба-Дугласа. Основные свойства и характеристики производственных факторов функции Кобба-Дугласа.

Производственная функция Кобба-Дугласа устанавливает зависимость величины созданного общественного продукта от совокупных затрат живого труда и суммарного объема применяемых производственных фондов .

Она имеет следующий вид:

, (1)

где - коэффициент, учитывающий влияние факторов, не вошедших в это уравнение, их конкретные числовые значения определяются на основе статистических данных с помощью корреляционных методов, соблюдаются условия .

Хотя каждый из коэффициентов меньше 1, их сумма может быть меньше, равна или больше 1. Эта сумма показывает эффект одновременного пропорционального увеличения объема как ресурсов труда, так и производственных фондов.

Обозначим и увеличим количество затрачиваемых ресурсов в раз.

где - новое значение объема производства.

Если =1, то увеличение ресурсов в m раз приводит к увеличению объема производства также в m раз. Экономически это отвечает предположению, что удвоение числа предприятий какой-либо отрасли приводит к удвоению выпускаемой отраслью продукции.

Если , то увеличение ресурсов опережает увеличение выпуска, т.е. имеем отрицательный эффект расширения производства. Если , то увеличение выпуска опережает увеличение роста ресурсов. Можно говорить о положительном эффекте расширения производства. Каждый из ресурсов характеризуется средней и предельной величиной. Разделив обе части уравнения на , мы получаем среднюю производительность труда:

. (2)

Средняя производительность труда показывает, сколько единиц выпускаемой продукции приходится на единицу затрачиваемого труда.

Поскольку коэффициент больше 0 и меньше 1, показатель степени -1 является отрицательной величиной, следовательно, с увеличением затрат труда средняя производительность труда снижается. Однако в реальном производстве дополнительно привлекаемая рабочая сила обеспечивается и дополнительными средствами производства, т. е. производительность труда снижается с ростом трудовых затрат при прочих равных условиях.

В анализе производственных функций наряду со средними показателями существенную роль играют предельные величины.

Предельная производительность труда показывает, сколько дополнительных единиц продукции приносит дополнительная единица затраченного труда.

.

Продифференцируем второй раз

. (3)

Так как , а все остальные множители в правой части (9.3) положительны, то

.

Вторая производная отрицательна, следовательно, предельная производительность с ростом уменьшается.

Сравнивая формулы (2) и (3), получаем

. (4)

Поскольку 0 < < 1, можно сделать вывод, что для производственной функции Кобба - Дугласа предельная производительность труда всегда ниже средней производительности.

Наряду с вычислением абсолютного прироста продукции на единицу прироста затрат можно определить показатель, характеризующий относительный прирост объема производства на единицу относительного увеличения ресурсов труда. Пользуясь выражением (4), получаем:

.

Полученный показатель называется эластичностью выпуска продукции по затратам труда.

Эластичность выпуска показывает, на сколько процентов увеличивается выпуск при увеличении затрат труда на 1%. Предельная производительность от объемов ресурсов не зависит, и при любом их сочетании увеличение трудовых затрат на 1% приводит к росту объема производства на %.

Аналогичные показатели можно рассчитать по отношению ко второму фактору функции (1) - производственным фондам. Объем продукции в расчете на единицу используемых производственных фондов называется фондоотдачей. Можно рассчитать среднюю и предельную фондоотдачу. Из формулы (1) получаем

.

Показатель предельной фондоотдачи определяется как частная производная выпуска продукции по объему фондов:

.

Предельная фондоотдача отличается от средней лишь сомножителем . Поскольку положительный коэффициент меньше единицы, предельная фондоотдача в производственной функции (1) всегда ниже средней.

Относительная предельная фондоотдача, или эластичность выпуска продукции по объему производственных фондов, определяется выражением

.Как и по отношению к затратам труда, эластичность выпуска по фондам есть величина постоянная, равная коэффициенту регрессии .

Производственная функция позволяет рассчитать потребность в одном из ресурсов при заданных объеме производства и величине другого ресурса. Из уравнения (1) следует, что потребность в ресурсах труда равна

. (5)

Если заданы ресурсы труда и объем продукции, то потребность в производственных фондах составляет

.

До сих пор определялись показатели, каждый из которых относился к одному из ресурсов. Производственная функция позволяет исследовать и вопросы соотношения, замещения, взаимодействия ресурсов. В частности, в экономике при изучении взаимодействия трудовых ресурсов и производственных фондов определяется важный показатель - фондовооруженность труда. Для функции вида (9.1) фондовооруженность труда представляет собой, очевидно, отношение переменных x₂ и x₁. Разделив выражение

на и произведя несложные преобразования, получим

. (6)

Взаимодействующие в рамках производственной функции ресурсы могут в известном смысле замещать друг друга. Это означает, что единицу одного ресурса можно заменить некоторым количеством другого ресурса так, что объем продукции при этом останется прежним. Скажем, при определенной структуре производства добавление 1 чел.-ч труда дает такой же прирост продукции, как и увеличение на 2 р. производственных фондов. На основе производственной функции можно рассчитать предельную норму замещения ресурсов. Так, предельная норма замещения затрат труда производственными фондами для функции вида (1) равна:

(7)

.

Знак минус показывает, что с увеличением одного ресурса объем второго ресурса должен быть снижаем. Левая часть выражения (7) по абсолютной величине равняется частному от деления предельной производительности труда на предельную фондоотдачу. Это и понятно: если предельный продукт в расчете на единицу одного фактора, скажем, вдвое больше предельного продукта на единицу другого фактора, то и предельная норма замещения первого фактора вторым равна 2. Знак минус в выражении означает, что при фиксированном объеме производства увеличение одного ресурса соответствует уменьшению другого, и наоборот. Как видим, предельная норма замещения ресурсов для функции (1) зависит не только от параметров функции (коэффициентов и ), но и от соотношения объемов ресурсов. Чем выше фондовооруженность труда, тем выше и норма замещения затрат живого труда производственными фондами. Очевидно, что если фондовооруженность труда возрастет, скажем, в 1,5 раза, то в 1,5 раза увеличится и предельная норма замещения. Это обстоятельство находит свое выражение в особом показателе, который называется эластичностью замещения ресурсов и определяется в данном случае как отношение относительных приращений фондовооруженности труда и предельной нормы замещения ресурсов. Обозначив

,

получим выражение для эластичности замещения ресурсов:

.

Эластичность замещения ресурсов для функции вида (1) постоянна и равна единице (вывод здесь опущен); это вполне согласуется с анализом выражения (7): изменению фондовооруженности труда на 1% соответствует изменение предельной нормы замещения тоже на 1%.

16. Понятие интенсивности производственного процесса, применяемое в макроэкономической модели сбалансированного экономического роста Неймана, и «луча Неймана».

Основные переменные и система уравнений и неравенств макроэкономической модели сбалансированного экономического роста Неймана.

Интенсивностью производственного процесса j называется объем продуктов, выпускаемых этим процессом за единицу времени. Уровень интенсивности j-го процесса в момент времени t обозначим через (). Заметим, что является вектором, число компонент которого соответствует числу выпускаемых j-ым процессом видов товаров и .

Классическая (исходная) модель Неймана строится при следующих предпосылках:

- экономика, характеризуемая линейной технологией, состоит из отраслей, каждая из которых обладает конечным числом производственных процессов, т.е. выпускается несколько видов товаров, причем допускается совместная деятельность отраслей; - производственные процессы разворачиваются во времени, причем осуществление затрат и выпуск готовой продукции разделены временным лагом; - для производства в данный период можно тратить только те продукты, которые были произведены в предыдущем периоде времени, первичные факторы не участвуют; - спрос населения на товары и, соответственно, конечное потребление в явном виде не выделяются; - цены товаров изменяются во времени. Перейдем к описанию модели Неймана. На дискретном временном интервале с точками рассматривается производство, в котором n видов затрат с помощью m технологических процессов превращаются в n видов продукции. Мы не будем указывать число отраслей, так как в дальнейшем не понадобится подчеркивать принадлежность товаров или технологий к конкретным отраслям. В модели Леонтьева технологические коэффициенты были отнесены к единице продукта. В модели Неймана, принимая в качестве производственных единиц не отрасли, а технологические процессы, удобно отнести эти коэффициенты к интенсивности производственных процессов. Интенсивностью производственного процесса j называется объем продуктов, выпускаемых этим процессом за единицу времени. Уровень интенсивности j-го процесса в момент времени t обозначим через (). Заметим, что является вектором, число компонент которого соответствует числу выпускаемых j-ым процессом видов товаров и . Предположим, что функционирование j-го процесса () с единичной интенсивностью требует затрат продуктов в количестве и дает выпуск товаров в количестве

Введем обозначения . Пара характеризует технологический потенциал, заложенный в j-ом процессе (его функционирование с единичной интенсивностью). Поэтому пару можно назвать базисом j-го производственного процесса, имея в виду, что для любой интенсивности соответствующую пару затраты-выпуск можно выразить как . Поэтому последовательность пар

представляющих собой затраты и выпуски всех производственных процессов в условиях их функционирования с единичными интенсивностями, будем называть базисными процессами. Все m базисных процессов описываются двумя матрицами

где A- матрица затрат, B- матрица выпуска. Вектор называется вектором интенсивностей. Соответствующие этому вектору затраты и выпуски по всем m процессам можно получить как линейную комбинацию базисных процессов (6.4.1) с коэффициентами :

Говорят, что в производственном процессе базисные процессы (6.4.1) участвуют с интенсивностями . Как видно из (6.4.2) , неймановская технология, описываемая двумя матрицами A и B единичных уровней затрат и выпуска, является линейной (см. предпосылку 1) в начале параграфа). Рассматривая все допустимые "смеси" базисных процессов, получаем расширенное множество производственных процессов

которое и отражает допустимость совместной деятельности отраслей. Возможность совместного производства нескольких продуктов в одном процессе следует из того, что в каждом процессе j может быть отличной от нуля более чем одна из величин . Множество (6.4.3) представляет собой неймановскую технологию в статике (в момент t ). Если в матрице A положить n=m, матрицу B отождествить с единичной матрицей, а интерпретировать как вектор валового выпуска, то (6.4.2) превращается в леонтьевскую технологию.

Продолжим описание модели Неймана. Согласно предпосылок 2) и 3), затраты в момент t не могут превышать выпуска , соответствующего предыдущему моменту t-1 (рис. 6.3).

Поэтому должны выполняться условия:

где - вектор запаса товаров к началу планируемого периода.

Обозначим через , вектор цен товаров. Неравенство (6.4.4) можно трактовать как непревышение спроса над предложением в момент t. Поэтому в стоимостном выражении (в ценах момента t) должно быть (см. Определение 5.2 равновесия):

По предположению 5) прибыль базисного процесса на отрезке [t-1,T] равна величине , т.е. затраты осуществляются по цене начала периода, а готовая продукция - по цене момента ее реализации. Таким образом, издержки по всем базисным процессам можно записать как , а выручку - как (рис. 6.4).

Будем говорить, что базисные процессы неубыточны, если , неприбыльны - если

В модели Неймана предполагается неприбыльность базисных процессов. Это объясняется тем, что издержки и выручки разведены во времени, т.е. относятся к разным моментам времени, и в условиях расширяющейся экономики "характерен случай падения цен ()", т.е. покупательская способность денег в момент t будет выше, чем в момент t-1. С таким обоснованием можно согласиться или не согласиться. Главная же причина неприбыльности базисных процессов заложена в определении экономического равновесия. Поясним это чуть подробнее.

Основной предмет исследования Дж. фон Неймана - это возможность существования равновесия в рассматриваемой им динамической модели экономики при заданных в каждый момент ценах. Как следует из определения 5.2, при равновесии в условиях совершенной конкуренции имеет место стоимостной баланс (см. (5.3.8)). Таким образом, в условиях равновесия не создается никакой прибыли, и неравенство (6.4.6) является отражением этого факта. Поэтому, если в (6.4.6) для некоторого базисного процесса j имеет место строгое неравенство, т.е. предложение превышает спрос:

то должно быть . Иначе говоря, отсутствие "отрицательной прибыли" обеспечивается нулевой интенсивностью. Отсюда получаем

Описание модели Неймана завершено. Совокупность неравенств и уравнений (6.4.4) -(6.4.7) :

где и - матрицы затрат и выпуска соответственно, называется (динамической) моделью Неймана.

Определение 6.2. Говорят, что в экономике наблюдается сбалансированный рост производства, если существует такое постоянное число , что для всех m производственных процессов

Постоянное число называется темпом сбалансированного роста производства. Содержательно (6.4.9) означает, что все уровни интенсивности возрастают одинаковыми темпами

Раскрывая рекуррентно правую часть (6.4.9), получаем

где - интенсивность процесса j , установившаяся к началу планового периода. Заметим, что t в правой части (6.4.10) является показателем степени, а в левой - индексом.

В случае сбалансированного роста производства, с учетом постоянства темпа роста, последовательность называется стационарной траекторией производства.

Говорят, что в экономике наблюдается сбалансированное снижение цен, если существует такое постоянное число , что для всех n товаров

Постоянное число называется нормой процента.

Содержательно (6.4.11) означает, что цены на все товары снижаются одинаковыми темпами

Название "норма процента" для темпа снижения принято по ассоциации с показателем нормы процента (нормы доходности) в формуле сложного процента , где R₀ - сумма начального вложения, R_n - получаемая через n периодов конечная сумма, - норма процента. Так как в определении 6.3 речь идет о снижении, то "норма процента" в (6.4.11) входит с отрицательным знаком ().

Из равенства (6.4.10) получаем

где - цены, установившиеся к началу планового периода.

В случае сбалансированного снижения цен последовательность называется стационарной траекторией цен.

Подставляя (6.4.10) и (6.4.12) в модель Неймана (6.4.8), получаем ее "стационарную" форму:

Эта система соотношений показывает, что по стационарным траекториям y и p экономика развивается согласно неизменному динамическому закону. Поэтому такую ситуацию естественно назвать равновесной. Четверка , где y - стационарная траектория производства, p- стационарная траектория цен, а и - соответствующие им темп сбалансированного роста производства и норма процента (темп сбалансированного снижения цен), называется состоянием (динамического) равновесия в модели Неймана (6.4.8).

Сделаем следующие предположения:

а) в) для каждого j существует хотя бы одно i , такое что ; г) для каждого i существует хотя бы одно j , такое что ; д) для каждого t .

Если выполнены условия а)-д), то в модели Неймана (6.4.8) существует состояние равновесия. Условия в) и г) говорят о наличии в каждом столбце матрицы A и каждой строке матрицы B по крайней мере одного положительного элемента. Содержательно это означает, что среди всех производственных процессов нет таких, которые ничего не тратят, и каждый из n видов продуктов действительно производится. Условие д) имеет чисто техническое предназначение. Определение 6.5. Число

называется максимальным темпом сбалансированного роста, а число

называется минимальной нормой процента.

Оказывается, что в состоянии равновесия числа и существуют и равны между собой:

если только начальные точки y⁰ и p⁰ также удовлетворяют этому равенству.

Траектория производства , удовлетворяющая условиям (6.4.13) при и и соответствующая максимальному сбалансированному росту, т.е. , называется траекторией равновесного роста (или траекторией Неймана, или магистралью). Поскольку эту траекторию можно представить в виде , где , то ее еще называют лучом Неймана а цены (6.4.12), соответствующие минимальной норме процента , называют неймановскими ценами .

Классическая (исходная) модель Неймана строится при следующих предпосылках:

1. экономика, характеризуемая линейной технологией, состоит из отраслей, каждая из которых обладает конечным числом производственных процессов, т.е. выпускается несколько видов товаров, причем допускается совместная деятельность отраслей;

2. производственные процессы разворачиваются во времени, причем осуществление затрат и выпуск готовой продукции разделены временным лагом;

3. для производства в данный период можно тратить только те продукты, которые были произведены в предыдущем периоде времени, первичные факторы не участвуют;

4. спрос населения на товары и, соответственно, конечное потребление в явном виде не выделяются;

5. цены товаров изменяются во времени.

Перейдем к описанию модели Неймана. На дискретном временном интервале  с точками  рассматривается производство, в котором n видов затрат с помощью m технологических процессов превращаются в n видов продукции. Мы не будем указывать число отраслей, так как в дальнейшем не понадобится подчеркивать принадлежность товаров или технологий к конкретным отраслям. В модели Леонтьева технологические коэффициенты были отнесены к единице продукта. В модели Неймана, принимая в качестве производственных единиц не отрасли, а технологические процессы, удобно отнести эти коэффициенты к интенсивности производственных процессов.

Интенсивностью производственного процесса j называется объем продуктов, выпускаемых этим процессом за единицу времени. Уровень интенсивности j-го процесса в момент времени t обозначим через  (). Заметим, что  является вектором, число компонент которого соответствует числу выпускаемых j-ым процессом видов товаров и . Предположим, что функционирование j-го процесса () с единичной интенсивностью требует затрат продуктов в количестве и дает выпуск товаров в количестве

Введем обозначения  . Пара  характеризует технологический потенциал, заложенный в j-ом процессе (его функционирование с единичной интенсивностью). Поэтому пару  можно назвать базисом j-го производственного процесса, имея в виду, что для любой интенсивности  соответствующую пару затраты-выпуск можно выразить как  . Поэтому последовательность пар

представляющих собой затраты и выпуски всех производственных процессов в условиях их функционирования с единичными интенсивностями, будем называть базисными процессами.

Все m базисных процессов описываются двумя матрицами

где A- матрица затрат, B- матрица выпуска. Вектор  называется вектором интенсивностей. Соответствующие этому вектору затраты и выпуски по всем m процессам можно получить как линейную комбинацию базисных процессов (6.4.1) с коэффициентами  :

Говорят, что в производственном процессе  базисные процессы (6.4.1) участвуют с интенсивностями  . Как видно из(6.4.2) , неймановская технология, описываемая двумя матрицами A и B единичных уровней затрат и выпуска, является линейной (см.предпосылку 1) в начале параграфа). Рассматривая все допустимые "смеси" базисных процессов, получаем расширенное множество производственных процессов

которое и отражает допустимость совместной деятельности отраслей. Возможность совместного производства нескольких продуктов в одном процессе следует из того, что в каждом процессе j может быть отличной от нуля более чем одна из величин . Множество (6.4.3) представляет собой неймановскую технологию в статике (в момент t ). Если в матрице A положить n=m, матрицу B отождествить с единичной матрицей, а  интерпретировать как вектор валового выпуска, то (6.4.2) превращается в леонтьевскую технологию.

Продолжим описание модели Неймана. Согласно предпосылок 2) и 3), затраты  в момент t не могут превышать выпуска , соответствующего предыдущему моменту t-1 (рис. 6.3).

Поэтому должны выполняться условия:

где  - вектор запаса товаров к началу планируемого периода.

Обозначим через , вектор цен товаров. Неравенство (6.4.4) можно трактовать как непревышение спроса над предложением в момент t. Поэтому в стоимостном выражении (в ценах момента t) должно быть (см. Определение 5.2 равновесия):

По предположению 5) прибыль базисного процесса  на отрезке [t-1,T] равна величине , т.е. затраты осуществляются по цене начала периода, а готовая продукция - по цене момента ее реализации. Таким образом, издержки по всем базисным процессам можно записать как , а выручку - как  (рис. 6.4).

Будем говорить, что базисные процессы неубыточны, если , неприбыльны - если

В модели Неймана предполагается неприбыльность базисных процессов. Это объясняется тем, что издержки и выручки разведены во времени, т.е. относятся к разным моментам времени, и в условиях расширяющейся экономики "характерен случай падения цен ()", т.е. покупательская способность денег в момент t будет выше, чем в момент t-1. С таким обоснованием можно согласиться или не согласиться. Главная же причина неприбыльности базисных процессов заложена в определении экономического равновесия. Поясним это чуть подробнее.

Основной предмет исследования Дж. фон Неймана - это возможность существования равновесия в рассматриваемой им динамической модели экономики при заданных в каждый момент ценах. Как следует из определения 5.2, при равновесии в условиях совершенной конкуренции имеет место стоимостной баланс (см. (5.3.8)). Таким образом, в условиях равновесия не создается никакой прибыли, и неравенство (6.4.6) является отражением этого факта. Поэтому, если в (6.4.6) для некоторого базисного процесса j имеет место строгое неравенство, т.е. предложение превышает спрос:

то должно быть . Иначе говоря, отсутствие "отрицательной прибыли" обеспечивается нулевой интенсивностью. Отсюда получаем

Описание модели Неймана завершено. Совокупность неравенств и уравнений (6.4.4) -(6.4.7) :

где  и  - матрицы затрат и выпуска соответственно, называется (динамической) моделью Неймана.

Говорят, что в экономике наблюдается сбалансированный рост производства, если существует такое постоянное число , что для всех m производственных процессов

Постоянное число  называется темпом сбалансированного роста производства.

Содержательно (6.4.9) означает, что все уровни интенсивности возрастают одинаковыми темпами

Раскрывая рекуррентно правую часть (6.4.9), получаем

где  - интенсивность процесса j , установившаяся к началу планового периода. Заметим, что t в правой части (6.4.10) является показателем степени, а в левой - индексом.

В случае сбалансированного роста производства, с учетом постоянства темпа роста, последовательность  называется стационарной траекторией производства.

Говорят, что в экономике наблюдается сбалансированное снижение цен, если существует такое постоянное число , что для всех n товаров

Постоянное число  называется нормой процента.

Содержательно (6.4.11) означает, что цены на все товары снижаются одинаковыми темпами

Название "норма процента" для темпа снижения  принято по ассоциации с показателем нормы процента (нормы доходности) в формуле сложного процента  , где R₀ - сумма начального вложения, R_n - получаемая через n периодов конечная сумма, - норма процента. Так как в определении 6.3 речь идет о снижении, то "норма процента" в (6.4.11) входит с отрицательным знаком ().

Из равенства (6.4.10) получаем

где - цены, установившиеся к началу планового периода.

В случае сбалансированного снижения цен последовательность  называется стационарной траекторией цен.

Подставляя (6.4.10) и (6.4.12) в модель Неймана (6.4.8), получаем ее "стационарную" форму:

Эта система соотношений показывает, что по стационарным траекториям y и p экономика развивается согласно неизменному динамическому закону. Поэтому такую ситуацию естественно назвать равновесной.

Четверка , где y - стационарная траектория производства, p- стационарная траектория цен, а  и  - соответствующие им темп сбалансированного роста производства и норма процента (темп сбалансированного снижения цен), называется состоянием (динамического) равновесия в модели Неймана (6.4.8).

Сделаем следующие предположения:

а)   в) для каждого j существует хотя бы одно i , такое что  ;  г) для каждого i существует хотя бы одно j , такое что ;  д) для каждого t  .

Если выполнены условия а)-д), то в модели Неймана (6.4.8) существует состояние равновесия.

Условия в) и г) говорят о наличии в каждом столбце матрицы A и каждой строке матрицы B по крайней мере одного положительного элемента. Содержательно это означает, что среди всех производственных процессов нет таких, которые ничего не тратят, и каждый из n видов продуктов действительно производится. Условие д) имеет чисто техническое предназначение.

Числоназывается  максимальным темпом сбалансированного роста, а число

называется минимальной нормой процента.

Оказывается, что в состоянии равновесия числа  и  существуют и равны между собой:

если только начальные точки y⁰ и p⁰ также удовлетворяют этому равенству.

Траектория производства , удовлетворяющая условиям (6.4.13) при  и  и соответствующая максимальному сбалансированному росту, т.е. , называется траекторией равновесного роста (или траекторией Неймана, или магистралью). Поскольку эту траекторию можно представить в виде  , где , то ее еще называют лучом Неймана а цены (6.4.12), соответствующие минимальной норме процента , называют неймановскими ценами .