Моделирование экономических процессов и систем (макроуровень)

12. Определение макроэкономической математической модели и характеристика основных видов её элементов. Особенности применения метода математического моделирования в макроэкономике.

МАКРОЭКОНОМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ — экономико-математическая модель, отражающая функционирование народного хозяйства как единого целого. Макромодели оперируют крупноагрегированными, как правило, стоимостными показателями — агрегатами (напр., валовой национальный продукт, валовые капиталовложения и др.).

Экономико-математическая модель - математическая модель связи экономических характеристик и параметров системы.

Экономико-математическая модель описывает экономические процессы, объекты и связи с использованием математического аппарата.

Экономико-математические модели подразделяются на: статистические, балансовые и оптимизационные.

Статистические модели – это модели, в которых описываются корреляционно-регрессионые зависимости результата производства от одного или нескольких независимых факторов. Эти модели широко используются для построения производственных функций, а также при анализе экономических систем.

Балансовые модели представляют систему балансов производства и распределения продукции и записываются в форме шахматных квадратных матриц. Балансовые модели служат для установления пропорций и взаимосвязей при планировании различных отраслей народного хозяйства.

Оптимизационные модели представляют систему математических уравнений, линейных или нелинейных, подчиненных определенной целевой функции и служащих для отыскания наилучших (оптимальных) решений конкретной экономической задачи. Эти модели, в отличие от статистических и балансовых, относятся к классу экстремальных задач и описывают условия функционирования экономической системы.

По признаку размерности модели классифицируются на макромодели, локальные модели и микромодели. Макроэкономические модели строятся для изучения народного хозяйства республики в целом на базе укрупненных показателей. Цель таких моделей состоит в разработке более обоснованных перспективных планов народнохозяйственного развития на основе познания важнейших экономических пропорций и соотношений, темпов роста производства и уровней потребления, рациональной отраслевой структуры.

Макромодели в зависимости от принятых уровней детализации подразделяются на: односекторные, двухсекторные и многосекторные. В двухсекторной модели выделяется группа производства средств производства и группа производства предметов потребления. Однако двухсекторные модели в силу весовой агрегированности показателей не позволяют непосредственно решать задачи, которые возникают в процессе планирования.

Более полная информация о механизме взаимосвязей в народном хозяйстве представляется многосекторными моделями, в которых сфера материального производства представляется состоящей из десятков, а порой и сотен самостоятельных отраслей.

В основе всех экономических макромоделей лежит уравнение баланса

X - F(Х) - W = Z,

где X - совокупный общественный продукт;

F(Х) - производственная функция (прямые затраты), показывающая долю совокупного общественного продукта, необходимую для его производства;

W - доля совокупного общественного продукта, идущая на потребление;

Z - доля совокупного общественного продукта, идущая на накопление.

Макромодели могут разрабатываться и для отдельных отраслей народного хозяйства, например, тракторостроения, машиностроения на ближайшую перспективу.

К локальным экономическим моделям можно отнести также модели, с помощью которых анализируются и прогнозируются некоторые показатели развития отрасли. Например, модель прогноза научно-технического прогресса, модель прогноза производительности труда и т. д.

Микромодели на предприятиях разрабатываются для углубленного анализа структуры производства. Они позволяют выявить резервы роста объемов производства продукции. При построении микромоделей широко используются методы математической статистики — корреляционный и регрессионный, индексный и выборочный методы.

Оптимизационные модели могут носить детерминированный и стохастический характер. В детерминированных моделях результат решения однозначно зависит от входных данных. В стохастических вероятностных моделях - определенный набор входных данных может дать, а может и не дать соответствующего результата. Стохастические модели описывают случайные процессы, в которых результат всегда остается неопределенным в отличие от детерминированных моделей, входная информация которых заранее предопределяет результат решения.

13. Характеристика основных переменных и уравнений статической матричной модели «затраты - выпуск» В. Леонтьева. Критерии продуктивности матрицы технологических коэффициентов (коэффициентов прямых затрат) А. Матрица коэффициентов полных материальных затрат В.

Одним из основных методов, широко применяемых в экономике является балансовый метод, призванный обеспечить согласованное развитие различных частей и звеньев народного хозяйства: производства и переработки сельскохозяйственного сырья, доходной и расходной частей бюджета, доходов и расходов населения, наличия и использования трудовых ресурсов, производство и использования топливно-энергических ресурсов и др.

Межотраслевые балансы разрабатываются в виде таблиц, а также в аналитическом виде.

Различают следующие виды балансовых моделей:

- частные материальные, трудовые и финансовые балансы для народного хозяйства и отдельных отраслей;

- межотраслевые балансы;

- матричные техпромфинпланы предприятий и фирм.

Балансовый метод и создаваемые на его основе балансо­вые модели служат основным инструментом поддержания пропорций в народном хозяйстве. Различают статические (как правило на год) и динамические балансовые модели.

Балансовые модели строятся в виде числовых матриц - прямоугольных таблиц чисел. В связи с этим балансовые модели относятся к тому типу экономи­ко-математических моделей, которые называются матрич­ными.

Схема статического  межотраслевого баланса (МОБ) произ­водства и распределения совокупного общественного продукта в стоимостном выражении приведена в таблице 9.1. В основу этой схемы положено разделение совокупного продукта на две части: промежуточный и конечный; все народное хозяйство представлено в виде совокупности n-отраслей, при этом каждая отрасль фигурирует в балансе как производящая и как потребляющая.

   В схеме МОБ можно выделить четыре части, имеющие различное экономическое содержание, они называются квадрантами баланса и на схеме обозначены римскими цифрами.

Первый квадрант МОБ – это квадратная таб­лица межотраслевых материальных связей. Показатели, по­мещенные на пересечениях строк и столбцов, представляют собой величины межотраслевых потоков материальных затрат и в общем виде обозначаются х_ij где i и j - соответственно номера отраслей производящих и потребляющих. Так, величина x₄₃ понимается как стоимость продукции, произ­веденной в отрасли с номером 4 и потребленной в качестве материальных затрат в отрасли с номером 3.

Таблица 9.1

Статический межотраслевой баланс народного хозяйства

в денежном выражении

	Межотраслевые потоки материальных затрат				Конечная продукция	Валовая продукция
	1	2	…	n
1	x11	x12	…	x1n	Y1	X1
2	x21	x22	…	x2n	Y2	X2
…	…	…	I …	…	II …	…
N	xn1	xn2	…	xnn	Yn	Xn
Фонд оплаты труда Чистый доход	v1 m1	v2  m2	…III …	vn       mn	vкон mкон    IV
Валовая продукция	Х1	Х2	…	Хn		Хi=Хj

 Во втором квадранте представлена конечная продукция всех отраслей материального производства, при этом под конечной понимается продукция, выходящая из сферы производства в область конечного использования (на потреб­ление и накопление). В таблице 9.1 этот раздел дан укрупненно в виде одного столбца величин Y_i и харак­теризует отраслевую структуру созданного  национального дохода.

Третий квадрант МОБ также характеризует на­циональный доход, но со стороны его стоимостного состава как сумму оплаты труда и чистого дохода отраслей.

Четвертый квадрант баланса отражает часть национального дохода, идущее на конечное потребление в отраслях непроизводственной сферы в виде фонда оплаты труда и накоплений. Следует особо отметить, что хотя ва­ловая продукция отраслей не входит в рассмотренные вы­ше четыре квадранта, она представлена на схеме МОБ в  виде столбца, расположенного справа от второго квадранта, и в виде строки ниже третьего квадранта. Эти столбец и строка валовой продукции играют важную роль как для проверки правильности заполнения квадрантов, так и для разработки экономико-математической модели межотраслевого баланса.На основе таблицы-матрицы статического межотраслевого баланса можно рассчитать важные объемные показатели по народному хозяйству и в разрезе отраслей, а также ряд показателей эффективности: суммарные материальные затраты, созданный и использованный национальный доход, фонд оплаты труда работников материальной сферы, суммарный чистый доход, суммарные производственные затраты в материальной сфере, объем валовой продукции, материальные затраты на 1 руб. валовой продукции и/или национального дохода - (материалоемкость продукции), производственные затраты на 1 руб. валовой продукции и/или национального дохода, рентабельность продукции и др. Расчетные формулы приведены ниже:

Рассматривая схему баланса по столбцам, можно сделать вывод, что итог материальных затрат любой потребляющей отрасли, фонда оплаты труда ее работников и чистого дохода равен валовой продукции этой отрасли:

                  j = 1,2,…,n.            (9.1)

 

Рассматривая схему МОБ по строкам для каждой производящей отрасли, можно видеть, что валовая продукция той или иной отрасли равна сумме материальных затрат потребляющих ее продукцию отраслей и конечной продукции данной отрасли:

            i = 1,2,…,n.           (9.2)

Основные соотношения (9.2) представляют собой систему n-уравнений с (2n+n²) – переменными. Такая система имеет бесчисленное множество решений (если решения имеются). В таком виде ее применение ограничено. Систему можно упростить, если ввести в нее коэффициенты прямых материальных затрат. Коэффициенты прямых материальных затрат (a_ij) показывают количество валовой продукции каждой отрасли (i-й отрасли), направляемое в виде прямых материальных затрат, на единицу валовой продукции данной отрасли (j-й отрасли). Величины (a_ij) расчытываются следующим образом:

                   i,j = 1,2,…,n.  (9.3)

 

Из (9.3) следует, что

;            i,j = 1,2,…,n.                       (9.4)

Подставляя в систему (9.2) значение  из (9.4), получим

     i=1,2,…,n.                           (9.5)

Если матрицу коэффициентов прямых материальных затрат обозначить через вектор А, вектор-столбец валовой продукции X_i через Х и вектор-столбец конечной продукции (Y_i) через Y, то система уравнений (9.5)  примет вид

                         X = AX + Y.                              (9.6)

Система уравнений (9.5), или в векторной форме (9.6), называется экономико-математической моделью межотраслевого  статического баланса (моделью В. Леонтьева, моделью “затрат-выпуска”).Модель (9.5) представляет собой систему n-уравнений с 2n-переменными, поскольку своего рода нормативы материалоемкости, которые являются отностительно стабильными величинами во времени.

Модель В. Леонтьева также имеет множество решений. Однако ее можно применить для планово-прогнозных расчетов при определенных допущениях, а именно, часть переменных (n переменных из 2n) задаются вне модели. Тогда модель (9.5) превращается в систему n-уравнений с  n-переменными, которая, как известно, имеет единственное решение. Возможны три случая:

- величины конечной продукции (Y_i) задаются вне модели, а величины валовой продукции (Х_i) рассчитываются по модели В. Леонтьева;

- величины валовой продукции (X_i) задаются вне модели, а величины конечной продукции (Y_i) рассчитываются по модели В. Леонтьева;

- для одних отраслей вне модели задаются величины валовой продукции (X_i, i = 1,2,…,k), для других отраслей задаются величины конечной продукции (Y_i, i=k+1,k+2,…,n). Не заданные значения валовой и конечной продукции (X_i, i=k+1,k+2,…,n; Y_i, i = 1,2,…,k) рассчитывается по модели В. Леонтьева.

Выполним для векторной формы модели (9.6) следующие преобразования:

                           EX – AX =Y;

                           (E - A)X = Y;

                           X = (E - A)^-1Y,              

где Е – единичная матрица n-го порядка, (E - A)^-1- обратная матрица к матрице (Е - А).

 Если определитель матрицы (Е - А) не равен нулю, то обратная к ней матрица существует. Обозначим эту обратную матрицу через В = (E - A)^-1,  тогда   модель (9.6) можно записать в виде

                           Х = В∙Y.                (9.7)

Если элементы вектора-матрицы В обозначить b_ij, то модель (3.8) примет следующий вид  

                           i = 1,2,…,n.          (9.8)

В принципе это модифицированная модель В. Леонтьева. Величины b_ij в модели (9.8) называются коэффициентами полных затрат. Коэффициенты полных затрат (b_ij) включают в себя как прямые, так и косвенные затраты. Например, при производстве ряда продуктов пищевой промышленности вода является одним из видов основного сырья (прямые материальные затраты). Однако вода используется и для мытья стеклотары, санитарно-гигиенических и других целей (косвенные расходы). Другой пример, топливо и энергия используются при производстве продукции для технологических целей (прямые материальные затраты), а также для освещения, отопления и т.п. (косвенные расходы).

Косвенные расходы могут быть и другого характера, относящиеся к предшествующим стадиям производства. Например, при производстве хлебобулочной продукции из муки (исходное сырье зерно), кроме затрат на топливо и энергию на предприятии хлебопекарной промышленности, затраты на топливо и энергию производятся в сельском хозяйстве (производство зерна), в элеваторно-складском хозяйстве (хранение зерна), на мелькомбинатах (переработка зерна в муку).

Коэффициенты полных затрат показывают количество валовой продукции, которое должно быть произведено в каждой отрасли (i-ой отрасли), чтобы получить единицу конечной продукции в данной отрасли (j-ой отрасли).

Модель (9.8) представляет собой систему n-уравнений с 2n-переменными. Ее применение также основывается на допущениях и аналогично применению модели (9.5).

Коэффициенты полных затрат могут быть определены на основе коэффициентов прямых материальных затрат. Рассмотрим методику на примере.

 Пусть народное хозяйство представлено двумя группами отраслей, величины коэффициентов прямых материальных затрат для каждой группы отраслей и конечная продукция приведены в таблице:

Группы отраслей	Коэффициенты прямых материальных затрат		Конечная продукция, млрд. руб.
	1	2
1	0,3	0,2	500
2	0,1	0,2	300

 Запишем модель В. Леонтьева для случая, когда народное хозяйство представлено двумя группами отраслей:

Согласно определения коэффициентов полных затрат, если в этой модели Y₁ принять равным единице (1 руб.), а Y₂ – за ноль, то X₁ и Х₂ будут означать коэффициенты полных затрат для 1-ой группы отраслей, т.е. X₁ = b₁₁, X₂ = b₂₁.

Аналогично, если принять Y₁ = 0; Y₂ = 1,  то в модели В. Леонтьева Х₁ и Х₂ будут означать коэффициенты полных затрат для 2-ой группы отраслей, т.е.   X₁ = b₁₂; X₂ = b₂₂.

Выполним указанные расчеты для нашего примера. Для первой группы отраслей:

              

                      

7,714Х₂ = 1,429;      Х₂ = 1,429/7,714 = 0,185;

Х₁ = 1,429 + 0,286 ∙ 0,185 = 1,482.

Таким образом      X₁ = b₁₁ = 1,482 руб.;

                                X₂ = b₂₁ = 0,185 руб.

Аналогично можно рассчитать b_ij для 2-ой группы отраслей:

                             

После упрощения получим

                             

Откуда        7,714Х₂ = 10;        Х₂ = 10/7,714 = 1,296;

                              Х₁ = 0,286 * 1,296 = 0,371.

Следовательно,   Х₁ = b₁₂ = 0,371 руб.;  

                              X₂ = b₂₂ = 1,296 руб. 

Динамические балансовые модели – это модели, в которых учитывается фактор времени, а также связи и зависимости показателей последующих лет от показателей предыдущих лет.

Особенности динамических балансовых моделей можно проиллюстрировать на примере полудинамического межотраслевого баланса, первые две части которого приведены в таблице 9.2.

Таблица 9.2

Структура полудинамического межотраслевого баланса народного хозяйства

в денежном выражении

	Межотраслевые потоки материальных затрат				Межотраслевые потоки  капитальных затрат				Продук­ция для конеч-ного потреб-ления	Вало­вая про­дукция
	1	2	…	n	1	2	…	n
1	x11	x12	…	x1n	ф11	ф12	…	фn	Z1	X1
2	x21	x22	…	x2n	ф21	ф22	…	ф2n	Z2	X2
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
n	xn1	xn2	…	xnn	фn1	фn2	…	фnn	Zn	Xn

 Приведенные в таблице показатели ф_ij обозначают капитальные вложения, направляемые в i-ю отрасль-производитель для производства в этой отрасли продукции производственно-технического назначения (основных фондов) для j-ой отрасли-потребителя или это капитальные вложения в прирост основных фондов, направляемых в j-ую отрасль-потребитель для приобретения  ею продукции производственно-технического назначения в i-й отрасли-производителе; Z_i - продукция i-й отрасли, идущее на конечное потребление.

Для приведенных в таблице 9.2 частей полудинамического межотраслевого баланса справедливо следующее основное соотношение:

                       i = 1,2,…,n.          (9.9)

Равенство (9.9) представляет из себя систему n-уравнений с (2n+2n²) – переменными (Х_i, Z_i, x_ij, ф_ij). Ее можно преобразовать к виду аналогичному модели В. Леонтьева. Для этого введем понятие коэффициентов капитальных вложений (приростной фондоемкости), аналогичных коэффициентам прямых материальных  затрат. Он представляют собой капитальные вложения в j-ую отрасль в прирост ее основных фондов за счет продукции i-ой отрасли на единицу прироста валовой продукции в данной (j-ой) отрасли.

Коэффициенты капитальных вложений рассчитываются по формуле:

.                                                               (9.10)

 

Введем фактор времени t (t – период времени, как правило, год). Тогда

X_j^t = X_j^t – X_j^{t –1},                                  (9.11)

т.е. прирост продукции в j – ой отрасли в t – ом периоде (году) равна разности валовой продукции в t – ом и t-1 – периодах (t-1 – предыдущий период).

С учетом  и формул (9.10) и (9.11) и, вводя фактор времени t, систему (9.9) можно преобразовать  к виду

                      i = 1,2,…,n.     (9.12)

Систему (9.12) можно и целесообразнее записать в виде

                i = 1,2,…,n.      (9.13)

Система (9.13) представляет собой модель В. Леонтьева для полудинамического межотраслевого баланса. В ней n-уравнений и 2n-переменных (X_i^t, Z_i^t). Применение ее основывается на допущениях и аналогично применению статической балансовой модели В. Леонтьева.