Задача 3.5. Расчёт системы с конечным числом степеней свободы масс на кинематические воздействия

m₍₁₎

m₍₁₎

EI₂

m₍₁₎

Требуется выполнить динамический расчёт рамы, изобра-жённой на рис. 3.46, а, на горизонтальные смещения основания, изменение которых во времени происходит по заданной зависи-мости (t); определить динамические изгибающие моменты.

m₍₂₎

m₍₂₎

m_c

m_c

m_р

EI₁

EI₁

(t)

(t)

m_ф

m_ф

а) б)

m₍₃₎

m₍₃₎

c₁

c₁

c₂

c₂

l / 4

l / 4

l / 4

l / 4

Рис. 3.46

Расчётная схема, сформированная в соответствии с сообра-жениями, изложенными в п. 2.1, представлена на рис. 3.46, б, где податливыми связями с жёсткостями с₁ и с₂ смоделирована грун-товая среда в основании и вокруг сооружения, рассматриваемая как упруго деформируемая. Распределённые массы элементов

конструкции заменены сосредоточенными массами m₍₁₎ = m_р / 4 ; m₍₂₎ = m_с / 2 + m_р / 8 ^*) ; в опорных узлах m₍₃₎ = m_с / 2 + m_ф + m_пг ( здесь m_ф – масса фундамента, m_пг – «присоединённая» масса грунта ). Инерцией вращения масс и защемлениями стоек пренебрегаем.

Рассчитываемая система по схеме рис. 3.46, а – симметрич- ная, поэтому в решении ки-

нетостатическим методом

и

спользуем групповые сим-

метричные и обратносим-

м

етричные силы инерции

(

рис. 3.47 ). Чис

(t)

(t)

ло степеней

свободы масс, определённое

б

ез учёта продольных де-

ф

Рис. 3.47

ормаций стержней: n = 8.

^*) m_с и m_р – с учётом масс стенового ограждения, покрытия, утеплителя и, возможно, снега на кровле. В полном динамическом расчёте должны рассматриваться различные варианты комбинаций масс.

Вертикальные перемещения концов левой стойки – одина-ковые, поэтому вертикальные силы инерции масс m₍₂₎ и m₍₃₎ учи-тываются их суммой, приложенной в верхнем узле. Аналогично – для правой стойки. Горизонтальное перемещение точек ригеля – общее для расположенных на нём пяти масс, в расчёт вводится

их суммарная сила инерции.

Для удобства обратносимметричным групповым силам инерции присвоены номера с 1 по 4, симметричным – с 5 по 8. Заданное кинематическое воздействие – обратносимметричного типа, поэтому все симметричные инерционные силы и соответ-ствующие им симметричные перемещения масс равны 0.

Система уравнений (дифференциальных) при произвольном законе изменения во времени заданного воздействия ( в рассмат-риваемой задаче – горизонтального смещения основания (t) ) записывается в перемещениях масс. Пренебрегая диссипатив-ными силами, имеем ( см. 1*А* в табл. 1.3 ):

Групповые обратносимметричные перемещения

показаны на рис. 3.48.

За положительные приняты

п

(t)

(t)

еремещения, совпадающие

по направлению с соответст-

вующими силами инерции

( см. рис. 3.47 ).

Рассмотрим решение

при следующих исходных

д

анных: h = 4 м ; l = 8 м ;

EI₁ = 50 EI₂ = 200 Рис. 3.48

с₁ = 80 МН /м ; с₂ = 50 МН/м ;

m_с = 4 т ; m_р = 20 т ; m_ф = 3 т ; m_пг = 16 т.

3.5.1. Гармоническое кинематическое воздействие (t) =  sin _c t

 =м ; f_c = 1,8 Hz ( задана техническая частота ).

В случае установившихся вынужденных колебаний урав-нения могут быть записаны в амплитудах перемещений масс:

или, что удобнее для определения динамических усилий в систе-ме, в амплитудах инерционных сил:

в матричной форме где =

= 11,31 c ^–1 ; в развёрнутом виде:

где – перемещения в рассчитываемой раме по на-

правлениям групповых инерционных сил от

заданной амплитуды  смещения основания.

Для определения групповых перемещений ( компонентов

матрицы упругой податливости) рассматриваем единичные со-

с

1

1

0,5

0,5

тояния системы от действия = 1, k = 1, …, 4 ( на рис. 3.49 по-

к

азана половина симметричной рамы ).

h / 2

h / 2

а) б)

в)

0,5

l / 8

г) д) е)

Рис. 3.49

Единичные перемещения вычисляем по формуле Максвел-ла – Мора с учётом изгиба стержней рамы и деформаций упру-гих опорных связей:

Первая и третья единичные инерционные силы не вызы-вают изгиба стержней, перемещения в системе возникают толь-ко за счёт податливости опор. Изгибающие моменты во втором и четвёртом единичных состояниях легко находятся, исходя из обратной симметрии воздействий – соответствующие эпюры даны на рис. 3.49, в, е.

Приняв в качестве параметра жёсткости C₀ = EI₁ , выражаем через него жесткостные характеристики элементов системы:

EI₂ = 4 C₀ ; с₁ = 1,6 м ^–3; с₂ = 1 м ^–3, после чего находим

= 2 / c₂ = 2 / C₀ ;

На рис. 3.50 изображено состояние

системы, вызванное амплитудным сме-

щ



ением основания. Из кинематических

условий легко находятся перемещения,

входящие в уравнения в качестве сво-

б

Рис. 3.50

одных членов:

Для определения , конечно, можно применить и метод

М

нет необходимости.

аксвелла – Мора ( формулу ), но здесь в этом

Формируем матрицу масс, соответствующих групповым инерционным силам:

где m₍₁₎ = m_р / 4 = 5 т ; m₍₂₎ = m_с / 2 + m_р / 8 = 4,5 т ;

m₍₃₎ = m_с / 2 + m_ф + m_пг = 21 т ;

следовательно, 10,5 т ; 24 т ; 12,75 т ; 2,5 т .

Приняв за параметр масс m₀ =24 т , получаем матрицу отношений масс а = = diag [ 0,4375 1 0,53125 0,10417 ] ,

после чего вычисляем диагональные компоненты матрицыди-намической податливости рамы где

= 24000 кг= 3,070:

2 / С₀ – (3,070

= ( 2 –0,7445– ( 35,225 м³ ) /

аналогично – ( 2,1408 м³ ) / – ( 29,407 м³ ) /

– ( 155,368 м³ ) /

Умножив уравнения вынужденных колебаний на параметр С₀, получаем их в виде

где коэффициенты при неизвестных измеряются в м³ , а  = = 50м = 250 Решение системы уравнений даёт

252,07

Амплитуды динамических изгибающих

м

126,58

оментов находим как M_dyn =

( учтено, что ) –

эпюра приведена на рис. 3.51 для половины

р

Рис. 3.51

амы ( справа от оси симметрии – обратно-

метрично ).

По инерционным силам определяем амплитуды переме-щений масс:

• горизонтальные на уровне ригеля

= 126035 Н / (24000 кг= 0,0411 м;

• горизонтальное на опоре 0,0066 м;

• вертикальное на опоре м;

• вертикальное в четверти пролёта ригеля

м.

Полученные результаты свидетельствуют о том, что при за-данных воздействиях колебания рамы происходят практически в горизонтальном направлении ( вертикальные перемещения масс меньше горизонтальных в десятки раз ). То, что смещения точек конструкции более чем в восемь раз превышают расчётную ха-рактеристику перемещения основания  = 0,005 м, а также боль-шие значения найденных сил инерции можно расценить как признак колебаний системы в режиме, достаточно близком к резонансу. Для проверки этого предположения определим мини-мальную частоту обратносимметричных собственных колебаний приближённым способом Донкерлея:

откуда .

Точное значение частоты _min , найденное решением частотного уравне-ния Det () = 0 ( где ), равно 12,11 с ^–1.

Следовательно, значение _c = 11,31 c ^–1, действительно, бли-зко к резонансной частоте ( _c = 0,93 _min ) и находится в дорезо-нансной области.

Дополнение: при увеличении частоты _c c 1,8 до 2 Hz диагональные ком- поненты матрицы динамической податливости принимают значения = – 28,138 /; = 0,9605 /; = – 23,569 /; = – 125,596 /; силы инерции получаются рав-

ными = 8,393 кН; = – 263,489 кН; = – 6,950 кН; = 1,403 кН – знак «–» у

указывает на то, что перемещение ( см. рис. 3.48 ) имеет направление, противо-

положное смещению (t) , т.е. основные (горизонтальные) колебания рамы происходят в противофазе кинематическому воздействию – это имеет место при работе системы в зарезонансном режиме ( _c > _min ).