Задача 3.6. Расчёт стержневой системы с гасителем колебаний на вибрационную нагрузку

F(t) = F sin _F t

Для рамы с динамическим гасителем колебаний, изобра-жённой на рис. 3.56, требуется определить динамические коэф-фициенты по изгибающим моментам при отклонениях реальных параметров устройства от их расчётных значений, соответст-вующих идеальному гасителю, на 2 % по его массе ( в меньшую сторону ) и на 1,5 % по жёсткости ( в сторону увеличения ). Демп-фирование не учитывать.

Частота динамичес-

к

m

m

2EI

ой нагрузки _F = k_ _min ;

k

c_d

m /2

m /2

_ = 0,85, где _min – мини-

м

EI

EI

альная собственная час-

т

m_d

ота незащищённой конст-

р

8 м

3

3

3

3

укции ( без гасителя ).

Проектная масса гаси-

т

Рис. 3.56

еля m_d = 0,03 m.

Первоначально выполняем расчёт системы без гасителя – во-первых, для определения частот собственных колебаний, а во-вторых – для оценки динамических усилий, которые возник-ли бы в конструкции без виброзащиты.

Расчётная схема с учётом симметрии рамы^*) ( с групповыми силами инерции ) приведена на рис. 3.57. Число степеней свободы

масс равно 4. Уравнения

частот собственных ко-

лебаний для симметрич-

ных и обратносиммет-

Рис. 3.57 ричных главных форм:

где  = 1/(m²).

^*) Отсутствие горизонтальной связи на правом конце ригеля рамы не сказывается на результатах расчёта, если продольные деформации элементов не учитываются.

Для определения единичных групповых перемещений рассчитываем раму на воздействие принимаемых равными еди-

нице основных неизвестных – сил инерции . Для рас-

к

0,1

0,3

0,2143

0,3571

рытия статической неопределимости системы рационально при-менение метода перемещений. Единичные эпюры изгибающих моментов приведены на рис. 3.58 для левой половины симмет-ричной рамы.

0,55

0,6

0,2

0,5357

0,675

0,225

0,45

0,225

0,8036

0,4821

0,3214

0,1607

1,0982

0,1429

0,5714

1,1675

Рис. 3.58

«Перемножением» эпюр по методу Максвелла – Мора нахо-дим компоненты матрицы упругой податливости :

:

Решение частотных уравнений даёт два собственных зна-чения для симметричных главных форм: _s1 = 1,51758/EI , _s2 = = 0,19721/EI и два для обратносимметричных: _as,1 = 1,35716/EI , _as,2 = 0,19120/EI. Соответствующих им частоты собственных ко-лебаний, выстроенные в порядке увеличения значений, таковы:

В соответствии с условиями задачи определяем частоту _F динамической вибрационной нагрузки:

_F = k_ _min = 0,85

Выполняем расчёт рамы, не оснащённой гасителем, на за-данную вибрационную нагрузку, используя уравнения устано-вившихся вынужденных колебаний

Если нагрузку F ( асимметричную ) разложить на симметрич-

ную и обратносимметричную составляющие, то «грузовые» пере-мещения можно выразить через единичные:

Использовав найденные выше значения и подставив = 0,4761 EI , получаем систему уравнений в числах:

откуда 0,0978 F ; 0,0595 F ; 1,2803 F ; 0,9048 F .

Вычисляем амплитуды динамических изгибающих момен-тов , где M_F – моменты от амплитуды нагруз-ки F, которые можно найти как M_F = 0,5F Эпюры M_F

и M_dyn представлены на рис. 3.59. По ним определяем динамичес-кие коэффициенты для незащищённой конструкции – по момен-

0,7393

0,3536

0,0643

там в характерных се-чениях 1 ( в месте при-ложения нагрузки ) и 2 ( на верхнем конце ле-вой стойки ):

0,3857

0,0643

1,1329

0,1271

M_F

0,1929

0,0321

2,3025

1,1004

0,0617

1,2020

0,5389

0,3415

0,3988

0,2797

0,7251

0,1995

M_dyn

3,6354

Рис. 3.59

Далее перейдём к расчёту виброзащищённой конструкции.

С помощью условия c_d /m_d =, связывающего параметры идеального гасителя колебаний ( см. п. 1.0 ), находим жесткость упругого элемента гасителя при заданной массе m_d = 0,03 m:

степень свободы масс ( вследствие чего полу-чаем n = 5) и силу инер-ции J₅ ( рис. 3.60 ).

С учётом допол-нительного неизвестно-го J₅ система уравнений

F

Убедимся в том, что при таких характеристиках гасителя рама не будет испытывать вибрации. Для этого рассмотрим её как систему с дополнительной массой m_d , добавляющей ещё одну

2EI

m

c_d

m

EI

EI

m_d

m/2

m/2

Рис. 3.60

в

ынужденных колебаний принимает следующий вид:

Единичные перемещения по направлению силы инерции

гасителя J₅ легко выражаются через ранее найденные, если заме-

тить, что моменты от J₅ = 1 можно записать как M₅ =0,5 подставив это выражение в формулу _5k , получаем ₅₁ = ₁₅ = ₅₂ = ₂₅ =; ₅₃ = ₃₅ =; ₅₄ = = ₄₅ = ; в собственном перемещении ₅₅ учитывается подат-ливость упругой связи гасителя: ₅₅ = «грузовое» перемещение _5F = Запишем уравнения в матрич-ной форме:

Решив их, находим – результат говорит о том, что массы рамы не движутся; колебания соверша-ет только масса гасителя ( с амплитудой y₅ = F/c_d = 70,03 F/EI ).

Наконец, рассмотрим систему с гасителем, параметры которого, согласно условию задачи, отличаются от проектных – по жёсткости на +1,5 % , по массе на – 2 %, т.е. m_d = 0,98= В матрице дина-мической податливости из-за этого изменяется один компонент:

= Заменив в матрице ко-

эффициентов при неизвестных в уравнениях 1,4221 на – 1,0410, получаем

Знаки « – » у сил инерции, в том числе загруженной массы, указывают на то, что они находятся в противофазе действую-щей нагрузке. Это признак того, что колебания рамы происходят в зарезонансном режиме. Заметим, что значения инерционных сил существенно больше, чем в незащищённой конструкции.

4,2027

Возникающие в раме динамические моменты представлены на рис. 3.61.

1,2723

M_dyn

1,3867

2,6590

0,3929

0,6305

0,3162

0,8370

0,2372

Динамические

коэффициенты:

они больше, чем в

р

Рис. 3.61

аме без гасителя.

Следовательно,

применение этого устройства в случае, когда невозможно обес-печить расчётные параметры системы с достаточно высокой точностью, не только не приносит пользы, но способно даже ухудшить динамическое состояние конструкции.