3.1.1.4. Динамический расчёт по уравнениям в форме

метода перемещений ( в амплитудах перемещений масс )

В п. 3.1.1.3 метод перемещений в одном из вариантов рас-чёта на единичные инерционные и заданные силовые воздейст-вия использован как средство раскрытия статической неопреде-лимости системы ( см. Приложение к задаче 3.1 ). Поэтому сте-пень кинематической неопределимости была оценена по мини-мально возможному числу расчётных узлов как n_k = 3.

2

Но в решении задач динамики в перемещениях к расчёт-ным узлам относятся также точки расположения сосредоточен-ных масс ( см. п. 1.5.4.4 ). Число независимых перемещений трёх расчётных узлов рассматриваемой ра-

мы ( рис. 3.13 ): n_ = 3, n_ = 3, тогда n_k = 5.

1

Основная система метода переме-

щ

3

ений ( ОСМП ) для расчёта на гармо-

нические колебания кинетостатическим

методом представлена на рис. 3.14.

Z₂ = y₂

Z₃ = y₃

3

Тип 2

2

2

4

Рис. 3.13

b₄

e₄

e₅

3EI

J₃

В случае устано-

5

Тип 1

EI

J₁

вившихся вынужден-

Z₄

1

Z₅

b₅

3EI

ных колебаний в схе-

3

b₃

e₃

5

4

1

Тип 2

му добавляются амп-

b₁

e₁

b₂

e₂

2

3

3EI

литуды вибрационных

b₆

Тип 1

Тип 2

нагрузок.

Z₁ = y₁

1

6

EI

Основные неизвест-

Тип 2

ные Z пронумерованы,

e₆

начиная с перемеще-

6 м

3

3

ний, являющихся сте-

пенями свободы масс

Рис. 3.14

(см. рис. 3.3). Вектор Z

имеет следующую

Z = , где Z_m = [ Z₁ Z₂ Z₃ ]^т[ y₁ y₂ y₃ ]^т ; Z_d = .

структуру:

Погонные изгибные жёсткости элементов i_j = EI_j / l_j ( j =):

i₁ = i₄ = 3EI / (6 м) = 2i; i₂ = i₃ = 3EI / (3 м) = 4i; i₅ = i₆ = EI / (4 м) = i.

Р а с ч ё т н а с о б с т в е н н ы е к о л е б а н и я

А. Уравнения собственных колебаний в амплитудах перемещений масс

В соответствии с расчётной схемой рис. 3.14 система уравне-ний ( 1.74 ) записывается как

( 3.7 )

Если принять в качестве параметра массы m₀ = m, то выде-ленный блок ( размерами 3 х 3 ) матрицы, входящей в вычитае-мое в скобках развёрнутого выражения матрицы динамичес-кой жёсткости ОСМП, – это матрица a относительных масс (см. с. 54, с поправкой на недиагональность матрицы ).

Введём параметр ₀ = m₀ ² = m ², после чего систему урав-нений представим в виде ( r₀ – ₀ a₀ ):

( 3.8 )

Z

Для определения единичных реакций r_{0, ik} (), явля-

ющихся компонентами матрицы r₀ внешней жёсткости основной системы МП по направлениям основных неизвестных Z, рассмат-риваем единичные состояния ОСМП, соответствующие смеще-ниям введённых связей Z_k = 1 (). Эти состояния с эпюрами изгибающих моментов показаны на рис. 3.15.

r_0,21

r_0,31

r_0,41

r_0,51

6i₂/l₂ = 8i

3i₃/l₃ = 4i

= 1

Z₁ = 1

r_0,11

r_0,32

Z₂ = 1

r_0,22

r_0,42

r_0,52

6i₅/l₅ = 1,5i

= 2

r_0,12

r_0,33

Z₃ = 1

r_0,23

4i₅ = 4i

r_0,43

r_0,13

r_0,53

3i₄ = 6i

2i

= 3

r_0,34

r_0,54

r_0,24

r_0,44

2i

Z₄ = 1

4i₅ = 4i

3i₁ = 6i

8i

3i₃ = 3i

= 4

r_0,14

4i₂ = 16i

r_0,35

r_0,25

r_0,15

r_0,45

Z₅ = 1

4i₂ = 16i

r_0,55

8i

3i₃ = 12i

= 5

Рис. 3.15

Б. Формирование матриц внешней жёсткости

r₀ (ОСМП) и r (заданной системы)

Компоненты матрицы r₀ определяются обычным порядком – статическими способами ( из условий равновесия узлов и частей ОСМП ) или кинематическим методом – через работу концевых

усилий ( r_{0, ik} =) либо по формуле Максвелла – Мора

( 3.9 )

где M_{0, i} , M_{0, k} – изгибающие моменты в основной системе мето-

да перемещений от единичных основных неиз-

вестных Z_i = 1 и Z_k = 1 cоответственно.

Единичные реакции введённых связей в рассматриваемой ОСМП проще всего находятся статически, результаты таковы:

r_{0, 11} = 20i / 3 ; r_{0, 41} = r_{0, 14} = – 8i ; r_{0, 51} = r_{0, 15} = – 4i ; r_{0, 22} = 0,75i ;

r_{0, 32} = r_{0, 23} = r_{0, 42} = r_{0, 24} = – 1,5i ; r_{0, 33} = 10i ; r_{0, 43} = r_{0, 34} = 2i ;

r_{0, 44} = 29i ; r_{0, 54} = r_{0, 45} = 8i ; r_{0, 55} = 28i ,

остальные реакции равны нулю.

Из найденных величин r_{0, ik} () формируем матрицу внешней жёсткости ОСМП:

. ( 3.10 )

Из неё получим матрицу жёсткости r заданной системы по направлениям перемещений масс Z_m( см. с. 68 ):

r

( 3.11 )

r_yy

Комментарий : полученная матрица жёсткости r должна быть обратной по отно-шению к матрице податливости  ( см. с. 34 ), т.е. их перемножение должно давать диа-гональную единичную матрицу. Проверяем это условие, используя матрицу , получен-

ную в п. 3.1.1.3 ( см. с. 138 ) и учитывая, что i = EI / 4:

В. Уравнение частот собственных колебаний

получается из нетривиального решения yсистемы уравнений ( 1.65 ), т.е. из условия существования движения, и имеет вид

. ( 3.12 )

Компоненты матрицы r внешней жёсткости рассчитыва-емой системы содержат характеристику изгибной жёсткости i₀ = i = EI / 4: r_ik = d_ik i₀ ( здесь d_ik – числитель выражения r _ik ). Её целесообразно включить в собственное число:  = m₀ ²/ i₀ = ₀ / i₀ = = 4 m ² / EI ( заметим, что размерность  – [длина ^–3] ). Подстанов-ка ₀ = i₀ в ( 3.12 ) даёт частотное уравнение

( 3.13 )

корни которого _j ( j = 1, 2, 3 ) могут быть найдены с помощью стандартных процедур линейной алгебры для задачи о собствен-ных значениях матричного линейного оператора, реализованных в компьютерных программах, в том числе LOVEK и DINAM ка-федры строительной механики НГАСУ (Сибстрин). В программе LOVEK задача сформулирована как При i₀ 0

из ( 3.13 ) получаем

Матрицы А и В вводим в компьютер, и в результате расчёта по программе LOVEK получаем запись характеристического (частотного ) уравнения, его корни ( собственные значения ₁, ₂ и ₃ )^*) и соответствующие им собственные векторы _{Z (j)} _{y (j)}

^*) Значения _j расставлены в порядке их увеличения.

основных неизвестных ( перемещений масс ):

– 0,5625 ³ + 19,7949 ² – 79,0726  + 18,9953 = 0;

₁ = 0,25659; ₂ = 4,29552; ₃ = 30,6388;

По _j вычисляем частоты собственных колебаний

:

35,818 c ^–1 ;

146,55 c ^–1 ;

391,40 c ^–1 .

Найденные частоты и собственные векторы перемещений – такие же, как в расчёте по уравнениям в амплитудах инерцион-ных сил ( см. п. 3.1.1.3 ).

Замечание: для определения собственных частот и векторов перемеще-ний по программе LOVEK можно не осуществлять переход к матрице динамической

жёсткости, а использовать матрицу для основной системы МП. В этом случае ука-

зываются порядки матриц r₀ и a ( соответственно 5 и 3 ) и вводятся

.

Получаемые в этом варианте результаты расчёта совпадают с приведёнными выше ( читателю предлагается убедиться в этом самостоятельно ).

По векторам _y(j) умножением их на матрицу отношений масс а определяем собственные векторы инерционных силовых факторов _J(j) = a__y(j) :

аналогично _J(2) = [ 1 – 0,06440 – 0,06206 ]^т ;

_J(3) = [ 0,07911 – 0,16553 1 ]^т .

Далее выполняется проверка ортогональности главных форм собственных колебаний, построение их схем, а также ста-тическая и кинематическая проверки результатов расчёта рамы на собственные колебания – так, как описано в п. 3.1.1.3.

Две последние проверки требуют знания силовых факто-ров в заданной системе от единичных инерционных воздействий

J₁ = 1, J₂ = 1 и J₃ = 1, которые в приведённых выше этапах реше-ния задачи в перемещениях не были нужны. Вычисление изги-бающих моментов M_k ( от J_k = 1, k = 1, 2, 3 ) в компьютерном мат-ричном варианте целесообразно объединить с расчётом на амп-литуды динамических ( вибрационных нагрузок ) и статические воздействия – см. Приложение к задаче 3.1 ( со с. 167 ).

Расчёт на установившиеся вынужденные колебания

_F == = 0,20784 м ^–3.

Частоту вибрационной нагрузки с компонентами F(t) и q(t) вычисляем, по условию задачи, как _F = k__min = = = 32,236 с ^–1 ; соответствующая характеристика

А. Расчётная схема и уравнения для случая вынужденных колебаний

Схема рассматриваемой рамы в амплитудном состоянии представлена на рис. 3.8 в п. 3.1.1.3. Она используется в реше-нии по варианту 1 – с уравнениями установившихся гармоничес-ких вынужденных колебаний в амплитудах перемещений масс:

где ( 3.14 )

Вариант 2 – в амплитудах перемещений расчётных узлов основной системы метода перемещений, изображенной на рис. 3.16, а при амплитудных динамических нагрузках F и q ( сила F перенесена в узел с добавлением момента Fl_m ):

где

( 3.15 )

Отметим, что показанные на схеме инерционные cиловые

факторы J₁, …, J₅ в уравнениях ( 3.14 ) и ( 3.15 ) присутствуют неявно – в динамических составляющих компонентов и матриц динамической жёсткости заданной системы и ОСМП,

поэтому в вычислениях R_{0, iF} не учитываются.

Z₂ = y₂

Z₃ = y₃

Тип 2

R_{0, 3F}

2

4

а)

b₄

e₄

e₅

3EI

J₃

F = 3 кН

F l_m = 4,5 кНм

R_{0, 2F}

R_{0, 5F}

5

Тип 1

EI

Z₄

1

3

Z₅

b₅

J₁

q = 2 кН /м

R_{0, 4F}

1

Тип 2

b₁

b₃

e₃

e₁

b₂

e₂

3EI

b₆

2

3

Тип 1

Тип 2

Z₁ = y₁

1

3EI

6

EI

R_{0, 1F}

Тип 2

e₆

6 м

3

3

M_{0, F}

б)

Рис. 3.16

()

Эпюра изгибающих моментов в ОСМП от амплитуд дина-мических нагрузок – на рис. 3.16, б. Соответствующие реакции введённых связей в расчётных узлах, найденные статически:

R_{0, 1F} = – 6,75 кН; R_{0, 2F} = 3 кН; R_{0, 3F} = 4,5; R_{0, 4F} = – 1,5; R_{0, 5F} = – 0,75.

Б. Формирование матриц и динамической жёсткости

и определение амплитуд перемещений Z и y

Вычисляем матрицу динамической жёсткости основной системы МП, используя полученную ранее матрицу r₀:

Подставив в ( 3.15 ) вместе с найденными выше R_{0, 1F} , …,

R_{0, 5F} и решив систему уравнений ( можно использовать компью-терную программу LINS или любую аналогичную ), определяем амплитуды перемещений расчётных узлов ОСМП, из которых первые три – амплитуды перемещений масс y₁ , y₂ и y₃ :

Z = –R_{0, F} = i ^–1 [ – 0,8687 – 36,2446 – 6,1991 – 1,7459 0,4015 ] ^т.

Из можно получить матрицу динамической податливо-сти рассчитываемой системы ( вариант 1 ):

тогда после подстановки её в ( 3.15 ) вместе с вектором свобод-ных членов R_F , вычисленным как

R_F = , находим

y = [ y₁ y₂ y₃ ] ^т = – () ^–1 R_F = i ^–1 [ – 0,8686 – 36,2427 – 6,1988 ] ^т, что практически совпадает с тремя первыми компонентами Z ( рас-

хождения – за счёт округлений ). Заметим, что необходимости в таком переходе от вектора Z к y нет – здесь это сделано для иллюстрации принципиальной возможности реализации обоих вариантов расчёта с получением одинаковых результатов.

В. Определение амплитуд динамических усилий в раме

Изгибающие моменты от амплитудных нагрузок, направлен-

ных так, как показано на рис. 3.16, вычисляем по найденным Z:

– они незначительно ( в третьем знаке после десятичной запятой ) отличаются от представленных на

рис. 3.10. По M_dyn определяются соответствующие им попереч-ные и продольные силы Q_dyn и N_dyn ( их эпюры – на рис. 3.10 ).

Г. Проверки результатов расчёта на вынужденные колебания

Необходимые в статической проверке инерционные сило-вые факторы J₁ , J₂ и J₃ находим по формуле

J = [ J₁ J₂ J₃ ]^т = :

после чего выполнение условий равновесия по Д’Аламберу про-веряем как в п. 3.1.1.3.

В кинематической проверке используем уже известные пе-ремещения масс y₁ , y₂ и y₃, подставляя их в левую часть контро-лируемых условий

y₁ = – 0,8687/i =

y₂ == – 144,978/EI; y₃ == – 24,796/EI;

правые части равны соответственно – 3,478/EI,

– 145,012/EI и – 24,815/EI ( «перемножение» эпюр – см. с. 147 ) – расхождения 0,09 % , 0,02 % и 0,08 % .

Далее определяем динамические коэффициенты – так, как описано в п. 3.1.1.3.