- •3.1.1.1. Определение числа степеней свободы масс
- •3.1.1.2. Расчётная схема рамы
- •3.1.1.3. Динамический расчёт по уравнениям в форме метода сил ( в амплитудах инерционных силовых факторов )
- •3.1.1.4. Динамический расчёт по уравнениям в форме
- •3.1.2. Расчёт рамы на статические нагрузки
- •3.1.3. Определение полных расчётных усилий
- •3.1.3. О приближённом учёте инерции вращения масс
- •Приложение к задаче 3.1
- •1 2 3 5 4 1 Перемещения узлов и узловые нагрузки Узел
- •Задача 3.2. Динамический расчёт симметричной системы
- •Задача 3.3. Динамический расчёт системы с взаимозависимыми перемещениями сосредоточенных масс
- •Задача 3.4. Приближённое определение частоты собственных колебаний
- •Задача 3.5. Расчёт системы с конечным числом степеней свободы масс на кинематические воздействия
- •3.5.2. Негармоническое кинематическое воздействие
- •Задача 3.6. Расчёт стержневой системы с гасителем колебаний на вибрационную нагрузку
- •4. Контрольные вопросы
3.5.2. Негармоническое кинематическое воздействие
Рассмотрим расчёт на смещение основания, изменяющееся
в
(t)
t
= t / T0 ; T0 = 0,6 c ;
з
0
T0
T0
/
3
метричного воздействия используем
п
Рис. 3.52
симметрии ( см. п. 1.6 ). Схема поло-
вины рамы представлена на рис. 3.53. Матрица её упругой по-
y2(t)
y4(t)
m(2)
m(1)
(t)
y3(t)
m(3)
EI2
c1
EI1
c2
y1(t)
Рис. 3.53 Матрица масс:
m = m(3) 1,5m(1)+ m(2) m(2)+ m(3) m(1) =
= 21 т 12 т 25,5 т 5 т ; a = a1 a2 a3 a4 = 4,2 2,4 5,1 1 ; m0 = m(1) = 5 т .
Решение системы уравнений вынужденного движения 1*А* ( табл. 1.3 ) строим по методу конечных разностей ( см. п. 1.5.3 ) в форме ( 1.36 ) во временном интервале [ 0; 2T0 ] с шагом t = = T0 / 40 = 0,008 c, равным примерно 1/4 минимального периода собственных колебаний. Уравнения для некоторого расчётного момента времени tj = t при найденных выше значениях ком-
понентов матриц и a имеют следующий вид:
4,2( y1, j–1 – 1,84762 y1, j + y1, j+1 ) + 2,4( y2, j–1 – 2 y2, j + y2, j+1 ) = B0
4,2( y1, j–1 – 2y1, j + y1, j+1 ) + 67,9( y2, j–1 – 1,990574 y2, j + y2, j+1 ) +
+3,1875( y3, j–1– 2y3, j + y3, j+1 ) – 0,6875( y4, j–1 – 2 y4, j + y4, j+1 ) = B0
1,5( y2, j–1 – 2 y2, j + y2, j+1 ) + 3,1875( y3, j–1 – 1,799216 y3, j + y3, j+1 ) +
+ 0,3125( y4, j–1 – 2 y4, j + y4, j+1 ) = B0
–1,65( y2, j–1 – 2 y2, j + y2, j+1 ) + 1,59375( y3, j–1 – 2 y3, j + y3, j+1 ) +
+ 0,49858( y4, j–1 – 0,692765 y4, j + y4, j+1 ) = B0
где B0 == 0,64 м3 ; 1c = 2c = ; 3c = 4c = 0 ; j = (tj).
Эти группы конечно-разностных уравнений (КРУ) записы-ваются для всех расчётных значений времени от t1 до t80 – всего 320 уравнений с 328 неизвестными ( с yi, 0 по yi, 81 , i = 1, 2, 3, 4 ). Баланс количеств неизвестных и уравнений обеспечивается учё-
том начальных условий движения четырёх масс: yi, 0 = 0; откуда yi,1 = yi,2 / 8 ( из кубической аппроксимации пере-
мещений по точкам t = 0, t = t и t = 2t ).
В системе КРУ матрица коэффициентов
A = ; её повторяющийся блок Ad :
Ad =.
В блоке А0 отражены начальные условия:
А0 =.
Компоненты вектора В вычисляются по значениям функ-ции (tj). При t > T0 движение системы происходит как свобод-ное; соответствующие конечно-разностные уравнения – одно-родные ( j = 0 ).
В результате решения системы линейных алгебраических уравнений получены по 80 значений каждой из функций y1(t), …, y4(t). Построенные по ним графики изменения во времени го-ризонтальных перемещений y1(t) (фундамента) и y2(t) (ригеля) представлены на рис. 3.54, а, а вертикальных y3(t) и y4(t) – на рис. 3.54, б ( с укрупнённым масштабом ординат ). На рис. 3.54, а дополнительно показан также график заданного смещения (t).
y1(t),
y2(t),
см
Г
о р и з о н т а л ь н ы е п е р е м е щ е н
и я м а с с
0,2
0,4
0,6
0,8
– 0,4
– 0,6
0
y1(t)
y2(t)
0,3
0,4
0,5
(t)
t,
с
а)
0,2
T0
0,1
0,6
– 0,2
– 0,8
y3(t),
y4(t),
см
В
е р т и к а л ь н ы е п е р е м е щ е н и я
м а с с
0,16
0
0,12
0,08
0,04
y3(t)
y4(t)
t,
с
б)
0,2
0,3
0,4
0,1
0,6
0,5
– 0,08
– 0,04
– 0,12
– 0,16
Рис. 3.54
Хорошо видно, что наиболее интенсивное ( горизонтальное ) движение масс ригеля происходит с доминированием низкочас-тотной компоненты по основному тону собственных колебаний. В остальных перемещениях явно наблюдаются сочетания ( в раз-ных пропорциях ) трёх гармоник с 1-й, 2-й и 3-й собственными частотами*). Высокочастотная составляющая, конечно, также присутствует, но отследить её по графикам yi(t) затруднительно.
Динамические изгибающие моменты в раме определяются через силы инерции: Mdyn(t) = M2 J2(t) + M4 J4(t), где моменты М2
и М4 от J2 =1 и J4 =1 – соответственно каки на рис. 3.49.
Силы инерции вычисляются через ускорения: J2(t) = – ;
J4(t) = –, а ускорения рассчитываются по конечно-разност-ной формуле через найденные
перемещения yi, j ( i = 2, 4; j = 1, …, 81 ). На рис. 3.55 приведены результаты вычисления инерционных сил.
J2(t),
J4(t),
кН
15
J2(t) 10
5
t,
с
0,6
0,5
0
J4(t)
0,3
0,4
0,1
0,2
– 5
– 10
– 15
Рис. 3.55
Эти графики, полученные по вторым производным от y2(t) и y4(t), более детально выявляют спектральный состав переме-щений масс и соответствующих сил инерции: в изменении силы J2(t) отчётливо заметны гармонические составляющие первых двух главных форм собственных колебаний с периодами Т1 = = 0,519 с и Т2 = 0,127 с; а в J4(t) преобладают 3-я и 4-я формы с Т3 = 0,114 с и Т4 = 0,033 с.
*) Заметим, что 2-я и 3-я частоты собственных колебаний рассчитывае-
мой рамы мало отличаются друг от друга: 3 : 2 = 1,11.
Для двух характерных сечений – I ( у верха стойки ) и II ( в месте расположения массы m(1) ) имеем:
MI, dyn(t) = 4 м; MII, dyn(t) = 2 м– 1 м.
Максимальные значения этих моментов:
MI, dyn, max = 4 м; MII, max =max [ J2(t) – 0,5 J4(t)], где
max J2(t) = 17,45 кН при t = 0,275 с; max [ J2(t) – 0,5 J4(t)] = 17,33 кН
при t = 0,274 с; тогда MI, dyn, max = 69,8 кН; MII, max = 34,66 кН.
Аналогично как тестовый выполнен конечно-разностный расчёт рамы на вибрационное смещение основания, рассмотрен-ное в п. 3.5.1, где дано точное решение. Начальные условия дви-
жения масс заданы в виде yi, 0 = 0; = c yi
Найденные перемещения представлены в таблице в сопо-ставлении со значениями, вычисленными по точным выражени-
ям yi (t) = yi sin c t с амплитудами yi из п. 3.5.1.
-
Время t, с
Перемещения, см
y1(t)
y2(t)
y3(t)
y4(t)
0
0 (0)
0 (0)
0 (0)
0 (0)
Тс /8 =
= 0,0694
0,4672 (0,4678)
2,9028
(2,9031)
0,0578 (0,0578)
–0,0605
(–0,0605)
Тс /4 =
= 0,1389
0,6620 (0,6616)
4,109
(4,106)
0,0819 (0,0818)
–0,0856
(–0,0855)
3Тс /8 =
= 0,2083
0,4677 (0,4678)
2,9026
(2,9031)
0,0578 (0,0578)
–0,0605
(–0,0605)
Тс /2 =
= 0,2778
–0,00023 (0)
–0,0070
(0)
–0,00017 (0)
0,00018
(0)
5Тс /8 =
= 0,3472
–0,4676
(–0,4678)
–2,9063
(–2,9031)
–0,0579
(–0,0578)
0,0606 (0,0605)
Примечание: в скобках – точные значения.
Погрешности в определении перемещений не превышают 0,21 % от соответствующих амплитуд.
В заключение напомним, что, во-первых, никаких принципиальных труд-ностей в расчёт по методу конечных разностей не вносит учёт диссипации энергии, в результате чего может быть выявлено затухание во времени коле-баний в стадии свободного движения; а во-вторых, если это необходимо, то вычисление перемещений может быть продолжено в следующем временном интервале ( см. п. 1.5.3 ).