Определители

1. Вычислить определители: .

2. Вычислить определитель

1. непосредственно, 2) предварительно меняя первую и третью строки,

3) предварительно меняя вторую и третью строки.

Какое предложение можно сформулировать относительно полученных результатов?

3. Вычислить определитель

1) предварительно заменив первый столбец вектором- столбцом ;

2) предварительно заменив второй столбец вектором - столбцом ;

3) предварительно заменив третий столбец вектором- столбцом ;

4. Проверьте, как изменится определитель если:

1. ко второй строке прибавить третью строку умноженную на (-2);

2. к первой строке прибавить вторую строку умноженную на 3;

Какое предложение можно сформулировать относительно полученных результатов?

5. Вычислить определители

Какое предложение можно сформулировать относительно полученных результатов?

Матрицы.

5. Укажите размерность матриц и определите, чему равны элементы

5. Определить параметры из условий

8. Можно ли вычислить линейную комбинацию

. Ответ поясните.

9. Вычислить линейную комбинацию матриц

1); 2).

3) ; 4).

10. Вычислить линейную комбинацию матриц , где Е- единичная матрица

размером и

11. Решить уравнение

12. Вычислить произведение матриц

Если это невозможно, то объясните почему.

13. Вычислить произведения матриц

14. Вычислить: , где

единичная матрица;

15. Найти миноры всех элементов матрицы

16. Вычислить данные определители

17. Найти матрицу , если 1)2), где.

18. Используя решение квадратного уравнения , найдите матрицувторого порядка, которая является решением матричного уравнения.

19. Найти матрицу из уравнения, гденулевая матрица.

20. Проверьте, являются ли матрицы взаимно обратными?

21. Какая из двух матриц имеет обратную

.

Ответ пояснить.

17. Вычислить матрицу обратную к данной матрице

.

и сделать проверку полученного результата.

23. Используя элементарные преобразования , привести матрицу А к ступенчатому виду

;

24. Перемножить матрицы

25. Решить матричное уравнение, где

Указание. Используйте обратную матрицу.

Системы линейных алгебраических уравнений

26. Проверить являются ли числарешением данной системы

линейных уравнений

27. Проверить является ли множество чисел, зависящее от параметра

t, решением данной системы линейных уравнений

28. К какой из данных систем можно применить метод Крамера

Определив эту систему, решите её.

29. Решить данные системы методом Крамера

Сделать проверку полученных результатов.

30. Записать данные системы уравнений в матричном виде

31. Решить системы матричным методом

Сделать проверку полученных результатов.

32. Решить системы линейных алгебраических уравнений матричным методом и методом

Крамера

Если количество уравнений в системе не совпадает с числом неизвестных или определитель главной матрицы равен нулю, то решить такую систему методом Крамера или матричным методом невозможно. В этом случае система либо несовместна, ( не имеет решения), либо неопределенна ( имеет бесконечно много решений). Для решения таких систем используют метод Гаусса или его модификацию.

33. Решить систему линейных уравнений ступенчатого вида

Метод Гаусса заключается в приведении системы линейных уравнений к ступенчатому виду и затем её решение.

Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

34. Для данных систем уравнений

написать расширенные матрицы.

35. По данным расширенным матрицам

написать задающие их системы уравнений.

36. Доказать, что данные системы уравнений равносильны

37. Решить данные системы уравнений методом Гаусса

38. Решить данные системы методом Гаусса

1) 2)

39. Решить данные системы методом Гаусса

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

Прямая линия на плоскости.

40. Написать уравнение горизонтальной прямой линии проходящей через точку .

41. Написать уравнение вертикальной прямой проходящей через точку.

42. Написать уравненияпрямой линии:

    1. проходящей через точку и имеющей угловой коэффициент;

2) проходящей через точку и имеющей угловой коэффициент ;

3) проходящей через точку параллельно оси ОХ;

4) проходящей через точку параллельно оси ОУ;

5) проходящей через точки ;

6) переписать уравнение прямой линии в общем виде;

7) переписать общее уравнение прямой линии в виде уравнения

с угловым коэффициентом.

42. На прямой линии найти точки: 1) у которой абсцисса; 2) у которой ордината; 3) Лежат ли точкина прямой.

43. Написать уравнение прямой линии проходящей через точку параллельно

прямой линии

42. Написать уравнение прямой линии проходящей через точку и

перпендикулярно прямой линии:

1) 2)3)4)

42. Дать эскизы графиков прямых

42. Используя калькулятор вычислить угол наклона прямых линий

42. Найти точки пересечения прямой линии с осями ОХ, ОУ.

43. Найти точки пересечения прямых линий. Сделать чертёж.

1. ;

2. ,;

₃₎

42. НАЙТИ КООРДИНАТЫ ВЕРШИН ТРЕУГОЛЬНИКА СО СТОРОНАМИ ОПРЕДЕЛЯЕМЫМИ УРАВНЕНИЯМИ

42. Найти уравнения прямых, на которых лежат стороны , имеющего вершины

.

42. Найти острый угол между прямыми линиями:

42. Определить какие из точек

лежат выше прямой, на прямой и ниже прямой, проходящей через точки .

Напомним, что если точка лежит на прямой линии, то координаты точки являются решением уравнения прямой.

42. Даны уравнения сторон четырёхугольника Найти уравнения его диагоналей.

43. Найти абсциссу, чтобы четырёхугольник с вершинами был параллелограммом.

44. Доказать, что диагонали четырёхугольника с вершинами взаимно перпендикулярны.

45. Используя калькулятор вычислить расстояние от начала координат до прямой.

46. Используя калькулятор вычислить расстояние от точки до прямой .

47. Даны вершины:.Найти : 1) уравнение стороны; 2) уравнение высоты; 3) уравнение медианы; 4)точку пересечения высотыи медианы; 5) уравнение прямой, проходящей через вершинупараллельно стороне; 6) длину высоты; 7) величины углов.

48. Найти точку симметричную точкеотносительно прямой.

Кривые второго порядка

Парабола.

42. Написать уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная, что парабола расположена в правой полуплоскости симметрично относительно оси ОХ и её параметр равен 3.

43. Определить величину параметра и дать эскизы парабол

42. Определить величину параметра, фокус, директрису и дать эскиз.

1) 2)3)4)

42. Написать уравнение параболы, которая имеет фокуси вершину в начале координат.

43. Написать уравнение параболы, которая имеет фокус и вершину в начале координат.

44. Написать уравнение параболы, у которой фокус и уравнение директрисы.

45. Написать уравнение параболы с вершиной и осью симметрии. Парабола проходит через точку

1) ; 2).

42. Написать уравнение параболы с вершиной и осью симметрии. Парабола проходит через точку

1) ; 2).

69. Найти точки пересечения прямой и параболы:

1) 2)

Окружность

70. Написать уравнение окружности, зная

1. её центр Ои радиус; 2) её центр Ои радиус;

71. Найти точки пересечения окружности с осями координат.

Эллипс.

72. Написать канонические уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси

абсцисс симметрично относительно начала координат, зная, что

1. его полуоси равны ;

2. его большая полуось равна 5, а расстояние между фокусами ;

3. расстояние между его фокусами , а эксцентриситет;

4. расстояние между его директрисами равно 5 и расстояние между

фокусами .

73. Написать канонические уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ординат симметрично относительно начала координат, зная, что

1) его полуоси равны;

2. его большая полуось равна 10, а расстояние между фокусами ;

3. расстояние между его фокусами , а эксцентриситет;

4. расстояние между его директрисами равно и расстояние между

фокусами ;

74. Дан эллипс. Найти его

1. полуоси; 2) фокусы; 3) эксцентриситет; 4) уравнения директрис.

Дать эскиз.

75. Дать эскиз графика кривой и указать, что это за кривая

1); 2)

76. Ординату каждой точки окружности с центром в начале координат и радиусом равным 1.

уменьшили в 3 раза. Назвать полученную кривую, определить её параметры и сделать

эскиз её графика.

77. Абсциссу каждой точки окружности с центром в начале координат и радиусом равным 1.

уменьшили в 2 раза. Назвать полученную кривую, определить её параметры и сделать

эскиз её графика.

78. Даны фокусы эллипса . Написать уравнения осей его симметрии.

79. Даны: уравнение директрисы параболы и её фокус . Написать уравнения

осей симметрии параболы.

Гипербола.

80. Написать уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, зная, что

1. её полуоси;

2. её горизонтальная ось 8 , а расстояние между фокусами;

3. расстояние между её фокусами , а эксцентриситет;

4. расстояние между её директрисами равно и расстояние между

фокусами 2с=26;

81. Написать уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси ординат симметрично относительно начала координат, зная, что

1. её полуоси равны;

2. её действительная полуось равна 4, а расстояние между фокусами ;

3. расстояние между её фокусами , а эксцентриситет;

4. расстояние между её директрисами равно и расстояние между

фокусами2с=26;

82. Дано уравнение гиперболы . Найти её

1. полуоси; 2) фокусы; 3) эксцентриситет; 4) уравнения директрис; 5) уравнение асимптот.

83. Пусть задано уравнение кривой второго порядка: . Если у кривой есть асимптоты, то написать их уравнения. Определить:

84. Пусть задано уравнение кривой второго порядка:. Если у кривой есть асимптоты, то написать их уравнения. Определить:

85. Пусть задано уравнение кривой второго порядка:. Если у кривой есть асимптоты, то написать их уравнения. Определить:

86. Определить тип кривой и дать эскиз её графика :

87. Определить, на какой из координатных осей лежат фокусы данных кривых второго

порядка

Кривые в полярной системе координат.

89. Построить точки, если заданы их полярные координаты

90. Пусть точки заданы в полярной системе координат. Используя калькулятор вычислить, декартовы координаты этих точек

91. Пусть точки заданы в декартовой системе координат. Используя калькулятор вычислить, полярные координаты точек

92. Построить кривые в полярной системе координат

93. Записать уравнения кривых в полярной системе координат

94. Определить точки пересечения кривых

1) 2)

3) 4)

Элементы векторной алгебры

95. Написать координаты двух единичных векторов, которые лежат в плоскости

ОХУ и параллельны прямой линии: .

96. Написать координаты двух единичных векторов, которые лежат в плоскости

ОХУ и перпендикулярны прямой линии: .

97. Изобразить на чертеже линейные комбинации векторов

98. Вычислить линейные комбинации векторов

1) ; 2); 3)

99. Среди указанных пар векторов выбрать коллинеарные векторы

;;

100. Даны три вершины параллелограмма :

Найти вершину D.

101. Найти четвёртую вершину каждого из трёх параллелограммов, имеющих вершины

.

102. Вычислить:

1. Единичный вектор в направлении вектора

2. Вектор длины 3 в направлении вектора

3. Вектор длины 2 в направлении противоположном направлению

вектора

103. Проверить лежат ли точки на одной прямой

104. Решить уравнения

; 2)

105. Используя калькулятор, вычислить расстояние от точкидо

106. В треугольнике . Найти

107. В угол С прямой. ВМ- медиана треугольника. АС=6.

_Найти

108. В ,. Используя калькулятор вычислить:.

109. Концы отрезка заданы координатами. На отрезке

взята точка так, что отрезоккороче отрезкав два раза. Найти

координаты точки .

110. Найти координаты конца отрезка , если известны координаты его началаи его середины.

111. Даны две точки . Найти координаты точки, симметричной точкеотносительно точки.

112. Даны две точки. Найти координаты точки, симметричной точке

относительно точки.

113 . Найти проекции вектора силы на направление, если заданы: величина силы и угол

между вектором силы и направлением

114. Найти проекции вектора силы на оси координат, если заданы: величина силы

и угол между вектором силы и осями координат

1)

2)

3)

_{Чему равны координаты вектор силы}?

115. Найти проекции вектора силына оси координат.

116. Точки являются вершинами пирамиды

найти: 1) середину рёбер ; 2) расстояние между этими серединами;

3) проекциюна оси координат; 4) длину вектора;

_{Скалярное произведение векторов}

_{Контрольные вопросы}

1)Что можно сказать о векторах, если ;

2) Что можно сказать о не нулевых векторах, если ;

_{3) Что можно сказать о не нулевых векторах, если}

117. Вычислить скалярное произведение векторов . 3)

118. Среди векторов

определить взаимно перпендикулярные векторы.

119. При каком параметре , векторы

взаимно перпендикулярны.

120. Пусть даны два вектора ,

требуется вычислить .

121. Используя скалярное произведение, вычислить:

1) проекцию вектора на вектор;

2) угол между векторами И;

122. Пусть задан вектор силы. Определить величину усилия от действия

_силы в заданных направлениях : 1); 2); 3)

123. Какие углы образует вектор с осями координат.

124. Постоянная сила приложена к телу и перемещает его вдоль отрезка

прямой из точки . Вычислить работу силы.

125. Вычислить работу постоянной вектор-силы действующей вдоль

отрезкаотк, где 1)2).

Векторное произведение векторов

126. Вычислить определители:

127. Для векторов вычислить векторные произведения:

128. Найти вектор перпендикулярный двум векторам ;

129. Вычислить площадь , где:

1)

₂₎

130. Вычислить момент силы , приложенной в точке, относительно точки

131. Найти все единичные вектора перпендикулярные векторам ,.

132. Найти все векторы перпендикулярные векторам , .

_{133. Для векторов:}

проверить равенство .

134. Найти вектор перпендикулярный плоскости , где

135. Вычислить, где,,

_{Смешанное произведение векторов.}

136. Для векторов вычислить смешанное произведение

.

137. Вычислить объём пирамиды, если известны координаты её вершин

138. Проверить являются ли данные векторы компланарными:

139. Лежат ли точкив одной и той же плоскости?

Плоскости и прямые в пространстве

Контрольные вопросы

Среди данных утверждений найти верные утверждения:

1) Прямая и плоскость только параллельны либо перпендикулярны;

2) Две прямые в пространстве либо параллельны, либо пересекаются;

3) Две плоскости перпендикулярные к данной прямой перпендикулярны;

4) Две плоскости перпендикулярные к данной прямой параллельны;

5) Две прямые параллельные к плоскости параллельны между собой;

6) Две прямые параллельные к плоскости перпендикулярны между собой;

7) Две плоскости параллельные к третьей параллельны между собой;

8) Две плоскости параллельные к третьей перпендикулярны между собой;

9) Существует прямая, пересекающая плоскость ровно в двух точках.

140. Написать уравнения плоскостей, удовлетворяющих условиям:

1) плоскость проходит через точку перпендикулярно нормальному вектору

;

2) плоскость проходит через точку параллельно плоскости;

3) плоскость проходит через точку параллельно векторам

;

4) плоскость проходит через точки,;

141. Написать уравнения плоскостей, удовлетворяющих условиям:

1) плоскость проходит через точкуперпендикулярно нормальному

вектору ;

2) плоскость проходит через точку параллельно плоскости

3) плоскость проходит через точку параллельно векторам

4) плоскость проходит через точки,.

5) плоскость проходит через начало координат и точку параллельно

вектору.

142. Среди указанных плоскостей выделить:

1. параллельные плоскости:

2. перпендикулярные плоскости:

143. Определить углы между нормальным вектором к плоскости

и осями координат.

144. Определить углы между плоскостями

145. Найти расстояние от точки до плоскости

1) Найти расстояние от точки до плоскости;

2) Найти расстояние от точки до плоскости;

146. Определить точкусимметричную точкеотносительно

плоскости .

147. Составить параметрические уравнения прямой линии, проходящей через точку

и

1. параллельно вектору , 2) параллельно прямой линии

, 3) параллельно оси ОУ, 4) перпендикулярно плоскости, 5) перпендикулярно плоскости,6) точку

148. Среди указанных прямых выделить:

1. параллельные прямые:

1) 2)

3) 4)

2. перпендикулярные прямые:

149. Вычислить угол между прямыми

150. Составить параметрические уравнения прямой, являющейся пересечением двух

плоскостей:

151. Вычислить угол между прямыми 1) и 2), 3) и 4) заданными общими уравнениями

152. Определить точку М симметричную точке относительно прямой линии

153. Определить взаимное расположение прямой и плоскости и если они

пересекаются найти координаты точки пересечения

154. Вычислить угол между прямой и плоскостью

155. Написать уравнение плоскости проходящей через точку

перпендикулярно прямой:

156. Написать параметрические уравнения прямых линий являющихся

пересечениями плоскостис координатными плоскостями.

Введение в математический анализ

157. Используя калькулятор, вычислить значения функции в точках:

158. Используя калькулятор, вычислить значения функциив точках:

.

159. Вычислить ,если :

160. Найти области задания функций

161. Найти области задания функций

162. Найти область значений функций

163. Найти область значений функций

164. Какое утверждение из двух следующих верно

1) каждой абсциссе графика соответствует одна ордината

2) каждой ординате графика соответствует одна абсцисса

165.

1. По данному графику найти ординаты точек, если их абсциссы равны

2. По данному графику найти абсциссы точек, если их ординаты равны

166. По таблицам построить графики функций

Х	-2	-1,5	-1	-0,5	0	0,5	1	1,5	2	2,5
У	0,2	0,31	0,5	0,8	1	0,8	0,5	0,31	0,2	0,16

Х	-2	-1,5	-1	-0,5	0	0,5	1	1,5	2	2,5
У	2,24	2,12	2,0	1,87	1,73	1.58	1,41	1,22	1	0,7

167. Используя калькулятор, заполнить таблицу и по ней построить график

функции

Ххх х	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	1.	1.1	1.2	1.3	1.4	1.5	1.6	1.7
у

168. Среди предложенных функций указать равные функции

169. Среди предложенных функций указать равные функции

170. Функции определены на множестве, симметричном относительно начала координат. Будет ли чётной функция:

171. Функции определены на множестве, симметричном относительно начала координат. Будет ли нечётной функция:

172. Среди заданных функций выделить чётные и нечётные функции

;

173. Вычислить нули данных функций

174. Доказать, что функция возрастает, а функцияубывает.

175. Среди данных функций указать возрастающие и убывающие функции

176. Проверить по определению, что данная функция

177. Выделяя полный квадрат, вычислить экстремумы функций

178. Используя калькулятор вычислить значения функций

в точках

_{179. И}спользуя графики функций (рис.1) и (рис.2), приближённо вычислить

рис.1 рис.2

.

180. Пусть.. Написать выражения для функций.

181. Пусть. Написать выражения для функций

.

182. Пусть . Написать выражения для функций

.

183. Проверить, является ли функция обратной относительно функции.

184. Проверить, является ли функция обратной относительно функции

.

185. Написать формулы для функций обратных к данным

;.

Предельные значения функции

186. Пусть переменная удовлетворяет неравенству

На числовой прямой укажите интервалы, которым принадлежит переменная.

187. Пусть

а) К какому числовому значению стремится переменная , если параметр

неограниченно уменьшается до нуля.

б) В каком из случаев1)-6) может принимать это предельное значение.

188. Пусть абсцисса графика функции стремится: 1) кслева, 2) ксправа

Определить по графику . Существует ли

189. Пусть аргумент функциистремится слева к точке, принимая значения:

. Используя калькулятор, спрогнозируйте, к чему стремятся соответствующие значения функции , если

189. Пусть аргумент функциистремится справа к точке, принимая значения:

. Используя калькулятор, спрогнозируйте, к чему стремятся соответствующие значения функции , если

189. Проверить, используя график, функции: существует ли предельные значения данных функций

при стремлении аргументак 0.

192. Пусть

Вычислить

193. Пусть

Вычислить

194. Пусть .

Вычислить

195. Используя график функции вычислить приближенно значения функций, левые и

правые предельные значения функций в точке

1)2)3)

196. Пусть . Вычислить предельные значения

.

197. Пусть . Вычислить предельные значения

.

198. Пусть . Вычислить предельные значения

.

199. Вычислить левые и правые предельные значения следующих функций.

Написать уравнения их горизонтальных и вертикальных асимптот.

При вычисления следующих пределов используйте правило

Правило 1. Для любой элементарной функции справедлива формула если,то ;

200. Вычислить указанные пределы и значения функции в предельных точках

201. Вычислить указанные пределы

202. Вычислить указанные пределы

203. Вычислить указанные пределы

204. Дайте определение горизонтальной асимптоты графика и найдите уравнения горизонтальных асимптот графиков данных функций.

205. Дайте определение вертикальной асимптоты графика и найдите уравнения вертикальных асимптот графиков данных функций

_{Непрерывность и разрывы функций}

_{206. Пусть функции} определены на интервалеи их суммаи их разностьявляются непрерывными функциями. Доказать, что тогда функцииявляются непрерывными.

_207. Указать интервалы на оси ОХ, в которых данные функции непрерывны

208. При каком значении параметра данные функциинепрерывны

209. Исследовать данные функции на непрерывность

210. Исследовать данные функции на непрерывность и дать эскизы графиков

211. Среди данных интервалов

указать интервалы, в которых функция достигает своих

наибольшего и наименьшего значений.

212. Доказать что данные функции непрерывны, дать эскизы графиков и по ним

найти наибольшее и наименьшее значения функций

213. Исследовать данную функциюна непрерывность

на множествах

214. Доказать, что любой кубический многочлен имеет по крайней мере

один ноль.

Замечательные пределы

215. Используя замечательные пределы найти предельные значения выражений

;

216. Используя второй замечательный предел найти предельные значения выражений

217. Вычислить указанные пределы

218. Вычислить указанные пределы:

Дифференцирование. Определения. Основные правила.

219. Вычислить приращение функции в точке

220. Используя определение производной функции и соответствующие замечательные пределы, вычислить производные данных функций

:

220. Написать уравнение касательной и нормальной прямой к функции

в точке :

Найти точки пересечения полученных касательных с осями координат.

222.

По данному графику функциинаписать приближённо уравнения касательных к графику в точках заданных координатами.

223. Найти угол между касательными, проведенными в точках

к графику функции

224. Найти угол между графиками функций и осью ОХ в указанных точках

225 . Найти острый угол между графиками функций в точке

их пересечения

226. По осидвижется точка, абсцисса которой с течением

времени изменяется по закону +2. Определим абсциссу точки и её

скорость и ускорение в моменты времени: . Определить

моменты времени, когда усилие, действующее на точку равно: 1) нулю,

2) максимально.

227. Пусть материальная точка движется вдоль оси ОХ по закону , где

- время:

А. Вычислить среднюю скорость за промежуток времени .

В.вычислить мгновенную скорость точки в моменты времени

228. Найти координаты материальных точек, движущихся по закону

, в момент времени когда

их скорости совпадают.

229. Вычислить производные функций

230. Вычислить производные функций

231. Вычислить производные функций

₂₃₂ . Используя калькулятор, вычислить производные функций в точке

233. Найти функцию по заданной производной. Сделать проверку

234. Доказать, что данная функция:

обращает соответствующее уравнение в тождество:

235. Найти вторые производные заданных функций

236. Доказать, что функция превращает уравнение

в тождество.

Дифференцирование функции от функции.

237. Применив цепное правило вычислить производные функций

;

;

23)

238. Используя калькулятор, вычислить производные функций в заданной точке

239. Вычислить угол между касательными к функции , проведёнными в

точках:

240. Используя равенства

доказать формулы

Логарифмическое дифференцирование

241. Вычислить производные заданных функций

Формулы неявного дифференцирования

242. Доказать, что данные формулы задают одну и туже кривую линию

243. Применяя правило неявного дифференцирования, вычислить

производные от функций заданных неявно (уравнениями)

244. Найти вторую производную функциизаданной

неявно (уравнениями)

;

Формулы параметрического дифференцирования

245. Вычислить и записать в параметрическом виде производные от

функции заданной в параметрическом виде

246. Вычислить и записать в параметрическом виде первую и вторую производные

иот функцийзаданных в параметрическом виде

4)

246. Написать уравнение касательной и нормали к кривым заданным

неявно (уравнениями) в точке

246. Написать уравнение касательной и нормали к кривым заданным

параметрическими уравнениями

Дифференциал функции

249. Используя таблицу найти дифференциалы следующих функций

250. Вычислить дифференциал дуги графиков функций

251. Изобразить геометрически приращение функции и дифференциал функции

при заданных величинах . Оценить погрешность по графику

252. Используя понятие дифференциала получите приближённые формулы,

справедливые для малых

253. Используя формулу линейного приближения функции , оценить максимальную погрешность при вычислении значения выражения , при,если аргументзадан приближённо.

254. Используя формулу линейного приближения функции , оценить максимальную

погрешность при вычислении значения выражения, при,если

аргумент задан приближённо.

255. Вычислить значение данного выражения двумя способами: а) используя

калькулятор и в) используя формулу линейного приближения функции

1)(взять) 3)(взять)

2) (взять); 4)(взять;;

).

256. Приближенно измеренный радиус круга оказался равным м.

Используя формулу линейного приближения , оценить какова будет максимальная ошибка при вычислении

1) площади круга, 2) длины окружности.

257. Приближенно измеренный радиус шара оказался равным 1м.

используя формулу линейного приближения , оценить какова будет

максимальная ошибка при вычислении площади поверхности ()

этого шара. Для расчётов взять .

258. Приближенно измеренное ребро куба оказался равным м. Используя

формулу линейного приближения, оценить какова будет максимальная ошибка при

вычислении объёма куба и площади поверхности куба.

Правило Лопиталя

259. Написать формулу Лагранжа (о среднем в дифференцировании) для функций

260. Используя правило Лопиталя, вычислить указанные пределы

261. Используя правило Лопиталя, вычислить указанные пределы

262. Написать уравнения горизонтальных асимптот

263. Написать уравнения горизонтальных и вертикальных асимптот и дать эскиз

графика функции

Приложение дифференцирования к задачам геометрии и механики

264. Найти острый угол между касательными прямыми к параболепроведёнными в точках графика.

265. Найти две касательных к параболе: , проходящих через начало координат.

266. Найти точку пересечения касательных прямых проведенных к параболе в точках.

267. Найти уравнение касательной прямой, проведённой к параболе ,

параллельной к прямой .

265. Найти уравнение касательной прямой, проведённой к параболе ,

перпендикулярной к прямой .

265. Найти расстояние от точки до касательной прямой, проведённой

к параболе в точке касания.

265. Найти угол между графиками функций

в точке их пересечения.

265. Под каким углом пересекают ось ОХ синусоиды:

в точках:

265. Под каким углом, и в какой точке касательная к кривой, проведённая в точкепересекает ось ОХ

К какому классу монотонных функций принадлежит производная функции. Функция представлена на графике.

274.

К какому классу монотонных функций принадлежит производная функции. Функция представлена на графике.

275. Дать эскиз графика любой функции заданной на интервале, для

которой

276. Изобразить на графике любую пару дифференцируемых функций ,

для которых

Cколько таких пар функций существует?

277. Секущая графика параболы проходит через точкупараллельно касательной, проведённой к параболе в точке. Найти

точку пересечения секущей и параболы.

278. Материальная точка движется по параболетак, что скорость изменения ординаты. Найти мгновенную скорость изменения абсциссы в точках.

279. Найти на гиперболеточку, в которой мгновенная скорость

1. ординаты в два раза больше скорости абсциссы ;

2. ординаты равна скорости абсциссы ;

3. ординаты в два раза меньше скорости абсциссы ;

280. Материальная точка движется по эллипсу так, что скорость изменения абсциссы.. Найти мгновенную скорость изменения ординаты в.

281. Материальная точка движется вдоль оси ОХ по закону.

Найти моменты времени, в которые

1. скорость точки равна нулю;

2. сила действующая на точку равна нулю;

3. точка меняет направление движения;

определить направление движения в моменты времени ,.

Исследование функций и построение её графиков

282. Определить интервалы возрастания и убывания функций

283. Определить интервалы возрастания и убывания функций

283. Определить локальные экстремумы функций

283. Доказать, что функция имеет локальный максимум в

точке и не имеет экстремума в точке.

283. Доказать, что функция имеет локальный минимум в

точке и не имеет экстремума в точке.

283. Определить локальные экстремумы функций

283. Доказать, что график функции лежит выше любой своей касательной

прямой.

283. Найти точки перегиба графиков и интервалы выпуклости данных функций

283. Найти точки перегиба графиков и интервалы выпуклости данных функций

283. Доказать, что для графика функции точкане является

точкой перегиба, а точка есть точка перегиба.

283. Найти асимптоты графиков данных функций

283. Исследовать данные функции и построить их графики

Задачи на нахождение наибольших и наименьших значений функций

283. Число 8 разбить на два слагаемых так, чтобы их произведение было

наибольшим.

283. Найти на оситочку, для которой сумма квадратов расстояний от точек

была бы наименьшей.

283. Среди прямоугольников, имеющих периметр 8м, найти прямоугольник

с наибольшей площадью.

283. Среди прямоугольных треугольников, имеющих одинаковую гипотенузу

=10м, найти треугольник наибольшей площади.

283. Прочность балки прямоугольного сечения прямо пропорциональна ширине

балки и квадрату её высоты. Определить параметры балки наибольшей

прочности, которую можно вырезать из бревна, диаметр которого 0.5м.

283. Пусть требуется построить цилиндрический бак объёмом. Какими

должны быть размеры бака, чтобы на его изготовление ушло как можно

меньше листовой стали. Для расчётов принять .

283. Из стального листа площадью требуется изготовить цилиндр

наибольшего объёма. Определить радиус и высоту такого цилиндра.

Для расчётов принять .

283. Среди всех прямых круговых конусов, у которых образующая равна,

найти радиус основания конуса наибольшего объёма.

Кривизна дуги кривой.

283. Найдите кривизну следующих линий в точке

283. Вычислите кривизну линий в точке

283. Найдите кривизну параболы в точке

284. Найдите кривизну равнобочной гиперболы

в точке

283. Найдите кривизну циклоиды при значении параметра

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ.

1.1 17 1.2 01.3 1 2.1 -12.2 12.3 13.1 93.2 -263.3 -214.0

4.1 4.25.так как в каждом определителе есть одинаковые строки.

6.1 ;

6.2

7.1 7.2 7.3

8.Нельзя. Матрицы разных размерностей.

9. 1 9.2 9.39.4

10. 11.

12. ;-не существует.

13.113.213.313.413.5не существует.

13.6 13.714.114.214.3

15.1

15.2

15.3

16.1 9 16.2 116.30

17.1

17.2

18. 19.20.Не являются.

21. Матрица имеет обратную матрицу.

22.1 22.222.3

23.1 23.223.323.4

23.5 24.124.2

25.1 25.226.Не являются.27. Не являются.

28.1 29.129.2

30.1

30.2 где

30.3 где

31.1 31.2

31.3 31.4

31.5 32.1

32.2

32.3

32.4

33.1 33.233.3Система не совместна33.4

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУССА.

34.1 34.2

34.3 35.135.235.3

35.4 36;Решения одинаковы.

37.1 37.237.3

38.1 38.238.3Система не совместна.

39.1 39.239.339.4

39.5 39.6

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Прямая линия на плоскости.

40. 41.42.142.242.3

42.4 42.542.6

42.7 43.143.243.3Обе точки принадлежат прямой.

44.1 44.244.344.4

44.5 44.644.744.8

45.1 45.245.345.4

46.1 46.2

3. 46.4

46.5

47.1 47.247.3

47.4 48.

49.1 49.2(0.5; 1).

49.3 (2; 2).50.

51.

52.1

52.2

52.3

53. А₁ –выше; А₂ –на прямой;

А₃ – ниже; А₄ –выше; А₅ –ниже;

А₆ – на прямой.

54.

55. 56

57 58.59.159.2

59.3 59.459.559.6

59.7 60.-точка пересечения перпендикуляра, проходящего через точку М, с заданной прямой.

Кривые второго порядка.

Парабола.

61.

62.1 62.2

62.3 62.4

63.1 63.2

63.3 63.4

64. 65.66.. 67.167.2

68.1 68.269.169.2Точек нет.

Окружность.

70.1 70.271.

Эллипс.

72.1 72.272.372.4

73.1 73.273.373.4

74.

1. 75.2

76. Эллипс. 77. Эллипс

78. 79.

Гипербола.

80.1 80.280.380.4

81.1 81.281.381.4

82.

83. Эллипс.84. Гипербола.. асимптоты:

85. Парабола.директриса:86.1Гипербола.

86.2Гипербола86.3Гипербола

86.4 Гипербола.

87.1 На оси Оу.87.2 На оси Ох. 87.3 На оси Ох.87.4 На оси Оу. 87.5 На оси Ох. 87.6 На оси Оу.

Кривые в полярной системе координат

89.

90.1 х=2,у=0.90.2 90.3 90.4 90.5 90.6

90.7 90.8

90.9 90.10 91

92.1 92.2

3. 92.4

92.5 92.6

92.7 92.8

92.9

93.1 При замене, уравнение

93.2 1 При замене, уравнение

93.3 Парабола. Формулы перехода:полярная ось направлена вдоль оси Ох; полюс совпадает с фокусом. При подстановке в уравнение получаемили, или. Разрешая это уравнение относительнополучаемканоническое уравнение параболы в полярной системе координат.

93.4 Парабола. Формулы перехода:полярная ось направлена вдоль оси Оу в противоположную сторону. При подстановке в уравнение получаемилиили. Решая это уравнение относительнополучимканоническое уравнение параболы в полярной системе координат.

93.5 Эллипс, вытянут вдоль оси Оу. Формулы перехода: полярная ось направлена вдоль оси Оу и совпадает по направлению. Полюс в фокусе. При подстановке в уравнение получаем Приводим к общему знаменателю и освобождаемся от, получаем или. Решая это уравнение относительно получим - каноническое уравнение эллипса в полярной системе координат . 93.6 Гипербола.

Формулы перехода: полярная ось направлена вдоль оси Ох и совпадает с ней по направлению. При подстановке в уравнение получаем: Приводим к общему знаменателю и освобождаемся от, получаем или . Решая это уравнение относительно получим -каноническое уравнение гиперболы в полярной системе координат.