3.1.1.1. Определение числа степеней свободы масс

2

3

Находим n как число связей, которые нужно наложить на три сосредоточенные массы ( из которых одна неточечная ), для того, чтобы устранить их возможные

перемещения. Пренебрегая для стер-

жней рамы, работающих преимуще-

ственно на изгиб, сближениями их

к

1

онцов, обусловленными продольны-

ми деформациями и искривлениями,

получаем n = 3 ( рис. 3.2 ).

Рис. 3.2

По типам наложенных связей

видно, что двумя степенями свободы

масс являются их линейные перемещения, а третья степень сво-боды – угол поворота неточечной массы.

3.1.1.2. Расчётная схема рамы

для решения кинетостатическим методом задачи о собственных колебаниях представлена на рис. 3.3, причём на рис. 3.3, а амп-литудные инерционные силовые факторы приложены к массам в их центрах тяжести, а на рис. 3.3, б – к раме с удалёнными мас-сами в местах прикрепления последних к узлам и элементам^*) .

В расчётах далее используется схема по рис. 3.3, б.

y₃

y₂

u_r = y₂

m

y₂

O_m

а) б)

J₂₍₁₎

J₂₍₂₎

e_m = l_m /2

m /2

J_2(r)

J₁

J₁

J₃

y₁

y₁

m

Рис. 3.3

В расчёте на гармонические вынужденные колебания в схему будут добавлены амплитуды динамических воздействий.

^*) В этом случае их следует понимать ( см. с. 17 – 20 ) как реакции линейных и угловых связей, прикрепляющих массы к безынерционной (безмассовой) деформируемой системе, выраженные через инерционные силы и моменты. С учётом этого в дальнейшем на большинстве схем массы не изображаются.

Последовательно рассмотрим оба представленных в главе 1 возможных варианта решения – по основным уравнениям гар-монических (собственных или вынужденных) колебаний, в кото-рых за основные неизвестные принимаются либо амплитуды инерционных силовых факторов, либо амплитуды динамических перемещений масс ( см. п. 1.5.4 и 1.5.5 ).

3.1.1.3. Динамический расчёт по уравнениям в форме метода сил ( в амплитудах инерционных силовых факторов )

По любой из схем рис. 3.3 общее число инерционных сил и моментов равно 4. Но количество основных неизвестных должно совпадать с числом степеней свободы масс, т.е. 3. Кажущееся несоответствие устраняется, если учесть, что не все компоненты перемещений масс являются независимыми: точки прикрепле-ния к раме двух масс, расположенных по концам верхнего риге-ля рамы, имеют одинаковые горизонтальные перемещения u_r = y₂ ( см. рис. 3.3, б ). Вследствие этого силы J₂₍₁₎ и J₂₍₂₎ , порождаемые общим перемещением y₂ , – взаимозависимые, пропорциональ-ные массам; их отношение J₂₍₁₎ : J₂₍₂₎ = m : (m/2) = 2. В качестве одного из трёх основных неизвестных можно принять любую из сил J₂₍₁₎ или J₂₍₂₎ либо, что удобнее, их сумму: J₂ = J₂₍₁₎ + J₂₍₂₎ . Два остальных – вертикальная сила инерции J₁ и инерционный мо-мент J₃ . Силе J₁ , независимой от J₂ и J₃ , соответствуют порож-дающие её масса m₁ = m и перемещение y₁ . Инерционные фак-торы J₂₍₁₎ и J₃ , связанные с линейным y₂ и угловым y₃ пере-мещениями неточечной массы m, эксцентрично прикреплённой к узлу рамы, следует рассматривать как обобщённые ( групппо-вые ). Для определения отвечающих им приведённых масс используем методику и формулы, представленные в п. 1.6. Сопоставляя рис. 3.3, б с рис. 1.43, оцениваем J₂₍₁₎ и J₃ в данной задаче как аналоги и , тогда по формуле ( 1.135 ):

.

Полному вектору основных неизвестных J = [ J₁ J₂ J₃ ]^т соответствует матрица приведённых масс, в которой учитыва-ется то, что сила J₂ = J₂₍₁₎ + J₂₍₂₎ образуется суммарной массой m + m/2 = (3/2)m:

и

ли, с учётом числовых значений e_m = l_m /2 = 0,75 м и I_m0 = m/12 = = (0,1875 м²) m:

Р а с ч ё т н а с о б с т в е н н ы е к о л е б а н и я

А. Уравнения собственных колебаний

в амплитудах инерционных силовых факторов

В соответствии с расчётной схемой рис. 3.3, б система уравне-ний ( 1.51 ) записывается как

( 3.1 )

Если принять в качестве параметра массы m₀ = m, то матри-ца, входящая в вычитаемое в скобках развёрнутого выражения матрицы динамической податливости, принимает смысл матри-цы a относительных масс (см. с. 54). Выполняем её обращение:

Введём параметр ₀ = 1/(m₀ ²), после чего систему уравне-ний представим в виде :

( 3.2 )

J

Для определения единичных перемещений _ik (), являющихся компонентами матрицы  упругой податливости

рассчитываемой системы по направлениям основных неизвест-ных J, далее потребуется рассмотреть единичные состояния заданной рамы от действия J_k = 1 ( k = 1, 2, 3 ).

Б. Формирование матрицы  упругой податливости системы

Компоненты матрицы  определяются методом Максвелла – Мора по любому из равносильных вариантов формулы этого метода для перемещений в статически неопределимых системах от силовых воздействий ( в рамах – с учётом только деформаций изгиба элементов ):

( 3.3 )

где M_i , M_k – изгибающие моменты в заданной статически неоп-

ределимой системе от единичных основных неиз-

вестных J_i = 1 и J_k = 1 cоответственно;

– изгибающие моменты от J_i = 1 и J_k = 1 в любой вспо-

могательной статически определимой системе, по-

лученной из заданной СНС удалением лишних свя-

зей.

В любом случае необходимо рассмотреть три единичных состояния заданной рамы ( рис. 3.4, а, б, в ). Расчёт рамы, степень статической неопределимости которой n_st = 3, степень кинемати-ческой неопределимости n_k = 3, на единичные воздействия J₁ = 1, J₂ = 1 и J₃ = 1 выполняется рациональным методом ( сил, переме-щений, смешанным или конечных элементов ), «вручную» или с использованием компьютерных программ. Поскольку эта часть динамического расчёта играет в решаемой задаче «служебную» роль и сводится к использованию знаний из предыдущего курса строительной механики, то подробное изложение этого этапа вынесено в Приложение к задаче 3.1 (см. с. 163), а на рис. 3.5 представлены сразу его результаты в виде единичных эпюр изги-бающих моментов.

Замечание к рис. 3.4, б: любую из сил J₂₍₁₎ = 2/3 или J₂₍₂₎ = 1/3 можно перенести по линии действия в точку приложения другой и просуммиро-вать с ней, получая в результате J₂ = 1 в соответствующей точке (на ле-вом или правом конце верхнего ригеля рамы). Это не изменит изгибаю-щие моменты М₂; неправильно будут описаны только продольные силы в ригеле, но они не учитываются на этом этапе расчёта.

₂₁

₃₁

0,0608

0,4257

0,6993

а) г)

₁₁

0,2128

k = 1

k = 3

M₃

M₁

J₁ = 1

1,1502

₂₂

J₂₍₁₎ = 2/3

J₂₍₂₎ = 1/3

0,8649

₃₂

1,8378

б) д)

₁₂

2,1622

k = 2

0,4324

0,8649

M₂

₂₃

₃₃

J₃ = 1

0,1351

0,8649

0,0540

в) е)

₁₃

0,0540

0,0270

Рис. 3.4

4

J₃ = 1

J₂ = 1

Для вычисления перемещений _ik по минимально трудоём-ким 2-му и 3-му вариантам формулы ( 3.3 ) дополнительно рас-считываем на единичные воздействия J_k = 1 (k = 1, 2, 3) вспомо-гательную статически определимую систему, показанную на рис. 3.5, а. Изображение единичных факторов J_k = 1 на рис. 3.5, б – г условно совмещено с соответствующими им эпюрами.

J₁ = 1

1

4

а) б) в) г)

1,5

Рис. 3.5

Все эпюры изгибающих моментов в этой системе – достаточно простые и компактные, поэтому нет необходимости использовать другие вспомогательные СОС для упрощения единичных эпюр.

Используя для определения каждого из перемещений _ik наиболее выигрышный по трудоёмкости вариант, находим:

Заметим, что можно было бы обойтись и без дополнитель-ных эпюр , вычисляя _ik по первой из формул ( 3.3 ) через моменты M_k в заданной СНС ( по рис. 3.4, г – е ). Этот вариант

рационален в случае компьютерного расчёта ( см. Приложение к задаче 3.1 ).

В. Уравнение частот собственных колебаний

получается из нетривиального решения Jсистемы уравнений ( 3.2 ), т.е. из условия существования движения, и имеет вид

. ( 3.4 )

Компоненты матрицы упругой податливости  содержат характеристику изгибной жёсткости EI: _ik = d_ik /EI ( здесь d_ik – числитель выражения _ik ). Её целесообразно включить в собст-венное число:  = EI /(m₀²) = EI₀ ( заметим, что размерность  – [длина]³). Подстановка₀ =/EI в ( 3.4 ) даёт частотное уравнение

( 3.5 )

позволяющее найти величины _j ( j = 1, 2, 3 ) с помощью стан-дартных процедур решения задачи линейной алгебры о собствен-ных значениях матричного линейного оператора. Существуют реализующие их компьютерные программы, в частности, такие, как LOVEK и DINAM, разработанные на кафедре строительной механики НГАСУ (Сибстрин). В программе LOVEK задача пред-

ставлена в виде При EI 0 из ( 3.5 ) получаем

Введя в компьютер матрицы А и В, в результате расчёта по программе LOVEK получаем запись характеристического ( в рас-сматриваемой задаче – частотного ) уравнения, его корни ( собст-венные значения ₁, ₂ и ₃ ) и соответствующие им собственные векторы _{J (j)} основных неизвестных ( инерционных силовых фак-

торов ):

1,7778 ³ + 29,6024 ² – 29,6412  + 3,3700 = 0;

₁ = 15,5892; ₂ = 0,93111; ₃ = 0,13059;

Если не учитывать инерцию вращения неточечной массы, т.е. принять l_m = 0, то число степеней свободы уменьшается на 1 ( n = 2 ), из расчётной схемы (рис. 3.3) ис-ключается инерционный момент J₃, число уравнений сокращается до двух, и частотное уравнение принимает вид

Корни этого уравнения:

₁ = 13,455 м³; ₂ = 0,92482 м³.

Им соответствуют собственные векторы _J(1) = [ 0,05198 1 ]^т и

_J(2) = [ 1 – 0,07796 ]^т .

Эти результаты отличаются от полученных при n = 3 – объясне-ние дано в п. 1.5.4.3.

По _j находим частоты собст-

венных колебаний :

=

= 35,818 c ^–1 ;

=

= 146,56 c ^–1 ;

=

= 391,35 c ^–1 ;

технические частоты f_j = _j /(2):

f₁ = ₁ /(2) = 5,70 Гц; f₂ = ₂ /(2) = 23,33 Гц; f₃ = ₃ /(2) = 62,29 Гц.

Г. Определение собственных векторов перемещений,

построение главных форм колебаний и проверка их ортогональности

Главные формы колебаний характеризуются собственными векторами перемещений масс _{y (j)} , которые вычисляются через найденные выше соответствующие векторы _J(j) по соотноше-нию ( 1.58 ):

аналогично .

Компоненты каждого вектора для удобства делим на наи-больший из них по абсолютной величине:

.

С помощью векторов _{y (j)} ( j = 1, 2, 3 ) строим схемы главных форм собственных колебаний ( рис. 3.6, а – в ), учитывая, что компоненты _{y3 (1)} и _{y3 (2)} не безразмерные – они измеряются в м ^–1

из-за того, что у₃ – угловое перемещение, а у₁ и у₂ – линейные. По той же причине _{y1 (3)} и _{y2 (3)} измеряются в метрах. Обратные величинам _{y3 (1)} и _{y3 (2)} отрезки b_{y3 (1)} = 1/_{y3 (1)} = 6,27 м и b_{y3 (2)} = = 1/ |_{y3 (2)}| = 12,56 м, а также _{y1 (3)} и _{y2 (3)} в графических построе-ниях на рис. 3.6 изображаются в том же масштабе, что и сама рама. Уточнению схем деформаций в главных формах могут способствовать эпюры изгибающих моментов ( рис. 3.6, г – е ), вычисленных на основании формулы ( 1.64 ):

Выполняем проверку ортогональности главных форм, ис-пользуя разные варианты условий ( 1.60 ):

y₃₍₁₎ = y₂₍₁₎ _y3(1) =

= y₂₍₁₎ / b_y3(1)

С допустимой погрешностью можно считать условия орто-гональности выполненными.

1,7681

y₂₍₁₎

а) г)

0,9134

y₁₍₁₎ = y₂₍₁₎ _y1(1)

2,3051

а)

2,2318

j = 1

(₁)

0,4567

_ = y₃₍₁₎

0,4998

0,8618

y₃₍₂₎ = y₁₍₂₎ _y3(2) =

= y₁₍₂₎ / b_y3(2)

0,1113

б)

0,0492

j = 2

(₂)

0,7584

y₂₍₂₎ =

= y₁₍₂₎ _y2(2)

д)

0,3666

0,2084

0,1834

y₁₍₂₎

k = 3

M ₃

₂ = | y₃₍₂₎|

1,1206

b_y3(2) = 12,56 м

y₃₍₃₎

y₂₍₃₎ = y₃₍₃₎ _y2(3)

0,4344

_y2(3)

е)

0,5656

0,1446

y₁₍₃₎ = y₃₍₃₎ _y1(3)

в)

0,2278

0,0555

j = 3

(₃)

0,0465

0,0278

Рис. 3.6

Д. Статическая и кинематическая проверки

0,5370

1/3

Условия статики могут использоваться только с учётом инерционных силовых факторов, по принципу Д’Аламбера. На- пример, для первой главной фор-

м

2/3

ы колебаний схема для провер-

к

0,0459

0,1522

0,3842

и условного равновесия рамы в

ц

O

елом, отделённой от «земли»,

п

1,1142

риведена на рис. 3.7. В качестве

и

0,1666

нерционных воздействий взяты

к

0,1142

0,3526

омпоненты вектора _J(1), причём

с

y

ила J₂ = _J2(1) = 1 разделена на

J₂₍₁₎ = 2/3

6 м

3

3

и J₂₍₂₎ = 1/3 ( см. с. 137).

x

Поперечные силы в приопор-

н

Рис. 3.7

ых концевых сечениях стержней

найдены по эпюре , а про-

дольные силы – из условий равновесия узлов и элементов рамы.

Выполняем статическую проверку:

 x = –1,1142 + 2/3 + 1/3 + 0,1142 = 0 ;

 y = –0,1522 – 0,3526 – 0,0459 + 0,1666 + 0,3842 = 0,00010;

 m_O =

Дополнительно можно контролировать выполнение усло-вий равновесия по Д’Аламберу для отсечённых частей рамы.

Аналогично производится статическая проверка и для дру-гих главных форм.

Кинематическая проверка

осуществляется по формуле ( 1.63 ), преобразованной с учётом того, что ₀ =/C₀ , к следующему виду:

( 3.6 )

( здесь s – номер главной формы ). Особо отметим, что величи-на _yi(s) берётся из собственного вектора перемещений, получен-ного непосредственно из выражения , без деления на его наибольший компонент ( выше этот приём использован для удобства построения главных форм ).

Для i = 2, s = 1 ( проверка перемещения y₂ в первой главной форме): _y2(1) ₁ = 0,6174= 9,6248; учтём, что С₀ = EI, тогда

правая часть проверяемого равенства ( 3.6 ) будет

расхождение в четвёртой значащей цифре ( погрешность 0,005 %).

Таким же образом проверяются и все остальные перемеще-ния.

Расчёт на установившиеся вынужденные колебания

Согласно условию задачи, частоту вибрационной нагрузки с компонентами F(t) и q(t) вычисляем через найденную мини-мальную частоту собственных колебаний _min = ₁ = 35,818 с ^–1 :



соответствующая характеристика _F ===

_F = k__min = = 32,236 с ^–1 ;

= 19,246 м³.

А

F l_m

y₃

. Расчётная схема и уравнения для случая вынужденных колебаний

п

J₃

J₂ /3

F

редставлена на рис. 3.8. Нагруз-

ка F приведена к узлу.

y₂

q

Уравнения установившихся

гармонических вынужденных ко-

лебаний в амплитудах инерцион-

н

y₁

J₁

ых силовых факторов:

=

Рис. 3.8

где

Б. Формирование матрицы ^* динамической податливости системы

Вычисляем матрицу динамической податливости ^*, ис-пользуя полученную ранее матрицу упругой податливости :

Б. Определение перемещений _F

8,9189

Для определения свободных членов уравнений – переме-щений _iF в рассчитываемой системе по направлениям основных неизвестных J_i ( i = 1, 2, 3 ) от амплитуд динамических нагрузок рассматриваем загружение рамы, показанное на рис. 3.9, а.

F l_m = 4,5

4,4189

F = 3 кН

_3F

8,4325

а) б)

q = 2 кН/м

_2F

7,5811

0,5676

_1F

0,2838

F

M_F

4,6419

0,4257

4,7838

Рис. 3.9

Вызванные этим воздействием изгибающие моменты M_F , эпюра которых дана на рис. 3.8, б ^*), используем в расчёте пере-мещений по формуле Максвелла – Мора:

где M_i и – то же, что в формуле ( 3.3 ).

Очевидно, что предпочтителен второй вариант ( с и M_F ). Вариант с моментамине актуален, так как без определения M_F

обойтись невозможно – они необходимы для вычисления динами-ческих моментов.

^*) Расчёт на амплитудные значения динамических нагрузок приведён

в Приложении к задаче 3.1.

«Перемножением» эпюры M_F c эпюрами по рис.3.5 на-ходим:

В. Определение основных неизвестных и динамических усилий

Система уравнений для определения амплитуд инерцион-ных силовых факторов при вычисленных ^* и _F :

37,201

M_dyn

Решение её с помощью программы LINS даёт J₁ = –0,181 кН; J₂ = –12,269 кН ; J₃ = –6,618 кН.

Судя по знакам, все три инерци-

о

26,084

нных силовых фактора направ-

л

19,275

ены противоположно показан-

н

0,909

7,842

ым на рис. 3.8.

Используя найденные J₁ , J₂

и

10,478

1,796

J₃ , вычисляем амплитуды дина-

н

34,992

5,239

амических моментов

Q_dyn

N_dyn

M_dyn = M₁ J₁ + M₂ J₂ + M₃ J₃ + M_F .

6,200

4,090

15,269

1,746

9,122

6,200

2,697

13,576

1,310

16,579

Рис. 3.10

По M_dyn обычными приёмами определяем соответствующие

им амплитуды поперечных и продольных сил Q_dyn и N_dyn .

На рис. 3.10 приведены эпюры M_dyn , Q_dyn и N_dyn ( сплошны-ми линиями – для направлений амплитудных нагрузок, принятых по схеме рис. 3.9, а, пунктиром – в противоположной фазе ).

Г. Проверки результатов расчёта на вынужденные колебания

Статическая проверка –

в

качестве примера рассматриваем равновесие верхнего узла ( рис. 3.11 ) и нижней части рамы ( рис. 3.12 ), обязательно учиты-вая инерционные силы J₁ , J₂₍₁₎ и момент J₃:

J₃ = 6,618

.

37,201

Силы – в кН, моменты – в кН м.

dy

dx

F = 3

4,090

dy

Fl_m = 4,5

6,200

15,269

6,200

26,084

y

1,746

2,697

6,200

q = 2

34,992

K

16,579

15,269

x

3

3

Рис. 3.11

J₁ = 0,181

1,310

6 м

13,576

Рис. 3.12

Можно также проверять равновесие других узлов, отсечён-ных частей и рамы в целом.

Кинематическая проверка –

контроль амплитуд перемещений масс – выполняется по форму-ле ( 1.87 ) с изменением левой части с учётом зависимости ( 1.121 ):

расхож-

дение

0,17 %

расхожде-

ние 0,005 %

расхожде-

ние 0,06 %

Г. Вычисление динамических коэффициентов

а) по наибольшему из компонентов перемещений масс

Наибольшее по абсолютной величине динамическое пере-мещение – у₂ = – 145,04/EI ( найдено выше в кинематической про-верке ); соответствующее статическое значение ( от амплитуды динамической нагрузки ) – _2F = –27,13/EI , тогда

_y2 = y₂ /_2F = 145,01/27,13 = 5,345;

б) по наибольшему ( по абсолютной величине )

изгибающему моменту в раме

По эпюре M_dyn находим, что | M_dyn | _max = 37,201 – в ле-вом концевом сечении верхнего ригеля; статическое значение ( с эпюры M_F ) – | M_F | = 8,919 ;

_Mmax = | M_dyn | _max / | M_F | = 37,201/8,919 = 4,171.

Для сравнения: в нижнем сечении стойки верхнего яруса рамы: _Mс = M_{dyn, c} / M_{F, c} = 34,992 / 7,581 = 4,616.