3.1.3. О приближённом учёте инерции вращения масс

В дополнение к решению основной задачи рассмотрим во-прос приближённого учёта инерции вращения сосредоточенной неточечной массы.

m/2

Наиболее простой из возможных приёмов: замена неточеч-ной массы точечными, количество которых равно числу степе-ней свободы заменяемой массы. Так, введя вместо исходной массы m две по m/2 на абсолютно жёсткой консоли длиной l_m , получаем расчётную модель, представленную на рис. 3.19, а. Число степеней свободы остаётся прежним ( n = 3 ), но теперь все

о

J₂₍₁₎

l_m

m/2

J₂₍₂₎

ни – линейные перемещения масс.

m/2

J₁

Матрица приведённых масс а)

= m m m/2 , тогда при  =

=

m

EI /(m²) получается = 1 1 2 .

= 1

Первые два единичных состо-

яния и эпюры М₁ и М₂ остаются та-

кими же, как в выполненном выше

р

Рис. 3.19

асчёте. А в состоянии, соответст- б)

вующем = 1 (рис. 3.19, б), момен-

ты = М₂ + М₃( здесь М₂ и М₃ – по рис.3.4 ), тогда компонен-ты матрицы упругой податливости с учётом изменения смысла будут:

, где _ik ( i, k = 1, 2, 3) – из основного расчёта.

Решив для определения частот собственных колебаний за-дачу Det () = 0,

где ; ,

п

Обратим внимание на то, что игнорирование инерции вращения неточеч-ной массы для рассматриваемой системы приводит к существенной ошибке в определении минимальной частоты собственных колебаний – 7,7 % ( см. с. 139 ).

олучаем ₁ = 15,6747 ; ₂ = 0,93374 ; ₃ = 0,25904 – сравнение с результатами основного расчёта показывает, что две первые ча-стоты ₁ и ₂ приближённо определяются с незначительными погрешностями – 0,27 % и 0,11 % соответственно, а третья ча-стота ₃ оказывается заниженной в 1,41 раза.

Приложение к задаче 3.1

Рассматриваются вопросы, относящиеся к технике вычис-ления силовых факторов в заданной статически неопределимой системе от единичных основных неизвестных динамического расчёта ( амплитуд инерционных силовых факторов ) и всех за-данных нагрузок.

Z₂

Рассчитываемая рама имеет одинаковые степени статичес-кой и кинематической неопределимости: n_st = 3, n_k = 3. Следова-тельно, количества основных неизвестных двух основных клас-сических методов расчёта СНС – сил и перемещений – совпада-ют. В этом случае объективно более рационален метод переме-щений, но из методических соображений в дальнейшем будет рассмотрено применение также и метода сил. Но с наименьшим числом неизвестных ( 2 ) расчёт может быть выполнен смешан-ным методом, с использованием ос-

н

X₁

овной системы ( ОССМ ), представ-

ленной на рис. 3.20.

Канонические уравнения:

Рис. 3.20

Индекс «0» в коэффициентах и

свободных членах уравнений указы-

вает на то, что соответствующие величины определяются в ос-новной системе и от иных, чем в динамическом расчёте, единич-ных воздействий – основных неизвестных X₁ = 1 и Z₂ = 1.

Рама рассчитывается на следующие варианты силовых воз-действий:

– единичные инерционные силовые факторы J₁ = 1, J₂ = 1, J₃ = 1 ( отдельно ), рассматриваемые здесь формально как нагрузки;

– одновременно действующие амплитудные динамические на-грузки F и q, далее обозначаемые символом F_d ;

– постоянная нагрузка от весов масс ( G );

– снеговые нагрузки р₍₁₎ и р₍₂₎ – отдельно на двух участках.

Соответственно индекс F в свободных членах _0,1F и R_0,2F канонических уравнений в разных вариантах истолковывается как F ( J₁ J₁ J₁ F_d G р₍₁₎ р₍₂₎ ).

₂ = 0

_0,11 = ₁ + ₁

= –₂

Для определения коэффициентов _011 ,, и r_0,22 рас-сматриваем единичные состояния ОССМ ( рис. 3.21 ).

Z₂ = 1

X₁ = 1

₁

3EI

₂ (<0)

₁

r_0,22

EI

3EI

3EI

EI

l = 6 м

l

1

1

1

Рис. 3.21

Вычислив «перемножением» эпюр

способом вырезания узла – r_0,22 = 3,75EI, = 1 и по теореме Рэлея , затем аналогично определяем свободные члены канонических уравнений для вышеперечисленных вариан-

т

_0,1J1

ов нагрузок, кроме G ( см. с. 158 ). Схемы ОССМ при действии единичных инерционных силовых факторов J_k = 1 ( k = 1, 2, 3 ) и соответствующие эпюры изгибающих моментов – на рис. 3.22.

J₂₍₁₎ = 2/3

J₂₍₂₎ = 1/3

J₃ = 1

R_0,2J1

R_0,2J2

J₁ = 1

_0,1J2

_0,1J2

R_0,2J3 = 0

1

1,125

4

0,9375

Рис. 3.22

p₍₂₎ = 8 кН /м

На рис. 3.23 – схемы и эпюры моментов для вариантов с амплитудами динамических нагрузок и временных р₍₁₎ и р₍₂₎.

_0,1p(1) = 0

Fl_m = 4,5 кНм

F = 3 кН

R_{0, 2p(1)}

R_{0, 2 p(2)} = 0

R_{0, 2F}

_{0, 1p(2)}

p₍₁₎ = 8 кН /м

q = 2 кН /м

4,5

36

9

36

12

18

() () ()

Рис. 3.23

Матрица перемещений _{0, 1F} = и реакций R_{0, 2F} по шести вариантам нагрузок:

.

Основные неизвестные:

По найденным значениям Х₁ и Z₂ вычисляем изгибающие моменты .

По вариантам F ( J₁ J₂ J₃ ) эпюры M₁ , M₂ и M₃ приведены на рис. 3.4, от амплитудных динамических нагрузок – на рис. 3.10,

от временных нагрузок р₍₁₎ и р₍₂₎ – на рис. 3.17.

Далее рассмотрим применение двух других классических методов – сил и перемещений – для решения той же задачи опре-деления усилий в заданной СНС, с использованием матричной формы расчёта и соответствующих компьютерных программ.

b₅

c₅

e₅

e₄

По методу сил основная система для трижды статически неопределимой рамы получена удалением трёх угловых связей в среднем жёстком узле ( рис. 3.24, а ).

5

X₁

X₃

b₄

1

4

а) б)

b₂

c₂

e₂

b₃

c₃

e₃

X₂

b₁

c₁

e₁

b₆

2

3

6

e₆

Рис. 3.24

Схема расчётных участков и сечений дана на рис. 3.24, б. При её формировании учтены границы грузовых участков и ха-рактер воздействий во всех единичных и «грузовых» состояни-ях, представленных на рис. 3.25 ( от единичных основных неиз-вестных метода сил X_k = 1, k = 1, 2, 3 ) и на рис. 3.26 ( от амплитуд динамических нагрузок и от снеговых нагрузок^*) ). Эпюры M_{0, k} от

J_k = 1 ( k = 1, 2, 3 ) – такие же, как на рис. 3.5.

X₁ = 1

X₂ = 1

X₃ = 1

= 1

= 2

= 3

1

1

1

1

1

1

1

Рис. 3.25

^*) Об учёте весов масс объяснения даны на с. 158.

F = 3 кН

Fl_m = 4,5 кНм

p₍₁₎ = 8 кН /м

p₍₂₎ = 8 кН /м

q = 2 кН /м

F_d

p₍₁₎

p₍₁₎

16,5

36

12

9

36

() () ()

Рис.3.26

Единичные инерционные воздействия, динамические и ста-тические нагрузки рассматриваются как шесть вариантов загру-жения рамы, усилия от которых включаются в матрицу L_F ис-ходных данных для расчёта рамы по программе MEFOR, разрабо-танной в НГАСУ ( Сибстрин ). В матрицу L входят усилия ( мо-менты ) от единичных основных неизвестных X_k = 1 ( k = 1, 2, 3 ).

1

2

3

5

6

4

Остальные данные для ввода в компьютер:

– длины расчётных участков: l₁ = l₅ = 6 м; l₂ = l₃ = 3 м; l₄ = l₆ = 3 м;

– относительные жёсткости сечений участков c_j = EI_j /EI:

c₁ = c₂ =c₃ = c₅ = 3; c₄ = c₆ = 1.

Результаты расчёта:

усилия в заданной системе по вариантам загружений

от J₁ = 1 J₂ = 1 J₃ = 1 F, q p₍₁₎ p₍₂₎

По первым трём столбцам матрицы S строятся эпюры М_{1 ,} М₂ и М₃ ( рис. 3.4 ), а остальные дают соответственно M_F ( рис. 3.10 ), M_р(1) и M_р(2) ( рис. 3.17 ). Моменты M_G от сил тяжести

масс определяются через единичные М₁ ( см. с. 159 ). Найденные М_{1 ,} М₂ , М₃ и M_F далее можно использовать в динамическом рас-чёте для вычисления единичных перемещений – компонентов матрицы упругой податливости , а также перемещений _F от амплитуд динамических нагрузок. Но эти величины могут быть найдены и с помощью программы MEFOR – для этого следует в дополнение к исходным матрицам L и L_F ввести матрицу уси-лий от единичных воздействий по направлениям искомых пере-мещений, т.е. от J₁ = 1, J₂ = 1 и J₃ = 1 – эта матрица совпадает с первыми тремя столбцами L_F . В результате расчёта кроме усилий S выдается также матрица  перемещений в заданной системе по направлениям J₁ , J₂ и J₃ по вариантам загружений:

Первые три столбца  – матрица упругой податливости , четвёртый – вектор свободных членов _F уравнений ^*J + _F = 0. Эти перемещения используются в динамическом расчёте. Они полностью совпадают с найденными в основном решении «пере-множением» соответствующих эпюр ( см. с. 138 и 145 ).

Z₁

1

Применяя метод перемещений, выбираем для трижды ки-нематически неопределимой рамы основную систему ( ОСМП ), изображённую на рис. 3.27.

Z₃

Погонные изгибные

ж

3EI

1

ёсткости i_j = EI_j / l_j эле-

м

3

b₃

e₃

e₄

ентов ОСМП:

i

Z₂

EI

₁ =

3

Тип 2

i₂ = i₃ = 3EI / ( 6 м ) = 2i ;

i

Тип 1

₄ = i₅ = EI / ( 4 м ) = i .

2

4

3EI

3EI

b₄

2

На рис. 3.28 пока-

з

b₁

1

2

e₁

e₂

b₂

b₅

аны состояния ОСМП

п

Тип 2

Тип 2

ри единичных смеще-

н

5

EI

Тип 2

иях Z_k = 1 ( k = 1, 2, 3 )

в

e₅

ведённых связей, на

рис. 3.29 – от единич-

н

6 м

6

ых инерционных си-

ловых факторов J_k = 1

( k = 1, 2, 3 ), а от ампли- Рис. 3.27

туд динамических на-

грузок и от снеговых нагрузок – на рис. 3.30. Там же даны соот-ветствующие эпюры изгибающих моментов.

Используя данные рис. 3.28 – 3.30, формируем исходные матрицы для расчёта рамы по программе METDEF кафедры стро-ительной механики НГАСУ ( Сибстрин ). При этом единичные инерционные воздействия, динамические и статические нагруз-ки ( кроме весов масс, учитываемых так, как описано на с. 158 ) рассматриваются как шесть вариантов загружения.

Z₁ = 1

r₁₁

r₁₂

Z₃ = 1

r₁₃

r₃₁

r₃₂

r₃₃

r₂₁

r₂₃

Z₂ = 1

r₂₂

= 1

= 2

= 3

4i₄ = 4i

2i

3i₃ = 6i

3i₁ = 6i

6i₁/l₄ = 1,5i

4i₄ = 4i

2i

3i₂ = 6i

Рис. 3.28

J₁ = 1

= 1

= 2

J₃ = 1

= 3

Рис. 3.29

Fl_m = 4,5 кНм

q = 2 кН /м

R_3F

R_1F

p₍₂₎ = 8 кН /м

R_1p(1)

R_1p(2)

F = 3 кН

R_2p(1)

R_3p(1)

R_2F

p₍₁₎ = 8 кН /м

R_2p(2)

R_3p(2)

F_d

p₍₁₎

p₍₁₎

() () ()

Рис. 3.30

Исходные матрицы для расчёта по программе METDEF :

Элементы

перемещения и усилия в концевых сечениях элементов ОСМП

от Z₁=1 Z₂=1 Z₃=1 от Z₁=1 Z₂=1 Z₃=1 от J₁=1 J₂=1 J₃=1 F, q p₍₁₎ p₍₂₎