3. Моменты случайных величин

Рассмотрим дискретную случайную величину Х, заданную законом распределения

Х	1 2 5 100
Р	0,6   0,2  0,19 0,01

Найдем математическое ожидание Х:

.

Найдем математическое ожидание случайной величины Х ²:

.

Видим, что значительно больше . Это объясняется тем, что после возведения в квадрат возможное значение величины Х ², соответствующее значению величины Х, стало равным 10 000, т. е. значительно увеличилось; вероятность же этого значения мала – 0,01.

Таким образом, переход от к позволил лучше учесть влияние на математическое ожидание того возможного значения, которое велико и имеет малую вероятность. Разумеется, если бы величина Х имела несколько больших и маловероятных значений, то переход к величине Х ², а тем более к величинам и т. д., позволил бы еще больше усилить роль этих больших, но маловероятных возможных значений. Вот почему оказывается целесообразным рассматривать математическое ожидание целой положительной степени случайной величины (не только дискретной, но и непрерывной).

Начальным моментом v_k порядка k случайной величины Х назы-вается математическое ожидание k-ой ее степени:

.

Если дискретная случайная величина принимает конечное множество значений, то по определению

.

Если дискретная случайная величина принимает счетное множество значений, то

,

когда этот ряд сходится абсолютно. (В этой и предыдущей формуле ).

Начальный момент порядка k непрерывной случайной величины с плотностью распределения определяется формулой

,

если интеграл сходится абсолютно.

Центральным моментом k-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание k-ой степени отклонения этой величины от ее математического ожидания. Обозначив центральный момент k-го порядка через _k и положив , по определению получим:

.

Для дискретной случайной величины

или .

Для непрерывной случайной величины с плотностью распределения центральный момент k-го порядка определяется по формуле

если интеграл сходится абсолютно.

Легко выводятся соотношения, связывающие начальные и центральные моменты:

,

,

.

Моменты более высоких порядков применяются редко.

Пример 3.1. Дискретная случайная величина задана законом распределения

Х	1 2
Р	0,4   0,6

Найти центральные моменты первого, второго и третьего порядков.

Находим сначала начальные моменты:

,

тогда

.

Пример 3.2. Найти начальный момент второго порядка случайной величины с плотностью вероятностей

.

Нетрудно показать, что начальный момент нулевого порядка равен единице, начальный момент первого порядка равен ее математическому ожиданию, центральные моменты нулевого, первого и второго порядка равны соответственно единице, нулю и дисперсии.