Упражнения

1. Случайная величина Х распределена по закону Пуассона. Найти , если , а также математическое ожидание и дисперсию величины Х.

2. Производятся независимые испытания, в каждом из которых событие А может появиться с вероятностью . Какова вероятность того, что при 1000 испытаниях событие А появится 5 раз?

3. Производятся независимые испытания, в каждом из которых событие А может появиться с вероятностью, равной 0,001. Какова вероятность того, что при 2000 испытаниях событие А появится не менее двух и не более четырех раз?

4. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна 0,0002. Какова вероятность того, что на базу прибудут 3 негодных изделия?

5. На факультете обучается 500 студентов. Какова вероятность того, что 1 сентября является днем рождения одновременно для k студентов данного факультета? Вычислить эту вероятность для значений .

6. При введении вакцинации против полиомиелита иммунитет создается в 99,99% случаев. Какова вероятность того, что из 1000 вакцинированных детей заболеют соответственно 1, 2, 3, 4 ребенка?

7. Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найти вероятность того, что магазин получит: а) хотя бы одну; б) менее двух; в) ровно две; г) более двух разбитых бутылок.

4.4. Равномерное распределение

Распределение вероятностей случайной величины Х называется равномерным на отрезке [a, b], если плотность вероятностей этой величины постоянна на данном отрезке и равна нулю вне этого отрезка:

С равномерным распределением встречаются всякий раз, когда по условиям опыта величина Х принимает значение в конечном промежутке . Все значения из этого промежутка возможны в одинаковой степени, причем ни одно из значений не имеет преимущество перед другими. Вот примеры такого рода: 1) Х – время ожидания на стоянке автобуса (величина Х равномерно распределена на отрезке , где е – интервал движения между автобусами); 2) Х – ошибка при взвешивании случайно выбранного предмета, получающаяся от округления результата взвешивания до ближайшего целого числа (величина Х имеет равномерное распределение на отрезке , где за единицу принята цена деления шкалы).

Нетрудно показать, что для равномерно распределенной на отрезке случайной величины Х функции плотности вероятностей и функция распределения имеют вид:

Вероятность попадания значений случайной величины Х в интервал , принадлежащий отрезку , определяется равенством

.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины соответственно равны

, .

Пример 4.4.1. Случайная величина Х равномерно распределена на отрезке . Записать плотность распределения , функцию распределения этой случайной величины, найти математическое ожидание и дисперсию.

В нашем случае и значит

, .

Вопросы для самопроверки

1. Какое распределение вероятностей называется равномерным на отрезке [a, b]?

2. Как записать плотность распределения f(x) случайной величины Х, равномерно распределенной на отрезке [a, b]?

3. Какой вид имеет функция распределения F(x) случайной величины, равномерно распределенной на отрезке [a, b]?

4. Чему равно математическое ожидание случайной величины, равномерно распределенной на отрезке [a, b]?

5. Чему равна дисперсия случайной величины Х, равномерно распределенной на отрезке [a, b]?

6. Чему равно среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, равномерно распределенной на отрезке [a, b]?

7. Случайная величина Х равномерно распределена на отрезке [a, b]. Как найти вероятность попадания ее значений в интервал , принадлежащий данному отрезку?