- •В. А. Шкель высшая математика Случайные величины
- •Ключевые слова
- •1. Виды случайных величин. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины
- •Вопросы для самопроверки
- •Упражнения
- •2. Функция распределения вероятностей случайной величины
- •Вопросы для самопроверки
- •Упражнения
- •3. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины
- •Вопросы для самопроверки
- •Упражнения
- •Ключевые слова
- •1. Математическое ожидание случайной величины, мода, медиана
- •Вопросы для самопроверки
- •Упражнения
- •2. Дисперсия случайной величины. Среднее квадратическое отклонение
- •Свойства дисперсии
- •Вопросы для самопроверки
- •Упражнения
- •3. Моменты случайных величин
- •Вопросы для самопроверки
- •Упражнения
- •4. Некоторые законы распределения случайных величин
- •4.1. Формула Бернулли
- •Вопросы для самопроверки
- •Упражнения
- •4.2. Биномиальное распределение
- •Вопросы для самопроверки
- •Упражнения
- •4.3. Распределение Пуассона
- •Вопросы для самопроверки
- •Упражнения
- •4.4. Равномерное распределение
- •Вопросы для самопроверки
- •Упражнения
- •4.5. Нормальное распределение
- •Вопросы для самопроверки
- •Упражнения
- •4.6. Некоторые другие распределения
- •Вопросы для самопроверки
- •Упражнения
- •Литература
- •Содержание
- •1. Виды случайных величин. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины 3
- •2. Функция распределения вероятностей случайной величины 10
- •3. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины 16
- •Шкель Всеволод Ануфриевич высшая математика Случайные величины
- •220086, Г. Минск, ул. Славинского, 1, корп. 3.
Свойства дисперсии
1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю: Свойство становится ясным, если учесть, что постоянная величина сохраняет одно и то же значение и рассеяния, конечно, не имеет.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:
.
3. Дисперсия суммы или разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:
.
Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения кроме дисперсии служат и некоторые другие характеристики. К их числу относится среднее квадратическое отклонение.
Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии:
.
Легко показать, что дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины. Так как среднее квадратическое отклонение равно квадратному корню из дисперсии, то размерность совпадает с размерностью Х. Поэтому в тех случаях, когда желательно, чтобы оценка рассеяния имела размерность случайной величины, вычисляют среднее квадратическое отклонение, а не дисперсию. Например, если Х выражается в линейных метрах, то будет выражаться также в линейных метрах, а – в квадратных метрах.
Случайная величина называется центрированной, если . Случайная величина называется нормированной (стандартной), если .
Вопросы для самопроверки
-
Что называют отклонением случайной величины от ее математического ожидания?
-
Чему равно математическое ожидание отклонения?
-
Как определяется дисперсия случайной величины?
-
Что характеризует дисперсия случайной величины?
-
По какой формуле можно вычислять дисперсию?
-
Каковы свойства дисперсии случайной величины?
-
Запишите формулу для дисперсии дискретной случайной величины, принимающей конечное множество значений.
-
Какой вид имеет формула для дисперсии дискретной случайной величины, принимающей счетное множество значений?
-
По каким формулам вычисляется дисперсия непрерывной случайной величины, все значения которой принадлежат отрезку ?
-
Как определяется дисперсия непрерывной случайной величины, все значения которой принадлежат бесконечному промежутку ?
-
Что такое среднее квадратическое отклонение?
Упражнения
1. Найти числовые характеристики случайной величины Х, заданной законом распределения:
а) |
Х |
0 1 2 |
|
б) |
Х |
– 0,1 0 0,1 0,4 |
Р |
0,3 0,2 0,5 |
|
Р |
0,3 0,15 0,3 0,25 |
2. Найти числовые характеристики непрерывной случайной величины Х, заданной плотностью вероятностей:
а) б)
3. Случайная величина Х задана функцией распределения:
а) б)
Найти числовые характеристики .
4. Симметричная монета подбрасывается 4 раза. Случайная величина Х – число выпадений герба при этих подбрасываниях. Найти числовые характеристики случайной величины Х: .
5. Даны все возможные значения дискретной случайной величины Х: а также известны . Найти закон распределения случайной величины Х.
6. Дискретная случайная величина Х может принимать только два значения х1 и х2, причем . Известны вероятность и дисперсия . Найти закон распределения случайной величины Х.
7. Известны дисперсии двух независимых случайных величин . Найти дисперсию суммы этих величин.
8. Дисперсия случайной величины Х равна 5. Найти дисперсию следующих величин:
а) б) в) .
9. Случайная величина Х принимает только два значения: , каждое с вероятностью 0,5. Найти дисперсию этой величины.