- •В. А. Шкель высшая математика Случайные величины
- •Ключевые слова
- •1. Виды случайных величин. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины
- •Вопросы для самопроверки
- •Упражнения
- •2. Функция распределения вероятностей случайной величины
- •Вопросы для самопроверки
- •Упражнения
- •3. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины
- •Вопросы для самопроверки
- •Упражнения
- •Ключевые слова
- •1. Математическое ожидание случайной величины, мода, медиана
- •Вопросы для самопроверки
- •Упражнения
- •2. Дисперсия случайной величины. Среднее квадратическое отклонение
- •Свойства дисперсии
- •Вопросы для самопроверки
- •Упражнения
- •3. Моменты случайных величин
- •Вопросы для самопроверки
- •Упражнения
- •4. Некоторые законы распределения случайных величин
- •4.1. Формула Бернулли
- •Вопросы для самопроверки
- •Упражнения
- •4.2. Биномиальное распределение
- •Вопросы для самопроверки
- •Упражнения
- •4.3. Распределение Пуассона
- •Вопросы для самопроверки
- •Упражнения
- •4.4. Равномерное распределение
- •Вопросы для самопроверки
- •Упражнения
- •4.5. Нормальное распределение
- •Вопросы для самопроверки
- •Упражнения
- •4.6. Некоторые другие распределения
- •Вопросы для самопроверки
- •Упражнения
- •Литература
- •Содержание
- •1. Виды случайных величин. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины 3
- •2. Функция распределения вероятностей случайной величины 10
- •3. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины 16
- •Шкель Всеволод Ануфриевич высшая математика Случайные величины
- •220086, Г. Минск, ул. Славинского, 1, корп. 3.
Вопросы для самопроверки
-
Какое распределение вероятностей называется биномиальным?
-
Чем объясняется слово «биномиальный» в названии распределения?
-
Чему равно математическое ожидание случайной величины, распределенной по биномиальному закону, с параметрами п и р?
-
Чему равна дисперсия случайной величины, распределенной по биномиальному закону, с параметрами п и р?
-
Чему равно среднее квадратическое отклонение случайной величины, распределенной по биномиальному закону, с параметрами п и р?
-
Запишите биномиальный закон распределения вероятностной случайной величины в виде таблицы.
Упражнения
1. Найти математическое ожидание случайной величины Х, распределенной по биномиальному закону, с параметрами .
2. Найти дисперсию случайной величины Х, распределенной по биноминальному закону, с параметрами .
3. Найти среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, распределенной по биномиальному закону с параметрами .
4. Вероятность того, что лампа останется исправной после 1000 часов работы, равна 0,2. Найти вероятность того, что из пяти ламп не менее трех останутся исправными после 1000 часов работы.
5. Производится 9 независимых испытаний. При каждом испытании событие А появляется с вероятностью . Записать в виде таблицы закон распределения случайной величины Х – число появлений события А.
4.3. Распределение Пуассона
В одинаковых условиях производится п независимых испытаний, в каждом из которых может появиться событие А с вероятностью р или событие Ā с вероятностью . Вероятность того, что при п испытаниях событие Ā появится k раз (и не появится п-k раз), определяется формулой Бернулли. Рассмотрим случай, когда п являются достаточно большим, а р – достаточно малым. Положим , где а – некоторое число.
Распределением Пуассона называется распределение вероятностей дискретной случайной величины, определяемое формулой
.
Постоянную а = пр называют параметром распределения Пуассона.
Распределение Пуассона является предельным случаем биномиаль-ного распределения, т. е.
.
Можно показать, что математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины, распределенной по закону Пуассона, равны числу а – параметру этого распределения.
Иногда полезно использовать рекуррентную формулу
, которая получается следующим образом:
.
Пример 4.3.1. Вероятность изготовления нестандартной детали . Найти вероятность того, что среди 1000 деталей окажется 5 нестандартных.
Здесь ,
тогда .
Пример 4.3.2. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение 1 минуты равна 0,002. Найти вероятность того, что в течение 1 минуты обрыв произойдет более чем на трех веретенах.
В соответствии с условиями:
.
;
.
Вопросы для самопроверки
-
Почему закон распределения Пуассона называется законом редких событий?
-
При каких условиях можно применять закон распределения Пуассона?
-
Что является случайной величиной в законе Пуассона?
-
Каковы общие условия, необходимые для применимости закона распределения Пуассона и закона биномиального распределения?
-
Как связаны между собой биномиальное распределение и распределение Пуассона?
-
Чему равны математические ожидания и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона?
-
Какая из величин в законе Пуассона больше: математическое ожидание или число независимых испытаний?
-
Исследуется распределение Пуассона. Что вероятнее: событие А появится ровно один раз или ни разу?