Вопросы для самопроверки

1. Как определяется математическое ожидание дискретной случайной величины, принимающей конечное множество значений?

2. Какие другие названия используются для математического ожидания? Чем объясняются эти названия?

3. Что называют математическим ожиданием дискретной случайной величины, принимающей счетное множество значений?

4. Как определяется математическое ожидание непрерывной случайной величины, все значения которой принадлежат отрезку ?

5. Как определяется математическое ожидание непрерывной случайной величины, все значения которой принадлежат бесконечному промежутку ?

6. Каковы свойства математического ожидания случайной величины?

7. Какому условию должны удовлетворять случайные величины Х и Y, чтобы выполнялось равенство:

?

8. Докажите, что математическое ожидание неотрицательной дискретной случайной величины неотрицательно.

9. Как определяются мода и медиана случайной величины?

Упражнения

1. Закон распределения дискретной случайной величины задан таблицей

хi	3 6 9 12
рi	0,1    0,2    0,3 0,4

Найти математическое ожидание случайных величин .

2. Случайная величина задана плотностью распределения:

а)

б)

Найти математическое ожидание.

3. Случайная величина Х задана функцией распределения:

а) б)

Найти математическое ожидание случайной величины Х.

4. Найти математическое ожидание случайной величины: , если известно, что .

5. Известны математические ожидания двух случайных величин . Найти математическое ожидание суммы и разности этих величин.

6. Известны математические ожидания двух независимых случайных величин . Найти математическое ожидание их произведения.

7. Охотник, имеющий 4 патрона, стреляет в цель до первого попадания (или пока не израсходует все патроны). Найти математическое ожидание числа израсходованных патронов, если вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,25.

8. Рабочий обслуживает 4 станка. Вероятность того, что в течение часа не потребуется внимания рабочего для первого станка, равна 0,9, для второго – 0,8, для третьего – 0,75 и для четвертого – 0,7. Найти математическое ожидание числа станков, которые не потребуют внимания рабочего в течение часа.

2. Дисперсия случайной величины. Среднее квадратическое отклонение

Рассмотрим случайные величины, которые имеют одинаковые математические ожидания, но различные возможные значения. Пусть дискретные случайные величины Х и Y заданы следующими законами распределения

Х	– 0,01 0,01		Y	– 100 100
Р	0,5     0,5		Р	0,5 0,5

Найдем математические ожидания этих величин:

;

.

Итак, математическое ожидание обеих величин одинаково, а возможные значения различны, причем Х имеет значения, близкие к математическому ожиданию, а Y – далекие от своего математического ожидания. Таким образом, зная лишь математическое ожидание случайной величины, еще нельзя судить ни о том, какие возможные значения она может принимать, ни о том, как они рассеяны вокруг математического ожидания. Другими словами, математическое ожидание не характеризует полностью случайную величину. В связи с этим наряду с математическим ожиданием вводят и другие числовые характеристики. Так, например, для того чтобы оценить, как рассеяны возможные значения случайной величины вокруг ее математического ожидания, пользуются, в частности, числовой характеристикой, которую называют дисперсией.

На первый взгляд, может показаться, что для оценки рассеяния проще всего вычислить все возможные значения отклонения случайной величины (разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием) и затем найти их среднее значение. Однако такой путь ничего не даст, так как среднее значение отклонения, т. е. , как нетрудно показать, любой случайной величины равно нулю. Это объясняется тем, что одни возможные отклонения положительны, а другие – отрицательны, в результате их взаимного погашения среднее значение отклонения равно нулю. Эти соображения говорят о целесообразности заменить возможные отклонения их абсолютными значениями или их квадратами. Правда, в случае, когда возможные отклонения заменяют их абсолютными значениями, приходится оперировать с абсолютными величинами, что приводит иногда к серьезным затруднениям. Поэтому чаще вычисляют среднее значение квадрата отклонения, которое и называют дисперсией.

Дисперсией, или рассеянием, случайной величины называют мате-матическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

.

Дисперсия дискретной случайной величины с законом распределения

определяется формулой

или формулой где – другое обозначение для математического обеспечения.

Если дискретная случайная величина принимает бесконечную последовательность значений с законом распределения

,

то ее дисперсия определяется формулой

при условии, что этот ряд сходится.

Дисперсия непрерывной случайной величины Х, все значения которой принадлежат отрезку , определяется формулой

где – плотность распределения вероятностей этой величины, – ее математическое ожидание.

Дисперсия непрерывной случайной величины Х, все значения которой принадлежат промежутку , определяется формулой

если этот несобственный интеграл сходится абсолютно.

Из определения следует, что дисперсия случайной величины есть неслучайная (постоянная) величина.

Пример 2.1. Найти дисперсию случайной величины Х, которая задана законом распределения

Х	1 2 5
Р	0,3    0,5  0,2

Найдем математическое ожидание

.

Значения квадрата отклонения

По определению дисперсии

.

Пример 2.2. Найти дисперсию случайной величины Х, заданной плотностью распределения

,

.

Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться формулой

,

т. е. дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания.

Пример 2.3. Найти дисперсию случайной величины Х, которая задана законом распределения

Х	2 3 5
Р	0,1   0,6  0,3

.

Искомая дисперсия

.

Казалось бы, если Х и Y имеют одинаковые возможные значения и одно и то же математическое ожидание, то и дисперсии этих величин равны (ведь возможные значения обеих величин одинаково рассеяны вокруг своих математических ожиданий). Однако в общем случае это не так. Дело в том, что одинаковые возможные значения рассматриваемых величин имеют, вообще говоря, различные вероятности, а величина дисперсии определяется не только самими возможными значениями, но и их вероятностями. Например, если вероятности «далеких» от математического ожидания возможных значений Х больше, чем вероятности этих же значений Y, и вероятности «близких» значений Х меньше, чем вероятности тех же значений Y, то, очевидно, дисперсия Х больше дисперсии Y.

Пример 2.4. Сравнить дисперсии случайных величин, заданных законами распределения

Х	– 1 1 2 3		Y	– 1 1 2 3
Р	0,48   0,01  0,09 0,42		Р	0,19   0,51  0,25 0,05

; .

Возможные значения и математические ожидания Х и Y одинаковы, а дисперсии различны, причем . Этот результат можно было предвидеть без вычислений, глядя лишь на законы распределения.