3.4 Искажение направлений и углов

Для определения искажение направлений и углов в зависимости от параметров и примем главные направления в кружке и эллипсе за оси прямоугольных координат (рис. 3.3).

Рис. 3.3

Возьмем произвольное направление на поверхности и соответствующее ему направление на плоскости, отсчитываемые по ходу часовой стрелки от положительного направления оси х.

Очевидно, разность будет искажением направления при переносе на плоскость. Искажение это определяется формулой:

.

Из (3.7) следует, что искажение направления зависит от суммы . Наибольшее искажение будет, когда =1, т.е. =90. Само же искажение обозначим:

. (3.8)

Из (3.7) и (3.8) следует:

. (3.9)

Найдем зависимость направлений и от параметров эллипса искажений. Из выражения (3.6) и рис.3.3 можно записать:

Откуда следует:

(3.10)

Разделив в (3.10) второе выражение на первое, найдем:

. (3.11)

Так как по условию =90, то

, .

Подставляя поочередно эти равенства в (3.11), получим

, .

Тогда, умножая первое выражение на , второе на , получим

(3.12)

Таким образом, в эллипсе искажений будет четыре направления, симметричных относительно большой полуоси , которые искажаются максимально.

Всякий угол представляет собой разность двух направлений. Если угол составлен из двух наиболее искажаемых направлений, то наибольшее искажение такого угла будет равно удвоенному наибольшему искажению направления. Исходя из (3.9) и учитывая малость угла, можем записать:

.

При иблизких к единице, . В результате будем иметь:

. (3.13)

3.5 Искажение расстояний

Из чертежа (рис.3.3) имеем:

. (3.14)

На основании (3.10) можем записать:

Полагая, что отрезок на рис.3.3 равен единице, получим

(3.15)

Подставляя эти значения в (3.14), найдем увеличение масштаба в произвольном направлении

(3.16)

Теперь попытаемся найти зависимость увеличения масштаба С от искаженного направления . На основании (3.10) можем записать:

Возведя эти равенства в квадрат, и сложив их, получим:

.

и окончательно

. (3.17)

3.6 Искажение площадей

Пусть бесконечно малый кружок изобразится на карте бесконечно малым эллипсом (рис.3.4)

Рис. 3.4

Соответственно, прямоугольник изобразится параллелограммом .

По определению, масштаб площадей равен отношению бесконечно малой фигуры на карте к площади этой же фигуры на глобусе, т.е.

.

Но

, (3.18)

где - главный масштаб карты;

и - увеличения на эллипсе вдоль меридиана и параллели.

Сделав подстановку, получим масштаб площадей:

.

Увеличением площадей называют отношение масштаба площади к квадрату главного масштаба.

. (3.19)

Если полуоси эллипса искажений совпадают направлениями параллели и меридиана в данной точке, то , и увеличение площадей будет:

. (3.20)