Часть II математическая картография

3 Основы теории картографического проектирования

3.1 Картографические проекции

Как известно поверхность Земли может быть изображена без искажений только на глобусе.

При изображении земной поверхности на плоскости, г.е. на карте, используют картографические проекции.

Картографической проекцией называют отображение поверхности эллипсоида или шара на плоскости.

Существует много картографических проекций. Только программный продукт GIS by ESRI поддерживает более 60 картографических проекций.

Основные требования к картографической проекции:

1. Бесконечно малым приращениям и на поверхности должны соответствовать бесконечно малые приращения , на плоскости.

2. Бесконечно малому отрезку на эллипсоиде должен соответствовать бесконечно малый отрезок на плоскости.

З. Два линейных и параллельных отрезка, взятых в пределах бесконечно малой площади, должны быть бесконечно малыми и близкими линейным и параллельным отрезкам на плоскости.

3.2 Масштаб карты

Для удобства дальнейших рассуждений предположим, что поверхность Земли сначала изображается на глобусе, а затем с его поверхности переносится на плоскость при помощи картографических проекций.

Отношение длины отрезка на глобусе к длине этого же отрезка dl_n на земной поверхности называют главным масштабом карты.

. (3.1)

Главный масштаб подписывается под картой.

При развертывании сферы на плоскость нельзя достигнуть того, чтобы масштаб карты повсюду был равен главному масштабу. В лучшем случае можно лишь достигнуть того, чтобы на карте масштаб некоторых линий и даже систем линий равнялся главному.

В общем случае масштаб карты непрерывно меняется при переходе от точки к точке и даже в одной точке при переходе от направления к направлению.

В отличие от главного эти масштабы будут частными.

Частным масштабом называют предел отношения бесконечно малого отрезка карте к соответствующему бесконечно малому отрезку dl_n на земной поверхности:

. (3.2)

Одной из главных задач математической картографии является изыскание таких проекций, в которых было бы минимизировано отклонение частных масштабов от главного. Чем меньше уклонения частных масштабов от главного, тем лучше проекция.

Отношение частного масштаба к главному будет:

. (3.3)

Если , частный масштаб равен главному и искажения в данной точке по данному направлению отсутствуют ; если с>1, частный масштаб крупнее

главного ; если с<1, частный масштаб мельче главного .

Обозначим уклонение отношения с от единицы в виде разности:

(3.4)

Разность представляет абсолютное искажение длины отрезка при перенесении его с глобуса на карту, а отношение - относительное искажение той же длины, которое часто выражают в процентах.

3.3 Эллипс искажений

Рис. 3.1

Если взять на глобусе (рис. 3.1) бесконечно малый кружок с центром в точке и радиусом , то при развертке на плоскость он изобразится каким-то эллипсом, который называют эллипсом искажений.

Чтобы определить положение эллипса искажений, необходимо указать центр эллипса и его размеры - большую а и малую b полуоси — как по величине, так и по направлению (рис. 3.2 - а, б).

Рис. 3.2-а Рис. 3.2-b

Направление большой полуоси а - направление, по которому масштаб в данной точке О наибольший, а направление малой полуоси b - направление, по которому масштаб наименьший.

Эти направления называют главными направлениями.

Увеличения по этим направлениям найдем, взяв в соответствии с (3.3) отношения частных масштабов к главному:

(3.5)

Если принять за единицу, можем записать:

(3.6)

Таким образом, радиус-векторы эллипса искажений численно равны увеличениям (уменьшениям) бесконечно малых отрезков по соответствующим направлениям.