Лабораторна робота Оптимальне приймання дискретних сигналів Мета роботи

1 Дослідити як змінюється завадостійкість демодуляторів при різних видів модуляції

2. Ознакомлення з структурною схемой оптимального когерентного демодулятора сигналов с АМ, ЧМ и ФМ.

Теоретичні положення

При заданій інтенсивності перешкоди N₀ потенційна завадостійкість двійкової системи, на що вперше звернув увагу В. А. Котельников, залежить тільки від так називаної еквівалентної енергії сигналів

(1)

яка дорівнює квадратові відстані між сигнальними крапками в просторі Гільберта. Завадостійкість вище (імовірність помилки) менше у тієї системи, у якої більше еквівалентна енергія використовуємих сигналів, незалежно від форми використовуємих сигналів. Останні, зокрема , можуть бути як простими (відрізками синусоїди з малою базою), так і складними (шумоподібними, з великою базою).

На рисунку 1 у двовимірному просторі показані крапки сигналів для двійкової системи: рисунок 1 , a - AM при S0(t)=0.

(2)

Рисунок 1,6 - ЧМ з ортогональними сигналами

(3)

(4)

Рисунок 1,в -ФМ із протилежними сигналами S₁ (t) = -S₀(t).

З рисунка видно, що в порівнянні з двійковою AM для двійкової ЧМ еквівалентна енергія сигналів Ее=||S₁- S₀||² у 2 рази більше, а для двійкової ФМ у 4 рази більше.

Рисунок 1 - До визначення еквівалентної енергії двійкових систем AM, ЧМ, ФМ

Співвідношення Котельникова дозволяє здійснювати оптимальний вибір сигналів S₁(f) і S₀(t) або відповідно U₁(t) і U₀(t), забезпечуючих максимально можливу завадостійкість при заданій енергії сигналів Е. Справді , для такої оптимальної системи величина Ее повинна бути максимальною за умови, що

(5)

Можна записати

(6)

Для отримання максимуму цього виразу потрібно зробити Е1 і Е0 як можна найбільшим, а інтеграл у правій частині - як можна меншим. Максимально можливі значення Е1 і Е0 отримаємо, якщо, врахувавши останню формулу, покласти

Е1 = Е0=Е. (7)

Інтеграл (8)

приймає тільки ненегативні значення, тому його мінімум дорівнює нулеві і досягається за умови

S₁ (t) = - S₀ (t), (9)

яке не суперечить умові (6.54). Таким чином, у двійковому каналі з постійними параметрами й адитивною флуктуаційною перешкодою оптимальною виявляється система з протилежними сигналами (6.55). Цій умові задовольняють, наприклад, двополярні імпульси, сигнали двійкової фазової

модуляції (ФМ), якщо різниця фаз сигналів Δφ = π т. д. Для всіх таких систем Ее= 4Е і ймовірність помилки

, (10)

де h²= E/N₀ - відношення енергії сигналу на вході демодулятора до спектральної щільності флуктуаційної перешкоди.

Для системи з активною паузою й ортогональними сигналами (наприклад, при відомих умовах для системи двійкової ЧМ), коли

(11)

Ее = 2Е і мінімальна імовірність помилки

(12)

Порівнюючи (10) і (12), дійдемо висновку, що перехід від системи з ортогональними сигналами до системи з оптимальними (протилежними) сигналами дозволяє в розглянутому каналі забезпечити незмінну якість зв’язку (імовірність помилки) при зниженні середньої потужності передавача в 2 рази, тобто дає енергетичний виграш у 2 рази (або на 3 дб). Цей висновок випливає також з рисунку 6.1.

У двійковій системі з пасивною паузою вважаючи S₀(t) = S₀ і

(13)

одержуємо для мінімальної імовірності помилки

(14)

Звідси видно, що при переході від системи АМ до системи ЧМ енергетичний виграш по максимальній потужності дорівнює 2, а при переході до системи ФМ - 4. Якщо ж порівняння вести не по піковій, а по середній потужності, то перехід від АМ до ЧМ не дає енергетичного виграшу, оскільки при ЧМ середня потужність дорівнює максимальної, а при AM - удвічі менше максимальної (якщо S₁ і S₀ передаються з однаковою імовірністю).

Система ФМ, як і інші системи з протилежними сигналами, забезпечує максимальну для двійкової системи потенційну завадостійкість. Однак реалізація демодулятора для когерентного прийому ФМ створює значні труднощі. При побудові демодулятора з активним фільтром виникає проблема підтримки рівності фаз опорного генератора й прихожого сигналу. Якщо намагатися будувати його на основі узгодженого фільтра , то виникає ще важча задача когерентного відліку.

Сигнали ОФМ можуть прийматися різними методами. Тут розглянемо квазікогерентний прийом сигналів ОФМ (названий методом порівняння полярностей). Помітимо спочатку, що систему ОФМ можна розглядати як звичайну систему з фазовою модуляцією (ФМ), але зі спеціальним перекодуванням символів. Перекодування виконується порівнянням полярностей напруг на виході інтегратора для двох сусідніх елементів, для чого звичайно, потрібна затримка вихідних символів у комірці пам'яті (КП) на час Т. Така схема демодулятора показана на рисунку 6.2 (без пристрою підстроювання фази опорного генератора Г, що може бути виконано, наприклад, за схемою Пістолькорса). Тому що ОФМ-система з активною паузою, це пороговий рівень у демодуляторі - нульовий і пристрій прийняття рішення перетворюється в дискримінатор полярності (ДП). Полярності сусідніх елементів порівнюються в схемі порівняння полярностей (СПП), що являє собою звичайний перемножувач. Символ 1 реєструється на виході приймача, наприклад, при збігу полярностей двох сусідніх посилок, символ 0 - якщо ці полярності різні. При такому методі прийому перескок фази опорного сигналу (при відсутності перешкоди в каналі) викликає помилку тільки в одному символі. Наступні ж символи реєструються правильно, тобто явище "зворотньої роботи" не виникає.

Рисунок 2 - Схема оптимального прийому сигналів ОФМ методом

порівняння полярностей (когерентний прийом)

Визначимо ймовірність помилки в системі ОФМ при обліку флуктуаційної перешкоди в каналі при когерентному прийомі. Ймовірність РОФМ помилкової реєстрації символів у системі ОФМ при прийомі по методу порівняння полярностей не збігається з ймовірністю появи помилок на виході фазового детектора або, що те ж саме, з ймовірністю помилок у системі "класичної" фазової маніпуляції. Очевидно, що помилкова реєстрація символу при прийомі методом порівняння полярностей можлива в результаті однієї з двох несумісних події:

а) знак даного елемента прийнятий помилково, а знак попереднього - вірно;

б) знак даного елемента прийнятий вірно, а попереднього - помилково. Кожне з цих подій має імовірність Рфм. Таким чином,

(15)

В нормальних умовах експлуатації, коли потрібно Рфм <<1

. (16)

Таким чином, "платою" за усунення зворотньої роботи є подвоєння ймовірності помилки, обумовленої шумом у каналі.

Для недвійкових систем (m>2) знаходження ймовірності помилкового прийому Рm у загальному випадку ускладнюється, тому що тепер приходиться аналізувати сукупність з (m - 1) нерівностей. Однак для систем з активною паузою (Еі = Е] при рівноймовірних ортогональних сигналах канал симетричний і можна оцінити імовірність Рm простою нерівністю

Рm<(m-1)Р2, (17)

де P2 - ймовірність помилки для двійкової системи в тім же каналі, якщо використовується деяка пара з m сигналів.

Рис 3. - Ймовірність помилки на прийомі при різних видах модуляції

Таблиця функції Крампа

X	Ф(X)	X	Ф(X)	X	Ф(X)	X	Ф(X)
0,00	0,000	0,60	0,451	1,20	0,769	1,80	0,928
0,01	0,008	0,61	0,458	1,21	0,773	1,81	0,929
0,02	0,016	0,62	0,464	1,22	0,777	1,82	0,931
0,03	0,023	0,63	0,471	1,23	0,781	1,83	0,932
0,04	0,031	0,64	0,477	1,24	0,785	1,84	0,934
0,05	0,039	0,65	0,484	1,25	0,788	1,85	0,935
0,06	0,047	0,66	0,490	1,26	0,792	1,86	0,937
0,07	0,055	0,67	0,497	1,27	0,795	1,87	0,938
0,08	0,063	0,68	0,503	1,28	0,799	1,88	0,939
0,09	0,071	0,69	0,509	1,29	0,202	1,89	0,941
0,10	0,079	0,70	0,516	1,30	0,806	1,90	0,942
0,11	0,087	0,71	0,522	1,31	0,809	1,91	0,943
0,12	0,095	0,72	0,528	1,32	0,813	1,92	0,945
0,13	0,103	0,73	0,536	1,33	0,816	1,93	0,946
0,14	0,111	0,74	0,540	1,34	0,819	1,94	0,947
0,15	0,119	0,75	0,546	1,35	0,823	1,95	0,948
0,16	0,127	0,76	0,552	1,36	0,826	1,96	0,95
0,17	0,135	0,77	0,558	1,37	0,829	1,97	0,951
0,18	0,142	0,78	0,564	1,38	0,832	1,98	0,952
0,19	0,150	0,79	0,570	1,39	0,835	1,99	0,953
0,20	0,158	0,80	0,576	1,40	0,838	2,00	0,954
0,21	0,166	0,81	0,572	1,41	0,841	2,05	0,959
0,22	0,174	0,82	0,587	1,42	0,844	2,10	0,964
0,23	0,181	0,83	0,593	1,43	0,847	2,15	0,968
X	Ф(X)	X	Ф(X)	X	Ф(X)	X	Ф(X)
0,24	0,189	0,84	0,598	1,44	0,850	2,20	0,972
X	Ф(X)	X	Ф(X)	X	Ф(X)	X	Ф(X)
0,25	0,197	0,85	0,604	1,45	0,852	2,25	0,975
0,26	0,205	0,86	0,610	1,46	0,855	2,30	0,978
0,27	0,212	0,87	0,615	1,47	0,858	2,35	0,9812
0,28	0,220	0,88	0,621	1,48	0,861	2,40	0,9836
0,29	0,228	0,89	0,626	1,49	0,863	2,45	0,9857
0,30	0,235	0,90	0,631	1,50	0,866	2,50	0,9876
0,31	0,243	0,91	0,637	1,51	0,869	2,55	0,9892
0,32	0,251	0,92	0,642	1,52	0,871	2,60	0,9907
0,33	0,258	0,93	0,647	1,53	0,874	2,65	0,9920
0,34	0,266	0,94	0,652	1,54	0,876	2,70	0,9931
0,35	0,278	0,95	0,657	1,55	0,878	2,75	0,9940
0,36	0,281	0,96	0,663	1,56	0,881	2,80	0,9949
0,37	0,288	0,97	0,668	1,57	0,883	2,85	0,9956
0,38	0,296	0,98	0,673	1,58	0,885	2,90	0,9963
0,39	0,303	0,99	0,677	1,59	0,888	2,95	0,9963
0,40	0,310	1,00	0,682	1,60	0,890	3,00	0,9973
0,41	0,318	1,01	0,687	1,61	0,892	3,10	0,9980
0,42	0,325	1,02	0,632	1,62	0,894	3,20	0,9986
0,43	0,332	1,03	0,697	1,63	0,896	3,30	0,999
0,44	0,340	1,04	0,701	1,64	0,899	3,40	0,9993
0,45	0,347	1,05	0,706	1,65	0,901	3,50	0,9995
0,46	0,354	1,06	0,710	1,66	0,903	3,60	0,9996
0,47	0,316	1,07	0,715	1,67	0,905	3,70	0,9997
0,48	0,368	1,08	0,719	1,68	0,907	3,80	0,9998
0,49	0,375	1,09	0,724	1,69	0,909	3,90	0,9999
0,50	0,382	1,10	0,728	1,70	0,910	4,00	0,99994
0,51	0,389	1,11	0,733	1,71	0,912	4,10	0.99995
0,52	0,396	1,12	0,737	1,72	0,914	4,20	0,99997
0,53	0,403	1,13	0,741	1,73	0,916	4,30	0,99998
0,54	0,410	1,14	0,745	1,74	0,918	4,40	0,999989
0,55	0,417	1,15	0,749	1,75	0,919	4,50	0,999993
0,56	0,424	1,16	0,754	1,76	0,921	4,60	0,999996
0,57	0,431	1,17	0,758	1,77	0,923	4,70	0,999997
0,58	0,438	1,18	0,762	1,78	0,924	4,80	0,999998
0,59	0,444	1,19	0,766	1,79	0,926	4,892
						5,327