3. Відносні алгоритми

Узагальненням поняття алгоритму є поняття відносного алгоритму, або алгоритму з оракулом. На деяких кроках такий алгоритм може звертатися до певного зовнішнього відносно алгоритму об’єкта  оракула. Видані оракулом відповіді трактуються як дані, вироблені на таких кроках звертання.

Кроки звертання до оракула, взагалі кажучи, неелементарні. В той же час поняття елементарності кроків відносне. Можна вважати, що звичайний алгоритм увесь час звертається до деякого оракула, але цей оракул відповідає на питання, настільки прості, що сам по собі він непомітний і вважається внутрішньою частиною обчислювальних засобів алгоритму, а не виступає як зовнішній по відношенню до алгоритму об’єкт. З іншого боку, можна уявити істоту настільки розумну, що її обчислювальні засоби включають, із точки зору людини, звертання до нетривіального оракула, але в рамках цих засобів такий оракул не усвідомлюється як зовнішній об’єкт, а є їх складовою частиною. Таким чином, є всі підстави вважати первісним поняття саме відносного алгоритму.

Узагальненням поняття алгоритмічно обчислюваної функції є поняття відносно обчислюваної функції, або функції, алгоритмічно обчислюваної відносно оракула.

Функція називається алгоритмічно обчислюваною відносно оракула , якщо існує алгоритм з оракулом , який її обчислює.

Синонімом поняття алгоритму є поняття програми. В основі уточнення поняття програмування як процесу конструювання програм лежить поняття програмної логіки. Функції, завдані за допомогою програмної логіки, називають програмно завданими, або програмованими. Поняття програмованої функції можна вважати уточненням поняття відносно обчислюваної, взагалі кажучи, функції.

4. Поняття числення, його зв’язок із поняттям алгоритму

Із поняттям алгоритму тісно пов’язане поняття числення, яке є настільки ж фундаментальним, як і поняття алгоритму. Поняття числення відбиває та узагальнює інтуїтивне уявлення про індуктивне породження об’єктів, яке широко вживається в математиці.

Під численням розуміють скінченну множину точно визначених породжувальних правил, які дозволяють із певних заданих об’єктів отримувати інші об’єкти.

Породжувальні правила (скорочено ПП) називають також правилами виведення.

Об’єкти, до яких застосовуються правила виведення, називають засновками. Отриманий із засновків об’єкт називають висновком.

На відміну від наказових правил алгоритму, які однозначно визначають перехід від одних об’єктів до інших, правила числення дозволяють робити перехід від одних об’єктів до інших.

Множину породжених численням об’єктів задають індуктивно. На першому кроці процесу породження (виведення) початкові об’єкти задаються ПП із порожньою множиною засновків. Об’єкт вважається породженим на певному кроці, якщо він отримується за допомогою певного ПП із об’єктів, породжених на попередніх кроках.

Якщо на першому кроці процесу породження дозволити брати початкові об’єкти із певної множини А, дістанемо числення зі входом. Таке числення  перетворює множину А в множину об’єктів В, породжених із об’єктів множини А за допомогою числення .

Зв’язок понять алгоритму та числення полягає в наступному:

1) Поняття числення можна звести до поняття алгоритму в смислі зведення розгалуженого процесу породження до послідовного процесу переліку так, щоб алгоритм, який задає цей перелік, відтворив усі породжені численням об’єкти і тільки їх.

Такий алгоритм послідовно додає до множини вже породжених об’єктів (спочатку порожньої) скінченну множину нових об’єктів, отриманих однократним застосуванням ПП до вже породжених об’єктів.

2) Поняття алгоритму можна звести до поняття числення в смислі зведення алгоритмічного процесу до процесу породження. Справді, кожний алгоритм можна трактувати як числення зі входом, яке має такі ПП, що виконання кожного із них відповідає виконанню одного кроку алгоритму. Всі такі ПП мають один засновок, до кожного об’єкта застосовне не більше ніж одне ПП.