2. Функція Геделя та її основна властивість

Функцiя Геделя  дозволяє кодувати одним натуральним числом довiльну скiнченну послiдовнiсть натуральних чисел. Функцiя Геделя визначається так:

(x,y) = mod(l(x), 1+(y+1)r(x)).

Отже, функція  є ПРФ.

Теорема (про основну властивість функції Геделя). Для довiльної скiнченної послiдовностi натуральних чисел b₀, b₁, ..,b_n знайдеться натуральне число t, таке, що (t, i)=b_i для всiх i{0,..., n}.

Індукцiєю по n доведемо твердження, відоме як китайська теорема про остачі:

Лeма. Для довiльних натуральних чисел b₀, b₁ ,.., b_n , для довiльних попарно взаємно простих чисел p₀, p₁ ,.., p_n , таких, що p_i>b_i для всiх i{0,...,n}, знайдеться натуральне число M, таке, що M< p₀...p_n та mod(M,p_i) = b_i для всiх i{0,...,n}.

1. n=1. Для довiльних взаємно простих p, q

{mod(ip, q) | i{0,..., q-1}}={0,..., q-1}.

Справдi, для j, i таких, що q>j >i  0, маємо mod(jp, q)  mod(ip, q), iнакше (j-i) p дiлиться на q, що суперечить взаємнiй простотi p та q. Тому для довiльних натуральних b₀, b₁ та для довiльних взаємно простих p₀, p₁, таких, що p₀ > b₀ та p₁ > b₁, iснують натуральнi ₀, ₁ такi, що ₀ < p₀, ₁ < p₁, mod(₁p₁, p₀) = b₀ і mod(₀p₀, p₁)=b₁. Узявши k = =₀p₀ + ₁p₁, маємо mod(k, p₀)=b₀ та mod(k, p₁) = b₁. Тодi M₁=mod(k, p₀p₁) шукане M для випадку n=1. Справдi, M₁< p₀ , p₁, mod(M₁, p₀)=b₀, mod(M₁, p₁)=b₁, бо k=p₀p₁+M₁ для деякого N.

2) n=k  n=k+1. Нехай твердження леми правильне для n=k. Вiзьмемо n=k+1. Маємо натуральнi b₀, b₁ ,.., b_k+1 тa попарно взаємно простi p₀, p₁ ,.., p_k+1, такi, що p_i>b_i для всiх i{0,..., k+1}. Покладемо c₀=M₁, c₁=b₂, ..., c_k=b_k+1, q₀=p₀p₁, q₁=p₂, ..., q_k=p_k+1. Тодi числа q₀, q₁ ,.., q_k попарно взаємно простi та q_i>c_i для всiх i{0,..., k}, тому за припущенням iндукцiї знайдеться натуральне число M, таке: M< q₀q₁...q_k та mod(M, q_i)=c_i для всiх i{0,..., k}. Звiдси дістаємо M<p₀...p_k+1, mod(M,p_i)=b_i для всiх i{0,..., k+1} та mod(M, p₀p₁)=M₁. Останнє означає, що M=p₀p₁+M₁ для деякого N. Звiдси mod(M₁, p₀)=mod(M, p₀)=b₀ та mod(M₁, p₁)=mod(M, p₁)= b₁.

Отже, твердження леми правильне i для n=k+1.

Доводимо тепер теорему. Знайдемо числа M та b такi, що t=C(M,b) шукане, тобто (t,i)=mod(М, 1+(і+1)b))=b_i для всiх i{0,...,n}.

Покладемо b=(1+n+b₀+...+b_n)!. Залишилось знайти число M. Позначимо p_i=1+(і+1)b. Тодi p_i>b_i для всiх i{0,...,n}. Крiм того, числа p₀, p₁ ,.., p_n попарно взаємно простi. Справдi, припустимо супротивне: iснує просте q>1, таке, що для деяких i, j, таких, що j>i, числа p_i та p_j дiляться на q. Тодi p_i-p_j =(j-i)b дiлиться на q. Але j-i<n, тому j-i входить як множник у число b, звiдки i дiлиться на q, тобто b = q для деякого N. Звiдси числа p_i =1+(і+1)q та p_j =1+(j+1)q не дiляться на q, a це суперечить припущенню.

Умови леми виконанi, тому знайдеться натуральне число M, таке, що M< p₀...p_n і mod(M,p_i) = mod(М, 1+(і+1)b))=b_i для всiх i{0,...,n}.